新教材2025版高中数学课时作业13祖暅原理与几何体的体积新人教B版必修第四册

课时作业(十三)祖暅原理与几何体的体积一、选择题1．如图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C′­A′DD′，则棱锥C′­A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为()A．1∶5B．1∶4C．1∶3D．1∶22．圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为()A．eq\f(28\r(5),3)π B．28πC．28eq\r(5)π D．eq\f(28\r(7),3)π3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是()A．eq\f(2,3) B．eq\f(7,6)C．eq\f(4,5) D．eq\f(5,6)4．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32π二、填空题5．如图，OABC是边长为1的正方形，eq\x\to(AC)是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的体积为________________．6．已知三棱锥S­ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．7．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A­DED1的体积为________．三、解答题8．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，假如冰淇淋溶化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．9．如图，圆柱的底面半径为r，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．(1)计算圆柱的表面积；(2)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．[尖子生题库]若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积．课时作业(十三)祖暅原理与几何体的体积1．解析：由图知：VC′­A′DD′＝eq\f(1,3)·C′D′·S△A′DD′，VABCD­A′B′C′D′＝C′D′·SA′D′DA，而SA′D′DA＝2S△A′DD′，∴剩余部分的体积为VABCD­A′B′C′D′－VC′­A′DD′＝eq\f(5,3)C′D′·S△A′DD′，∴棱锥C′­A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.答案：A2．解析：因圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的高为eq\r(32－22)＝eq\r(5)，所以圆台的体积为V＝eq\f(1,3)π(22＋2×4＋42)×eq\r(5)＝eq\f(28\r(5),3)π.答案：A3．解析：如图，去掉的一个棱锥的体积是eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,48)，剩余几何体的体积是1－8×eq\f(1,48)＝eq\f(5,6).答案：D4．解析：设圆O1的半径为r，球的半径为R，依题意，得πr2＝4π，所以r＝2，由正弦定理可得AB＝2rsin60°＝2eq\r(3)，所以OO1＝AB＝2eq\r(3)，依据球截面性质得OO1⊥平面ABC，所以OO1⊥O1A，R＝OA＝eq\r(OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋O1A2)＝eq\r(OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋r2)＝4，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.答案：A5．解析：几何体是一个圆柱挖去一个半球后剩余的部分，且圆柱的底面半径是1，高是1，球的半径是1，所以圆柱的体积是π×12×1＝π，半球的体积是eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3)，因此所求几何体的体积为π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)6．解析：如图，在三棱锥S­ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO＝eq\f(\r(3),2)×4×eq\f(2,3)＝eq\f(4\r(3),3).在Rt△SAO中，SO＝eq\r(42－（\f(4\r(3),3)）2)＝eq\f(4\r(6),3)，所以V＝eq\f(1,3)×eq\f(4\r(6),3)×eq\f(\r(3),4)×42＝eq\f(16\r(2),3).答案：eq\f(16\r(2),3)7．解析：将三棱锥A­DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，则VA­DED1＝VE­ADD1＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)8．解析：因为V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)R3＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×43＝eq\f(128π,3)(cm3)，V圆锥＝eq\f(π,3)r2h＝eq\f(π,3)×42×10＝eq\f(160π,3)(cm3)，V半球<V圆锥，所以，冰淇淋溶化了，不会溢出杯子．9．解析：(1)已知圆柱的底面半径为r，则圆柱和圆锥的高为h＝2r，圆锥和球的底面半径为r，则圆柱的表面积为S圆柱表＝2×πr2＋4πr2＝6πr2.(2)由(1)知V圆锥＝eq\f(π,3)r2×2r＝eq\f(2π,3)r3，V圆柱＝πr2×2r＝2πr3，V球＝eq\f(4π,3)r3，V圆锥∶V球∶V圆柱＝eq\f(2π,3)r3∶eq\f(4π,