(寒假)人教版数学八年级寒假讲义07 勾股定理综合问题+随堂检测（教师版）

第第页07勾股定理综合问题考向一勾股定理与弦图问题【例1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（

）A．13 B．10 C．15 D．9【答案】D【分析】根据小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，求得小正方形的面积，再计算其算术平方根即可．【详解】因为小正方形的面积=129−12ab×4=129−48=81【点睛】本题考查了弦图的计算，熟练掌握图形的面积分割法计算，会求算术平方根是解题的关键．【例2】如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列三个结论：①xA．①②③ B．①② C．①③ D．②③【答案】A【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．【详解】解：∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理得：x2由图可知，x−y=EF，即为小正方形的边长，∵正方形EFGH的面积为1∴EF=1，∴x−y=1，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，即4×1∴xy=12，故③正确．∵x+y2=x2+∴正确结论有①②③．故选：A．【变式1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（

）A．52 B．68 C．72 D．76【答案】D【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，然后利用外围周长=4×(BD+AD)即可求解．【详解】由题意可知CD=2AC=12∵∠BCD=90°,BC=5∴BD=C∴风车的外围周长是4×(BD+AD)=4×(13+6)=76故选：D．【变式2】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则a+b2【答案】49【分析】根据题意和图形，可以得到a2+b2=c2，c2=25，a−b2=1然后变形即可得到ab【详解】解：由图可得，a2+b2=∵小正方形的面积是1，∴a−b2=1，∴a2∴(a+b)2=a2+2ab+b【变式3】我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD(3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求a+b2【答案】(1)见解析；(2)CD=125【分析】（1）分别用两种方法求出大正方形的面积，根据面积相等列等式，即可证明；（2）先根据勾股定理求出AB，再根据等面积法即可求解；（3）根据（1）的结果，可得c2=a2+【详解】（1）∵S大正方形=c2，又∵S大正方形∴c2=2ab+b−a（2）由勾股定理得：BC2+AC2=AB2，∵S△ABC=12×AC×BC=6∵AB=5，∴CD=6×2（3）根据（1）有：S大正方形=c2，又∵S大正方形=c∴c2=a∴a2∴a+b2考向二勾股定理与网格问题【例1】如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（

）A．31010 B．2105 C．【答案】D【分析】连接AC、BC，利用割补法求出S△ABC=4，根据勾股定理求出AB=10，设C点到AB的距离为h，根据S【详解】解：如图，连接AC、BC，S△ABC=3×3−1设C点到AB的距离为h，∵S△ABC=1【变式1】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（

）A．3−1 B．3−5 C．5 【答案】B【分析】如图，连接AD，利用勾股定理求得DE即可求解．【详解】解：如图，连接AD，则AD=AB=3，∵∠E=90°，AE=2，∴在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=AD【变式2】如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是（

）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】B【分析】延长PC到点C，使得PC=AP，连接BC，根据勾股定理的逆定理可得△PCB为等腰直角三角形，即可求解．【详解】解：延长AP到点C，使得PC=AP，连接BC，如下图：由勾股定理得：PC=AP=12+22∴PC=BC，BP2=PC2∴∠PAB＋【变式3】如图，在8×8的方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有_____（填写序号）．①△ABC的形状是直角三角形；②△ABC的周长是35③点B到AC边的距离是2；④若点D在格点上（不与A重合），且满足S△BCD=S【答案】①②③【分析】根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，即可判断②，再根据勾股定理的逆定理即可判断①，根据三角形面积公式即可判断③和④．【详解】由勾股定理得：AB=22+12=5，AC=32+42∴AB2+BC2△ABC的周长是5+5+2设点B到AC边的距离是h，由三角形面积公式得：12∴h=AB⋅BCAC∵S△BCD=S△BCA，∴D点到BC的距离等于A点到BC的距离，如图所示，D点可以是直线m、n上的任意一点，又∵点D在格点上（不与A故答案为：①②③．考向三勾股定理的应用【例1】如图，数轴上的点A对应的实数是﹣1，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB．使BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（）A．﹣1 B．+1 C． D．【分析】根据勾股定理即可算出AC的长，根据据题意可得AC＝AD，由点A对应的实数是﹣1，即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝，根据题意可得，AC＝AD，点D所对应的实数是．故选：A．【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，，则四边形ABCD的面积是（）A． B．4 C． D．【分析】连接AC，然后根据勾股定理可以求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD的形状，从而可以求得四边形ABCD的面积．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝＝，∵CD＝2，，∴CD2+AC2＝（2）2+（）2＝17，AD2＝（）2＝17，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积是：AB•BC+AC•CD＝×1×2+××2＝1+．故选：D．【例2】为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【分析】连接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，过点C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分别求出AF、CF的长，进而可得AB的长．【解答】解：连接AC、BC，过点C作CF⊥AB于F，因为测温仪的有效测温距离为5m，所以AC＝BC＝5m，又测温仪C与直线AB的距离为3m，在Rt△ACF中，据勾股定理得：AF＝＝＝4（m），同理得BF＝4m，所以AB＝8m，即学生沿直线AB行走时测温的区域长度为8m．故选：D．【变式1】如图，是荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．绳长BA＝2m，当秋千摆动到最高点A时，测得∠ABD＝60°．当秋千从A处摆动到A′时，A′B⊥AB，则A′到地面的距离是（﹣）m．【分析】作A'F⊥BD，垂足为F，根据根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝2m，∴BC＝AB＝1（m），∵BD＝2.5m，∴CD＝1.5m，如图，作A'F⊥BD，垂足为F，过A作AE⊥DH于E．∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；在△ACB和△BFA'中，∴△ACB≌△BFA'（AAS）；∴A'F＝BC∵AC∥DE，CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.5m；∴A'F＝BC＝1m，∵△ACB≌△BFA'，∴BF＝AC＝AB＝m，作A'H⊥DE，垂足为H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，∴A'H＝BD﹣BF＝（﹣）m，即A'到地面的距离是（﹣）m，故答案为：（﹣）．【变式2】一台拖拉机沿公路AB以200m/min的速度从A行驶到B，点C为一所学校，AC＝300m，BC＝400m，AB＝500m，距离拖拉机250m以内会受噪音影响．（1）学校C会受到拖拉机的噪音影响吗？为什么？（2）学校C受到拖拉机的噪音影响的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校C会受噪声影响，理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300m，BC＝400m，AB＝500m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝＝240（m），∵距离拖拉机250m以内会受噪音影响，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝250m，FC＝250m时，正好影响C学校，∵ED＝＝＝70（m），∴EF＝140（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴140÷200＝0.7（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有0.7分钟．考向四勾股定理与折叠问题【例1】在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则AE的长是（

A．152 B．254 C．4【答案】B【分析】先利用勾股定理求得AC的长，再设AE=x，再根据图形翻折变换的性质得出BE=x，CE=8−x，再根据勾股定理求出x的值．【详解】解：设AE=x，则CE=8−x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴BE=x，在RtΔBCE中，BE2=B【变式1】如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，CE=1，AC=4，则下列结论：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等．一定正确的是（A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】由CE=1，AC=4，得AE=3，由折叠得DE=AE=3，根据勾股定理得CD的长，据此求解可判断①正确；因为BD=4−22，CE=1，所以BD>CE，可判断②正确；由∠EDF=∠A=∠B=45°，得2∠EDF=90°，再推导出∠CDE=135°−∠BDF，则∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，据此求解可判断③正确；根据勾股定理求得AB【详解】解：∵CE=1，AC=4，∴AE=AC−CE=3，由折叠得DE=AE=3，∵AC=BC=4，∠C=90°，∴CD=D∵BD=4−22，CE=1，且4−2∵∠EDF=∠A=∠B=45°，∴2∠EDF=90°，∵∠CDE=180°−∠EDF−∠BDF=135°−∠BDF，∠DFB=180°−∠B−∠BDF=135°−∠BDF，∴∠CDE=∠DFB，∴∠CED+∠DFB=∠CED+∠CDE=90°，∴∠CED+∠DFB=2∠EDF，故③正确；∵AB=AC2∴BF+DF+BD=BF+AF+BD=AB+BD=42∵CD+DE+CE=CD+AE+CE=CD+AC=22+4，∴∴△DCE与△BDF的周长相等，故④正确，综上，①②③④均正确，故选：D．【变式2】如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论：①BD>CE；②BC=2CD；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】在等腰Rt△ABC中，可得AC=4=BC，即AB=AC2+BC2=42，由折叠可得，DE=AE=3，即CD=DE2−CE2=22，则有BD=BC−DC=4−22＞1，可判断①正确；根据BC=4，【详解】在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴∠A=∠B=45°，AC=4=BC∴AB=AC2+BC2=∴在Rt△CDE中，CD=DE2−CE2∵BC=4，CD=22，∴BC=4，2CD=4，∴BC=2∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=42，∵△DCE的周长为：CE+DE+CD=1+3+2由折叠可得，DF=AF，∴△BDF的周长为：DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=42+4−22=4+22，∴【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF【答案】7【分析】先求出AC，再由翻折可得∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，从而可证∠FEC=90°，设AF=EF=x，则CF=AC−AF=8−x，用勾股定理即可得答案．【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC=A由翻折可知：∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，∵∠A+∠B=90°，∴∠DEF+∠DEC=90°，即∠FEC=90°，∴EF设AF=EF=x，则CF=AC−AF=8−x，∴x2+62=故答案为：74【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知A0，4、B6，0．现将ΔACD折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在【答案】0，【分析】由A0，4、B6，0，A′是OB边的中点，可得OA′【详解】解：∵A0，4、B6，0，∴OA=4，OB=6，∵∵ΔACD折叠得到ΔA′CD，∴AC=A′C，AD=∴AC=OA−OC=4−m，在RtΔA′OC中由勾股定理可得，故答案为：0，【变式2】如图，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边【答案】2或2【分析】分两种情形：如图1中，当∠CMB=90°时，由题意可知点P与C重合，如图2中，当∠【详解】解：如图1中，当∠CMB=90°时，由题意可知点P与C在Rt△ACM中，∵∠A=45°，AC=2，∴AM=CM=在Rt△BCM中，∵∠B=30°，CM=2，∴BM=3如图2中，当∠MPB=90°由翻折可知，AM=PM，在Rt△PMB中，∵∠B=30°，∴BM=2PM=2AM∴3AM=AB，∴AM=2+63．综上所述，满足条件的AM的值为故答案为：2或2+勾股定理综合问题课堂检测1.利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四边形AECD＝S四边形DEBC【答案】B【分析】利用梯形面积等于3个三角形面积之和解答即可．【详解】解：由题意可得：S△EDA2.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC﹣AB，计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10（m），∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．3.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（

）A．5 B．13 C．4 D．3【答案】B【分析】根据大正方形面积等于4个三角形面积与小正方形面积和即可求解．【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，∴S△=12大正方形的面积为：4S△+小正方形面积=4×3＋1＝13，所以大正方形的边长为13．故选B．4.如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC度数为（

）A．60° B．45° C．30° D．20°【答案】B【分析】在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．【详解】解：根据勾股定理可得：AC=BC=22+∵(5)2+(5故选：B．5.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（

）A．152 B．855 C．4【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】解：∵S△ABC=3×4−∴BC边长的高=2×46.如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（

）A．3 B．103 C．154【答案】B【分析】设CD=x，则BD=12−x，根据折叠可知，DE=CD=x，AE=AC=5，根据勾股定理求出AB=13，得出BE=8，在Rt△BDE中，根据勾股定理列出x【详解】解：设CD=x，则BD=12−x，根据折叠可知，DE=CD=x，AE=AC=5，根据勾股定理可知，AB=AC2在Rt△BDE中，根据勾股定理可得，BD2=BE7.我们知道，三个正整数a、b、c满足a2+b2＝c2，那么，a、b、c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即m＝x2+y2，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，其中x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数．其中正确的结论是（）A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论错误；②∵13＝22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④∵5＝12+22，13＝22+32，65＝5×13，65是广义勾股数，两个广义勾股数的积是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论正确；⑤∵x2+y2＝（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+2m2n2+n4，z2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，∴x2+y2＝z2，又知x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数．故⑤结论正确；∴依次正确的是②④⑤．故选：D．8.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC各顶点均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为_____．【答案】2【分析】由勾股定理可求AC,BC,AB的长，由勾股定理的逆定理可证∠ACB=90°，由面积法可求解．【详解】解：由题意可得：AC=12+22∵AC2+BC2∵S△ABC=12×AB⋅CD=9.如图，是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于195cm．【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长，再由勾股定理求得斜边AB的长即可．【解答】解：如图，由题意得：AC＝15×5＝75（cm），BC＝30×6＝180（cm）由勾股定理得：AB＝＝＝195（cm），故答案为：195cm．10.在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2=49,②a−b=4,