(寒假)人教版数学八年级寒假讲义09 平行四边形的性质+随堂检测（教师版）

第页09平行四边形的性质知识点一平行四边形的定义知识点一平行四边形的定义◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”，读作:“平行四边形ABCD”.◆3、几何语言：(双重含义)∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC（性质）知识点二知识点二平行四边形的性质●●平行四边形的性质：◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD知识点三知识点三两条平行线间的距离◆1、定义：两条平行线线之间的距离.◆2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.◆3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离.◆4、三种距离之间的区别与联系距离两点之间的距离点到直线的距离两条平行线之间的距离区别连接两点的线段的长度.点到直线的垂线段的长度.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.联系都是指线段的长度.◆5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.(常常用来解决三角形同底等高问题.)题型一利用平行四边形的性质求线段长题型一利用平行四边形的性质求线段长【例题1】如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（）A．9 B．12 C．15 D．18【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解答】解：∵▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，设AD为3x，AB为2x，可得：3x+2x＝15，解得：x＝3，∴BC＝AD＝9，故选：A．解题技巧提炼平行四边形中求有关线段的方法是利用平行四边形对边分别相等，对角线互相平分的性质来求解决的.【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）A．11 B．10 C．9 D．8【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，AO＝CO=12∵AB⊥AC，AB＝4，∴BO=32+42=5，∴【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．【变式1-2】平行四边形的一边长是9cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．8cm和10cm D．10cm和12cm【分析】由平行四边形的对角线互相平分，可分别求得OB与OC的长，然后由三角形三边关系判定能否组成三角形，继而可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=A、若BD＝6cm，AC＝4cm，则OB＝3cm，OC＝2cm，∵OB+OC＝5cm＜9cm，∴不能组成三角形，故本选项错误；B、若BD＝8cm，AC＝6cm，则OB＝4cm，OC＝3cm，∵OB+OC＝7cm＜9cm，∴不能组成三角形，故本选项错误；C、若BD＝10cm，AC＝8cm，则OB＝5cm，OC＝4cm，∵OB+OC＝9cm＝9cm，∴不能组成三角形，故本选项错误；D、若BD＝12cm，AC＝10cm，则OB＝6cm，OC＝5cm，∵OB+OC＝11cm＞9cm，∴能组成三角形，故本选项正确．故选：D．【变式1-3】BF＝（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得BC＝AD＝8，CD＝AB＝5，AD∥BC，得∠ADF＝∠DFC，又由DF平分∠ADC，可得∠CDF＝∠DFC，根据等角对等边，可得FC＝CD＝5，所以求得BF＝BC﹣FC＝3，问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝5，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠CDF＝∠DFC，∴FC＝CD＝5，∴BF＝BC﹣FC＝3．故选：C．【变式1-4】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（）【分析】连接EC，根据已知条件证明△EDC是直角三角形，进而可得△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图，连接EC，∵平行四边形ABCD中，OE⊥AC∴EO垂直平分AC，∵AE＝4，DE＝3，AB＝5，∴EC＝AE＝4，CD＝AB＝5，∵EC2+DE2＝32+42＝25，CD2＝25，∴EC2+DE2＝CD2，∴△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形，∴AC=AE2【变式1-5】在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，求BC的长．【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的判定可求出AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，∴CD＝AB＝6，AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝6，同理DE＝DC＝6，∵EF＝2，∴AE＝AF−EF＝6−2＝4，∴BC＝AD＝AE+DE＝4+6＝10．题型二利用平行四边形的性质求角度题型二利用平行四边形的性质求角度【例题2】在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（）A．140° B．120° C．100° D．40°【分析】根据平行四边形对角相等即可求出∠A，进而可求出∠B．【解答】解：在▱ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A＝140°，故选：A．解题技巧提炼平行四边形中求有关角度的方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其它三个角的度数.【变式2-1】在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°【分析】根据平行线的性质可求得∠ACD，即可求出∠BCD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝40°，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝40°，∵∠ACB＝80°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，故选：C．【变式2-2】如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝60°，则∠DAE等于（）A．15° B．25° C．30° D．65°【分析】由在▱ABCD中，∠B＝60°，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠D的度数，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝60°，∵AE⊥CD，∴∠DAE＝90°﹣∠D＝30°．故选：C．【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（）A．100° B．120° C．150° D．105°【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，然后根据补角性质可得答案．【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE，∵▱ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，∴∠ADE＝∠CED＝30°，∠A+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ADC＝120°．故选：B．【变式2-4】如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（）A．84° B．96° C．98° D．106°【分析】首先根据AF⊥DE，∠DAF＝48°得到∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，然后利用四边形ABCD是平行四边形得到∠CED＝∠ADF＝42°，再根据CD＝CE，得到∠CDE＝∠DEC＝42°，从而利用三角形的内角和定理求得∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°即可．【解答】解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CED＝∠ADF＝42°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠DEC＝42°，∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°，故选：B．【变式2-5】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD＝BC，∠B＝∠DAE，结合AB＝AE，利用SAS可证明结论；（2）由全等三角形的性质结合角平分线的定义可得△ABE为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解∠BAE＝60°，进而可求解∠AED的度数．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．在△ABC和△AED中，AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，∴△ABC≌△EAD（（2）∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC，∵AE平分∠DAB（已知），∴∠DAE＝∠BAE；又∵∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．∴△ABE为等边三角形．∴∠BAE＝60°．∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°，∴∠AED＝85°．题型三利用平行四边形的性质求周长或面积题型三利用平行四边形的性质求周长或面积【例题3】如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（）A．24 B．26 C．28 D．30【分析】先利用ASA证明△AOE≌△COF，从而得OE＝OF，AE＝CF，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∵平行四边形ABCD的周长为36，∴AB+BC=1∴四边形ABFE的周长为：AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝18+6＝24．故选：A．解题技巧提炼1、平行四边形的周长=2(a+b)（其中a、b分别为两相邻边的边长）

2、平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【变式3-1】如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为．【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，∴∠BAF＝∠DAE＝90°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，AD＝2DF∵BE＝2，DF＝3，∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，故答案为：20．【变式3-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（）A．14 B．12 C．10 D．8【分析】由EF垂直平分AC得AF＝CF，则AB+BC＝CF+BF+BC＝4，由四边形ABCD是平行四边形得CD＝AB，AD＝BC，则CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8，于是得到问题的答案．【解答】解：∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，∵△BCF的周长为4，∴AB+BC＝AF+BF+BC＝CF+BF+BC＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，AD＝BC，∴CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8，∴平行四边形ABCD的周长8，故选：D．【变式3-3】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是．【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴S△AFO＝S△CEO，∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半，过点C作CP⊥AD于点P，∵CD＝AB＝2，∠ADC＝60°，∴DP＝1，CP=3，∴S平行四边形ABCD＝BC•CP=3∴阴影部分面积为332，故答案为：【变式3-4】如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为．【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC＝30°，BE＝10，∴EF=12∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC＝10，∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50．故答案为：50．【变式3-5】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G．（1）求证：AG＝FG；（2）判断△CEF的形状，并说明理由；（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）只要证明BA＝BF即可解决问题；（2）只要证明∠E＝∠CFE即可；（3）如图，作AH⊥BC于H．利用面积法求出AH即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，∵∠DAF＝∠FAB，∴∠BAF＝∠BFA，∴BA＝BF，∵BG⊥AF，∴AG＝GF．（2）解：结论：△CEF是等腰三角形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DE，AD∥BC，∴∠E＝∠BAE，∠CFE＝∠DAF，∵∠DAF＝∠BAE，∴∠E＝∠CFE，∴CE＝CF．（3）解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ABG中，AG=102−82∵12•BF•AH=12•AF•BG，∴AH=12×810=485，∴题型四利用平行四边形的性质证明题型四利用平行四边形的性质证明【例题4】如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．【分析】在△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE即可证明△ABC≌△EAD，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．在△ABC和△AED中，AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，∴△ABC≌△EAD（SAS）∴DE＝解题技巧提炼平行四边形的定义、平行线的性质、全等三角形的判定和性质在有关平行四边形的证明中，常常结合在一起综合应用，而利用平行四边形的定义、平行线的性质获得三角形全等的条件是解题的关键.【变式4-1】已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．【分析】由题意可证△ABE≌△CDF，可得结论．【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形∴AB∥CD，AB＝CD∴∠ABD＝∠CDB∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC∴△ABE≌△CDF∴AE＝CF【变式4-2】如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF．【分析】证△ADE≌△CBF（SAS），即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，∴∠ADE＝∠CBF，∵点E、F分别是OB、OD上的中点，∵BE=12OB，DF=12OD，∴BE＝DF，∴在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠DAE＝∠【变式4-3】已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE．【分析】由在平行四边形ABCD中，AM＝DM，证得△AEM≌△DCM（AAS），可得AE＝CD＝AB，由BM平分∠ABC，证得△BCE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠E＝∠DCM，在△AEM和△DCM中，∠E=∠DCM∠AME=∠DMCAM=DM，∴△AEM≌△DCM（AAS），∴AE＝CD，∴AE＝∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBM＝∠AMB，∴∠ABM＝∠AMB，∴AB＝AM，∵AB＝AE，AM＝DM，∴点M是AD的中点，∴BC＝2AM，∴BC＝BE，∴△BCE是等腰三角形．∵BM平分∠ABC，∴BM⊥CE．【变式4-4】如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO＝DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；（2）证出AE＝GE，再证明DG＝DO，然后由等腰三角形的性质得出OF＝FG＝1，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ODF．在△OBE与△ODF中，∠OBE=∠ODF∠BOE=∠DOFBE=DF∴△OBE≌△ODF（AAS）．∴BO＝（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA＝∠GFD＝90°．∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°．∴AE＝GE∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°．∴∠GOD＝∠G＝45°．∴DG＝DO，∵EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴OF＝FG＝1，由（1）可知，OE＝OF＝1，∴GE＝OE+OF+FG＝3，∴AE＝3．【变式4-5】如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）求证：AE平分∠DAB；（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质，根据AAS可判定△ADE≌△FCE；（2）根据全等三角形的性质可得AE＝FE，根据BE⊥AF．利用线段垂直平分线的性质可得BA＝BF，进而可得结论；（3）结合（1）根据∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的长，根据△ADE≌△FCE，可得△ADE的面积＝△FCE的面积，所以▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积，即可得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠EFC，∵点E是CD边的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，∠DAE=∠EFC∠DEA=∠CEFDE=CE，∴△ADE≌△FCE（（2）证明：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，∵BE⊥AF，∴BA＝BF，∴∠BAF＝∠BFA，∵∠DAE＝∠BFA，∴∠DAE＝∠BAF，∴AE平分∠DAB；（3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4，∴∠DAE＝∠BAF＝30°，∵BE⊥AF，∴BE=12AB＝2，∴AE=3BE∵△ADE≌△FCE，∴△ADE的面积＝△FCE的面积，∴▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2×12×AE•BE＝23题型五两条平行线间的距离及其应用题型五两条平行线间的距离及其应用【例题5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（）A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长【分析】由平行四边形的性质和平行线之间的距离可直接求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵MN⊥CD，∴平行线AB与CD之间的距离是MN的长，故选：B．解题技巧提炼两条平行线间的距离指的是：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，平行线间的处处都相等，在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.【变式5-1】如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（）A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线之间的距离的定义可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，又∵CM⊥AB，∴直线AB与CD的距离为CM的长，故选：C．【变式5-2】如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（）A．MN B．OE C．EF D．OF【分析】夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离．【解答】解：因为直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直线CD，则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长．故选：C．【变式5-3】如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离．【分析】根据平行线间的距离进行计算即可．【解答】解：由题意可知，直线a与c的距离为5﹣2＝3（cm），故答案为：3cm．【变式5-4】在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（）cm．A．3 B．7 C．3或7 D．2或3【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解．【解答】解：如图，①直线c在a、b外时，∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，∴a与c的距离为5+2＝7（cm），②直线c在直线a、b之间时，∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，∴a与c的距离为5﹣2＝3（cm），综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．故选：C．【变式5-5】如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于．【分析】过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，分别求出ON＝OM＝1.5，则可求MN＝3．【解答】解：过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，OM⊥AB，∵AO平分∠MAC，OE⊥AC，∴OM＝OE，∵OC平分∠ACD，OE⊥AC，∴OE＝ON，∴OM＝ON，∵OE＝1.5，∴MN＝3，故答案为：3．题型六平行四边形与平面直角坐标系的综合题型六平行四边形与平面直角坐标系的综合【例题6】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣3，0），（0，2），则顶点C的坐标是（）A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2）【分析】直接利用平行四边形的性质得出AB的长，进而得出顶点C的坐标．【解答】解：∵平行四边形ABCD，A（1，0）、B（﹣3，0），∴AB＝4，∴DC＝4，∵D（0，2），∴C（﹣4，2）．故选：D．解题技巧提炼在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标时，主要考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题时，利用了平行四边形的对边相等且平行的性质，对角线互相平分，有时需要分情况讨论．【变式6-1】▱ABCD的顶点坐标分别是为A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），则点D的坐标是（）A．（5，3） B．（﹣5，1） C．（1，﹣1） D．（3，0）【分析】根据平行四边形的对边平行且相等的性质进行分析作答．【解答】解：∵四边形ABCD的平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD．∴xC﹣xB＝xD﹣xA，即3﹣0＝xD+2，则xD＝1．yC﹣yB＝yD﹣yA，即1﹣2＝yD，则yD＝﹣1．∴点D的坐标是（1，﹣1）．故选：C．【变式6-2】如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（）A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2）【分析】由平行四边形的性质可得出答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3），∴AB＝3，AB∥y轴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝3，∵C（2，﹣1），∴D（2，2），故选：B．【变式6-3】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点D的坐标是（）A．（﹣8，2） B．（8，﹣4） C．（4，2） D．（8，2）【分析】根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣4，﹣4）、（4，﹣4），∴BC＝8，OA＝2，∴顶点D的坐标为（8，2）．故选：D．【变式6-4】如图，若▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），则点B的坐标是（）A．（﹣4，﹣2） B．（−12，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，【分析】由平行四边形的性质可得AC与BD互相平分，由中点坐标公式可求解．【解答】解：设点B（x，y），∵▱ABCD的顶点A，C，D的坐标分别是（1，1），（3，﹣1），（5，2），∴AC与BD互相平分，∴1+32=5+x2，−1+12=y+22，解得：x＝﹣1，y＝﹣2，∴点【变式6-5】平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）【分析】先由点的坐标求出求出线段OA，OB的长度，再分情况进行求解，即可得出答案．【解答】解：设第四个顶点C的坐标为（x，y），①当BC＝AO时，∵O（0，0），A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝1，∴BC＝1，∴C点坐标为C（1，2）或C（﹣1，2）．②BO＝AC时，∵BO＝2，∴AC＝2，∴C点坐标为C（﹣1，﹣2）．故选：C．题型七平行四边形的折叠问题题型七平行四边形的折叠问题【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（）A．70° B．40° C．30° D．20°【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A＝70°，又由平角的定义，即可求得∠AMF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∵∠A＝70°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝70°，∴∠AMF＝180°﹣∠DMN﹣∠FMN＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．解题技巧提炼折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的图形胃疼，这类问题既是对称问题的应用又可考查空间想象能力，平行四边形中的折叠问题是利用平行四边形的性质，以及三角形的全等、平行等知识在解决问题.【变式7-1】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（）度．A．40 B．35 C．30 D．50【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝50°，再由三角形的外角性质得∠AEC＝∠D+∠DAE＝70°，则∠AED＝110°，然后由折叠的性质得∠AED＝∠AED′＝110°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝50°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，∴∠AED＝∠AED′＝110°，∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，故选：A．【变式7-1】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1＝∠2＝42°，则∠B为（）A．84° B．114° C．116° D．117°【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠B'AB＝42°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B'AC＝21°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠B'AB＝42°，∵将▱ABCD沿对角线AC折叠，∴∠BAC＝∠B'AC＝21°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝117°，故选：D．【变式7-3】如图，平行四边形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，A′E交BD于F，则∠DEF＝（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】由平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而得出∠A′DE＝∠AED，再根据翻折的性质以及三角形内角和即可求出∠DEF＝∠AED＝65°，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠A′DE＝∠AED．由翻折可知：∠ADE＝∠A′DE，∠DEF＝∠AED．∴∠ADE＝∠AED．∵∠A＝50°，∴∠AED=12（180°﹣∠A）＝65°，∴∠DEF＝65°．故选：【变式7-4】如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（）A．1 B．5 C．10 D．20【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD＝10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于AB+AD，即可解决问题．【解答】解：∵平行四边形ABCD是周长为20，∴AB+AD＝10，由翻折可知：EB＝DE，∴△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝10，故选：C．【变式7-5】如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE恰好过BC边中点，若AB＝3，BC＝6，则∠B的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】AE与BC相交于F点，根据平行四边形的性质得AD∥BC，则∠1＝∠3，再根据折叠性质得∠1＝∠2，所以FC＝FA，由于F为BC边中点，可得到AF＝CF＝BF＝3，而AB＝3，于是可判断△ABF为等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得到∠B＝60°．【解答】解：AE与BC相交于F点，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠3，∵平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴FC＝FA，∵F为BC边中点，BC＝6，∴AF＝CF＝BF=12×6＝3，而AB＝3，∴△ABF为等边三角形，∴∠B故选：C．09平行四边形的性质随堂检测1.在▱ABCD中，∠B＝60°，那么下列各式中成立的是（）A．∠A+∠C＝180° B．∠D＝60° C．∠A＝100° D．∠B+∠D＝180°【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠D＝∠B＝60°，∠A+∠B＝180°，故B正确∴∠A＝∠C＝120°，∠B+∠D＝120°，故C、D错误；∴∠C+∠A＝240°≠120°，故A错误；故选：B．2.关于平行四边形的性质，下列说法不正确的是（）A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．邻角相等【分析】根据平行四边形的性质进行逐一判断即可．【解答】解：∵平行四边形的性质是：对边相等且平行；对角相等，邻角互补；对角线互相平分．∴A、B、C正确，D错误，故选：D．3.如图，已知▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AC＝8，BD＝4，那么BC的长度为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】由平行四边形的对边相等即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝3，故选：D．4.在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOB的面积是8，则▱ABCD的面积是（）A．16 B．24 C．32 D．40【分析】根据平行四边形的性质可知OA＝OC，OB＝OD，△AOB和△BOC等底同高，则S△AOB＝S△BOC＝8，同理，S△AOB＝S△AOD＝S△COD＝8，则▱ABCD的面积是8×4＝32．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴△AOB和△BOC等底同高，∴S△AOB＝S△BOC＝8，同理，S△AOB＝S△AOD＝S△COD＝8，则▱ABCD的面积是8×4＝32．故选：C．5.将平行四边形ABCD放在平面直角坐标系中，顶点A，B，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（5，2），则顶点D的坐标是（）A．（4，3） B．（1，3） C．（1，2） D．（4，2）【分析】根据平行四边形的性质得，CD＝AB，CD∥AB，从而得出CD＝AB，即可得出答案．【解答】解：由平行四边形的性质得，CD＝AB，CD∥AB，∵顶点A，B，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（5，2），∴CD＝AB＝4，∴D（1，2），故选：C．6.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD⊥AD，点E是AB中点，DE＝4，△COD的周长比△BOC的周长多4，则AC的长是（）A．2 B．4 C．2 D．【分析】首先由平行四边形的对边相等和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半