（预习）人教A版数学高一寒假提升学与练+随堂检测05 复数的概念（原卷版）

第页专题05复数的概念思维导图核心考点聚焦考点一：复数的基本概念考点二：复数相等考点三：复数的几何意义考点四：复数的模考点五：复数的轨迹与最值问题知识点一：复数的基本概念1、虚数单位数叫做虚数单位，它的平方等于，即．知识点诠释：①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．2、复数的概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．知识点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据．3、复数的分类对于复数（）若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数．分类如下：（）用集合表示如下图：4、复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．）5、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为．知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：如果，那么特别地：．知识点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样．根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．一、复数的几何意义1、复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．知识点诠释：实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2、复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义．3、复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数．设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量这是复数的另一种几何意义．4、复数的模设（），则向量的长度叫做复数的模，记作．即．知识点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小．②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等．考点剖析考点一：复数的基本概念例1．当为何实数时，复数分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数：(4)0？例2．复数，则（

）A．的实部为 B．的虚部为C．的实部为 D．的虚部为例3．已知，，若，则z的虚部是（

）A．-2 B．1 C．-2i D．2i变式1．设，则复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．变式2．已知为虚数单位，则（

）A． B． C．1 D．变式3．已知i为虚数单位，复数，则z的共轭复数为（

）A． B． C． D．考点二：复数相等例4．已知x、，若，则．例5．已知，，则a＝；例6．已知，则变式4．已知，i为虚数单位，且，则.考点三：复数的几何意义例7．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为．例8．已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第象限．例9．若复数所对应的点在第二象限，则的取值范围为.变式5．复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为.变式6．已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是．变式7．当时，复数在复平面内的对应点位于第象限．变式8．若复数（其中为虚数单位）在复平面内所对应的向量分别为和，则的面积为.考点四：复数的模例10．复数的模．例11．已知纯虚数满足，则．例12．已知复数，其中i为虚数单位，若z，在夏平面上对应的点分别为M，N，则线段MN长度为．变式9．已知复平面内复数对应的点在射线上，且，则．变式10．是虚数单位，已知．写出一个满足条件的复数．变式11．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且，则z等于．（写出一个即可）变式12．若复数满足，则．考点五：复数的轨迹与最值问题例13．复数满足，且在复平面内对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是（

）.A．点 B．圆 C．线段 D．圆环例14．复数满足关系式：，则复数在复平面内对应点的轨迹是（

）A．两条直线 B．一条直线和一个圆C．两个圆 D．一个圆例15．已知复数z满足，则的最大值为．变式13．若，且满足，则的最大值为.变式14．已知，则的最大值是.过关检测一、单选题1．若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（

）A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数3．已知是虚数单位，，则（

）A． B． C．2 D．4．设m为实数，已知复数为纯虚数，则m的值为（

）A．0或1 B．1或-2 C．0 D．-25．复数对应的点在第四象限，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角6．若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（）A． B． C． D．7．已知，．若，则的值为（

）A．2 B．3 C．2或3 D．不存在8．复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．5二、多选题9．对于复数，下列结论错误的是（

）A．若，则为纯虚数B．若，则C．若，则为实数D．10．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，则实数的可能取值为（

）A．2 B．0 C． D．111．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（

）A．B．复数的模长为C．若，则复平面内对应的点位于第二象限D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线12．设，复数，则在复平面内对应的点可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限三、填空题13．已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则.14．在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为．15．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是.16．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点在第象限．四、解答题17．（1）若，则实数的值为多少？（2）若，且，则实数的值分别为多少？18．设复数，其中.(1)若是纯虚数，求的值；(2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.19．实数取什么数值时，复数分别是：(1)实数？(2)纯虚数？20．已知复平面内的对应的复数分别是，，其中，设对应的复数是.(1)求复数；(2)若复数对应的点在直线上，求的值.21．平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、．(1)求点对应的复数：(2)在中，求边上的高．复数的概念随堂检测1．复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限4．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（

）A． B． C．2 D．5．若z是复数，且，则的最大值是（

）A．12 B．8 C．6 D．36．复数，在复平面内对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（多选）下列四种说法中正确的有（

）A．复数是纯虚数B