（预习）人教A版数学高一寒假提升学与练+随堂检测08 立体图形的直观图（教师版）

第页专题08立体图形的直观图思维导图核心考点聚焦考点一：水平放置的平面图形直观图的画法考点二：几何体的直观图画法考点三：与直观图还原有关的计算问题知识点一：水平放置的平面图形的直观图的画法（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半．知识点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤（1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．（2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图．（3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示．斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．考点剖析考点一：水平放置的平面图形直观图的画法例1．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.

【解析】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图，如图所示，则的面积为.例2．已知正五边形，如图，试画出其直观图．【解析】画法：①在图（1）中作轴于点，作轴于点；②在图（2）中画相应的轴与轴，两轴相交于点，使；③在图（2）中的轴上取，，，，轴上取，分别过和作轴的平行线，并在相应的平行线上取，．④连接、、、，并擦去辅助线、，轴与轴，便得到水平放置的正五边形的直观图（如图（3））．

（1）

（2）

（3）例3．用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）.(1)正方形

(2)直角梯形(3)正(4)平行四边形【解析】（1）①作坐标系，如图，②在轴上取，使得，在轴上取，使得，③作轴且，连接，④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图．（2）①作坐标系，如图，②在轴上取，使得，在轴上取，使得，③作轴且，连接，④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为梯形的直观图．（3）①作坐标系，如图，②在轴上取，使得，设中点为，连接，取中点，作轴，使得，③连接，，④去掉轴，轴，得三角形，下右图，为三角形的直观图．（4）①作坐标系，如图，②在轴上取，使得，设轴，为垂足，在上取，使得，作轴，使得，③作轴且，连接，④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图．变式1．如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图.【解析】在等腰梯形中，过D作于O，以直线CB，OD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，其中，在平面内取点，过作直线，使，如图，在直线上取点，使，过作线段，使，在直线上取点，使，连接，抹去辅助线得等腰梯形的直观图，如图梯形.变式2．如图，在斜二测画法下被画成正三角形，请画出的真正图形．【解析】如图，即为所求图形．作图过程：过C作CD⊥AB于D，延长DA到O，使得DO＝DC，连接OC，则∠COD＝45°．过O作Oy⊥OB，并以Oy作为y轴，OB作为x轴，在y轴正半轴取，使得，连接、，则根据斜二测画法的原理可知即为真正的图形．考点二：几何体的直观图画法例4．用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使,.②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图.③分别过点B、C、D作，，，且．③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．例5．用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2．【解析】（1）画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，，．（2）画下底面．如图①，以O为中心，在x轴上取线段MN，使；在y轴上取线段PQ，使．分别过点M和点N作y轴的平行线，分别过点P和点Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则面ABCD即为四棱台的下底面．（3）画上底面．在z轴上取一点，使，过点分别作，，在平面内以为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图．（4）连线．被遮挡的线画成虚线，擦去辅助线并整理，就得到四棱台的直观图（如图②）．例6．在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．

【解析】画法

（1）画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使，．（2）画圆柱的直观图．如图（1），以点O为中点，在x轴上截取，借助椭圆模板画出下底面的直观图，在z轴上截取，过点分别作，．以点为中点，在轴上截取，借助椭圆模板画出上底面的直观图．连接与．（3）画球的直观图．如图（2），在轴上截取，以点为中心，分别沿三个方向（两两之间的夹角为120°）画半径为3cm的圆的直观图（三个椭圆）．以点为圆心画一个半径为3cm的圆．（4）成图．经过整理，就得到了所求几何体的直观图，如图（3）．变式3．画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．【解析】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得.（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,使,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取5cm长的线段.（4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图变式4．画出底面边长为3cm、高为4.5cm的正三棱柱的直观图.【解析】一、画轴，如图：画轴、轴、轴，三轴相交于点，使得，；二、画底面，以为中点，在轴上取，在轴正半上截取，连接，，则就是正三棱柱的底面；三、画侧棱、过点，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4.5cm长的线段，，；四、成图，顺次连接，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），即得正三棱柱的直观图.变式5．用斜二测画法画长、宽、高分别为、、的长方体的直观图．【解析】画法步骤：（1）画轴．如图，画轴、轴、轴，三轴相交于点，使，．（2）画底面．以点为中点，在轴上取段，使；在轴上取线段，使．分别过点和作轴的平行线，过点和作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，四边形就是长方体的底面的直观图．（3）画侧棱．过，，，各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，．（4）成图．顺次连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图．考点三：与直观图还原有关的计算问题例7．如图，是水平放置的△OAB的直观图，，则的面积是．

【答案】12【解析】由直观图可知，是直角三角形，且，所以的面积是，故答案为：12．例8．水平放置的的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形，点是斜边的中点，且，则底边的高为.

【答案】【解析】在等腰直角三角形中，点是斜边的中点，且，所以，把平面直观图还原为原图形，如图所示：则底边的高为，且.故答案为：.例9．有一多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），其中，则原四边形的面积为．

【答案】【解析】因为直观图是直角梯形，且，所以，所以四边形中，，，，且，，所以四边形ABCD的面积为.故答案为：.变式6．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，则的面积是.

【答案】【解析】如图由直观图得到如下平面图形，设的中点为，则轴，且，又，所以.故答案为：变式7．如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为.【答案】【解析】如图所示，作出直观图，则，，，梯形的高为，∴直观图的面积为.故答案为：.变式8．若边长为的等边是一个平面图形的直观图，则这个平图形的面积是.【答案】【解析】由题意可知：直观图的面积，所以这个平面图形的面积是.故答案为：.变式9．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为．

【答案】8【解析】因为为边长为1的正方形，所以，还原平面图如图，中，，所以，所以的周长为.故答案为：8过关检测一、单选题1．已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（

）A．4 B．2 C． D．1【答案】C【解析】根据斜二测画法的知识可知，所以图形的面积是.故选：C2．已知水平放置的正方形ABCD的斜二测画法直观图的面积为，则正方形ABCD的面积是（

）A． B． C．8 D．16【答案】D【解析】因为，所以，所以正方形ABCD的面积为16，故选：D.3．如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（

）

A．6 B． C．12 D．24【答案】C【解析】根据斜二测画法的知识画出原图如下图所示，则原的面积为12.故选：C.4．水平放置的的直观图如图所示，是中边的中点，且平行于轴，则，，对应于原中的线段AB，AD，AC，对于这三条线段，正确的判断是（

）

A．最短的是AD B．最短的是AC C． D．【答案】A【解析】因为平行于轴，所以在中，，又因为是中边的中点，所以是的中点，所以.故选：A5．如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由斜二测画法知：对应原图中，且，所以，且为平行四边形，如下图示，所以原图形的周长为.故选：B6．水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由直角梯形中，且，作于，则四边形为正方形，为等腰直角三角形，故，.故原图为直角梯形，且上底，高，下底.其面积为.故选：C7．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（

）

A． B．2 C． D．【答案】C【解析】在直角梯形中，，，显然，于是，直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，，，所以该平面图形的高为.故选：C8．水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由直角梯形中，且，作于，则四边形为正方形，为等腰直角三角形，故，.故原图为直角梯形，且上底，高，下底.其面积为.故选：C二、多选题9．如图，为水平放置的的直观图，其中，则在原平面图形中有（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】在直观图中，，取中点，连接，则，而，于是，，由斜二测画法规则作出，如图，则，，，，显然，AD正确，BC错误.故选：AD10．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D'是中B'C'边上的一点，且D'C'＜D'B'，A'D'∥y'轴，那么原的AB、AD、AC三条线段中（）

A．最长的是AB B．最长的是AC C．最短的是AC D．最短的是AD【答案】AD【解析】根据题意，原的平面图如图，其中，，，则有，故的AB、AD、AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD；故选：AD11．（2024·湖南益阳·高一安化县第二中学校考阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．棱柱中每一个面都不会是三角形B．各个侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体C．经过圆锥的两条母线的截面一定是一个等腰三角形D．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图还是菱形【答案】BC【解析】A选项，三棱柱的上底面和下底面是三角形，A错误；B选项，各个侧面都是正方形，若上下底面是菱形，则这样的四棱柱不一定是正方体，B正确；C选项，圆锥的两条母线相等，故经过圆锥的两条母线的截面一定是一个等腰三角形，C正确；D选项，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图不一定是菱形，如图所示，正方形的直观图不是菱形，故D错误.故选：BC12．如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，.则以下正确的有（

）

A． B．是等腰直角三角形C． D．的面积为【答案】ABC【解析】画出原图如下图所示，根据斜二测画法的知识可知：，三角形是等腰直角三角形，面积为.所以ABC选项正确，D选项错误.故选：ABC三、填空题13．已知正的边长为4，那么的直观图的面积为．【答案】【解析】如图所示：在正中，显然，因此在中，，过作，垂足为，因此，所以的面积为，故答案为：14．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为.

【答案】【解析】根据题意，平面图形的斜二测直观图是直角梯，其中，则.根据斜二测画法还原该平面图形，如图，该平面图形为直角梯形，，且，OC⊥OA，OC是该平面图形的高，则.故答案为：.15．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为.

【答案】【解析】因为轴，所以的中，，又三角形的面积为16，所以.∴，所以.如图作于，因为，所以.故答案为：.16．如图所示的是的直观图，其中，则的周长为.

【答案】【解析】在直观图中，，，则，故为等腰直角三角形，所以，，故原图形中，，，故的周长为.故答案为：.四、解答题17．画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图.【解析】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形；第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm；第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形；第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：18．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形，且，试画出它的原图形.并求出直观和原图形的面积.

【解析】如下图示，根据斜二测画法可得原图形，是纵向、横向直角边长分别为的直角三角形，所以，原图面积为，直观图的面积为.19．已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，，求DC的长度．

【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，原高为，画出原图形如图所示，过点D作于E，而横向长度不变，且梯形是直角梯形，.20．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形．用斜二测画法画出的这个梯形的直观图为．求梯形的高．【解析】如图（1）所示，过点作，垂足为，过作轴，垂足为，因为四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，可得，在直角中，可得，所以，如图（2）所示，在梯形的直观图中，分别坐标，，垂足分别为，因为轴，所以，延长交于点，根据斜二测画法的规则，可得，在直角中，可得，即直观图的高为.21．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD（如图所示），若，，，求这个平面图形的面积．

【解析】根据斜二测画法可知原直角梯形中,∵在直观图中，，可得.∴原平面图形是上底长为1，下底长为，高为2的直角梯形，∴原平面图形的面积为．22．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图．【解析】分以下三步进行作图：（1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示．（2）画出对应的轴、轴，使，在轴上取点，，使得，；在轴上取一点，使得；过作轴，使，连接，，如图②所示．（3）擦去轴与轴及其他辅助线，如图③所示，四边形就是所求的直观图．立体图形的直观图随堂检测1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（

）A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形在直观图中仍然是正方形D．平行的线段在直观图中仍然平行【答案】D【解析】选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A错误.选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半，故B错误.选项C：正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，C错误.选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D正确.故选：D.2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（

）A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点【答案】B【解析】根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行，原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，，所以错误的是B故选：B．3．如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（）A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】C【解析】将其还原成原图，设，则可得，，从而，所以，即，故是等腰直角三角形.故选：C.4．已知水平放置的矩形的长为4，宽为，用斜二测画法画出该矩形的直观图，则所画直观图的面积为（

）A．32 B． C．4 D．2【答案】C【解析】根据斜二测画法的规则可知，矩形的直观图为平行四边形,如图，其中，所以平行四边形的面积.故选：C5．在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示.已知为坐标原点，,,.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为（

）A．8 B．10 C． D．【答案】D【解析】如图，画出直观图，过点作，垂足为.因为，，所以，，，则，故四边形的周长为，所以D正确.故选：D.6．如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（