2021-2022学年高中数学第三章指数函数和对数函数441第2课时对数的运算性质学案北师大版必修1

第2课时对数的运算性质对数的运算性质(1)对数的运算性质(1)当M，N同号时一定成立吗？提示：不一定成立．如lg[(－5)×(－3)]有意义，而lg(－5)，lg(－3)无意义．(2)如何证明对数的运算性质(3).提示：设logaM＝p，logaN＝q.则由对数定义，得ap＝M，aq＝N；因为eq\f(M,N)＝eq\f(ap,aq)＝ap－q，所以p－q＝logaeq\f(M,N)；即logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(√)(2)loga(xy)＝logax·logay.(×)提示：在a>0，a≠1，x>0，y>0的条件下loga(xy)＝logax＋logay.(3)log2(－3)2＝2log2(－3).(×)提示：log2(－3)2＝log232＝2log23.2．计算log84＋log82等于()A．log86B．8C．6D．1【解析】选D.log84＋log82＝log88＝1.3．(教材练习改编)计算log510－log52等于()A．log58B．lg5C．1D．2【解析】选C.log510－log52＝log55＝1.类型一化简求值(数学运算)1．计算log3(27×92)的结果为()A．8B．7C．6D．5【解析】选B.方法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7；方法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.2．计算：log345－log35＝________．【解析】log345－log35＝log3eq\f(45,5)＝log39＝log332＝2.答案：23．计算：2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53.【解析】2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))－3＝2－3＝－1.1．利用对数运算性质解题时的常用方法(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差).(2)“并”：将同底对数的和(差)并成积(商)的对数．2．利用对数运算性质解题时的注意点(1)拆项、并项不是盲目的，它们都是为求值而进行的．(2)对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg5＋lg2＝1”解题．(3)注意平方差公式、完全平方式的灵活应用．【补偿训练】计算：lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.【解析】原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.类型二带附加条件的对数式求值(数学运算、逻辑推理)角度1由对数式求值【典例】设lg2＝a，lg3＝b，则eq\f(lg12,lg5)＝()A．eq\f(2a＋b,1＋a)B．eq\f(a＋2b,1＋a)C．eq\f(2a＋b,1－a)D．eq\f(a＋2b,1－a)【思路导引】把lg12用lg2和lg3表示，把lg5用lg2表示．【解析】选C.因为lg2＝a，lg3＝b，所以eq\f(lg12,lg5)＝eq\f(2lg2＋lg3,1－lg2)＝eq\f(2a＋b,1－a).角度2由指数式求值【典例】已知a＝2lg3，b＝3lg2，比较a，b的大小．【思路导引】对a，b两边取对数进行判断．【解析】因为lga＝lg2lg3＝lg3lg2，lgb＝lg3lg2＝lg2lg3.所以lga＝lgb，所以a＝b.取对数可以把乘方、开方、乘、除运算转化为乘、除、加、减运算，即取对数起到把运算降级的作用，便于运算．1．若log32＝a，则log38－2log36用a表示为()A．a－2B．3a－(1＋a)2C．5a－2D．3a－2－a2【解析】选A.log38－2log36＝3log32－2(log33＋log32)＝log32－2＝a－2.2．已知2x＝9，log2eq\f(8,3)＝y，则x＋2y的值为________．【解析】由2x＝9，得log29＝x，所以x＋2y＝log29＋2log2eq\f(8,3)＝log29＋log2eq\f(64,9)＝log264＝6.答案：63．已知log54＝a，log53＝b，用a，b表示log56＝________．【解析】因为log54＝a，log53＝b，所以log56＝log52＋log53＝eq\f(1,2)log54＋log53＝eq\f(1,2)a＋b.答案：eq\f(1,2)a＋b1．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式：(1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn；(3)logax＝－logaeq\f(1,x)；(4)eq\r(n,logax)＝eq\f(1,n)logax；(5)eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x).其中正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】选A.根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．2．(教材例题改编)计算log42＋log48＝()A．4B．2C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)【解析】选B.log42＋log48＝log416＝2.3．设10a＝2，lg3＝b，则eq\f(lg6,lg2)＝()A．eq\f(b,a)B．eq\f(a＋b,a)C．abD．a＋b【解析】选B.因为10a＝2，所以lg2＝a，所以eq\f(lg6,lg2)＝eq\f(lg2＋lg3,lg2)＝eq\f(a＋b,a).4．log816＝________．【解析】log816＝log2324＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)5．计算：(1)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8.(2)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242－1.【解析】(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2