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文档简介
广东省广州市广东第二师范学院番禺中2025届高三(最后冲刺)数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若双曲线的离心率,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()A. B.2 C. D.12.设双曲线的右顶点为,右焦点为,过点作平行的一条渐近线的直线与交于点,则的面积为()A. B. C.5 D.63.若的二项展开式中的系数是40,则正整数的值为()A.4 B.5 C.6 D.74.已知命题:使成立.则为()A.均成立 B.均成立C.使成立 D.使成立5.已知半径为2的球内有一个内接圆柱,若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为()A. B. C. D.6.在区间上随机取一个实数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.7.已知,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是()A. B. C. D.8.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()A. B. C. D.9.以,为直径的圆的方程是A. B.C. D.10.复数(为虚数单位),则等于()A.3 B.C.2 D.11.某高中高三(1)班为了冲刺高考,营造良好的学习氛围,向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上,小王,小董,小李各写了一幅书法作品,分别是:“入班即静”,“天道酬勤”,“细节决定成败”,为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的,班主任对三人进行了问话,得到回复如下:小王说:“入班即静”是我写的;小董说:“天道酬勤”不是小王写的,就是我写的;小李说:“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“入班即静”的书写者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李12.已知集合,,则=()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数,则__________;__________.14.已知实数满足,则的最大值为________.15.在平面直角坐标系中,已知圆,圆.直线与圆相切,且与圆相交于,两点,则弦的长为_________16.已知,圆,直线PM,PN分别与圆O相切,切点为M,N,若,则的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)对于正整数,如果个整数满足,且,则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数,设是的一个“正整数分拆”,且,求的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数,证明:;并求出使得等号成立的的值.(注:对于的两个“正整数分拆”与,当且仅当且时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程;(2)设和交点的交点为,求的面积.19.(12分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.20.(12分)已知椭圆的左焦点坐标为,,分别是椭圆的左,右顶点,是椭圆上异于,的一点,且,所在直线斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)过点作两条直线,分别交椭圆于,两点(异于点).当直线,的斜率之和为定值时,直线是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理.21.(12分)已知数列满足,且,,成等比数列.(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;(2)记数列的前n项和为,,求数列的前n项和.22.(10分)已知等差数列中,,数列的前项和.(1)求;(2)若,求的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据双曲线的解析式及离心率,可求得的值;得渐近线方程后,由点到直线距离公式即可求解.【详解】双曲线的离心率,则,,解得,所以焦点坐标为,所以,则双曲线渐近线方程为,即,不妨取右焦点,则由点到直线距离公式可得,故选:C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用,渐近线方程的求法,点到直线距离公式的简单应用,属于基础题.2、A【解析】
根据双曲线的标准方程求出右顶点、右焦点的坐标,再求出过点与的一条渐近线的平行的直线方程,通过解方程组求出点的坐标,最后利用三角形的面积公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知中:,因此右顶点的坐标为,右焦点的坐标为,双曲线的渐近线方程为:,根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点作平行的一条渐近线的直线与交于点,所以直线的斜率为,因此直线方程为:,因此点的坐标是方程组:的解,解得方程组的解为:,即,所以的面积为:.故选:A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用,考查了两直线平行的性质,考查了数学运算能力.3、B【解析】
先化简的二项展开式中第项,然后直接求解即可【详解】的二项展开式中第项.令,则,∴,∴(舍)或.【点睛】本题考查二项展开式问题,属于基础题4、A【解析】试题分析:原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即.考点:全称命题.5、D【解析】
分别求出球和圆柱的体积,然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为,则,所以圆柱的体积.又球的体积,所以球的体积与圆柱的体积的比,故选D.【点睛】本题主要考查几何体的体积求解,侧重考查数学运算的核心素养.6、D【解析】
利用直线与圆相交求出实数的取值范围,然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线与圆相交,则,解得.因此,所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算,同时也考查了利用直线与圆相交求参数,考查计算能力,属于基础题.7、D【解析】
“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”,即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知:可化简为,,所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集,所以.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性,对是的充分不必要条件进行命题转换,使问题易于求解.8、D【解析】
由半圆面积之比,可求出两个直角边的长度之比,从而可知,结合同角三角函数的基本关系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【详解】解:由题意知,以为直径的半圆面积,以为直径的半圆面积,则,即.由,得,所以.故选:D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.9、A【解析】
设圆的标准方程,利用待定系数法一一求出,从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为,由题意得圆心为,的中点,根据中点坐标公式可得,,又,所以圆的标准方程为:,化简整理得,所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程,解题的关键是假设圆的标准方程,建立方程组,属于基础题.10、D【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,从而求得,然后直接利用复数模的公式求解.【详解】,所以,,故选:D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的乘除运算,复数的共轭复数,复数的模,属于基础题目.11、D【解析】
根据题意,分别假设一个正确,推理出与假设不矛盾,即可得出结论.【详解】解:由题意知,若只有小王的说法正确,则小王对应“入班即静”,而否定小董说法后得出:小王对应“天道酬勤”,则矛盾;若只有小董的说法正确,则小董对应“天道酬勤”,否定小李的说法后得出:小李对应“细节决定成败”,所以剩下小王对应“入班即静”,但与小王的错误的说法矛盾;若小李的说法正确,则“细节决定成败”不是小李的,则否定小董的说法得出:小王对应“天道酬勤”,所以得出“细节决定成败”是小董的,剩下“入班即静”是小李的,符合题意.所以“入班即静”的书写者是:小李.故选:D.【点睛】本题考查推理证明的实际应用.12、C【解析】
计算,,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,意在考查学生的计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、01【解析】
根据分段函数解析式,代入即可求解.【详解】函数,所以,.故答案为:0;1.【点睛】本题考查了分段函数求值的简单应用,属于基础题.14、【解析】
作出不等式组所表示的平面区域,将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率,当直线过时,直线的斜率取得最大值,代入点A的坐标可得答案.【详解】画出二元一次不等式组所表示的平面区域,如下图所示,由得点,目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率,当直线过时,直线的斜率取得最大值,此时的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查求目标函数的最值,关键在于明确目标函数的几何意义,属于中档题.15、【解析】
利用直线与圆相切求出斜率,得到直线的方程,几何法求出【详解】解:直线与圆相切,圆心为由,得或,当时,到直线的距离,不成立,当时,与圆相交于,两点,到直线的距离,故答案为.【点睛】考查直线与圆的位置关系,相切和相交问题,属于中档题.16、【解析】
由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,,代入,,则在直线上,即可得方程为,将,代入化简可得,则直线过定点,由则点在以为直径的圆上,则.即可求得.【详解】如图,由可知R为MN的中点,所以,,设,则切线PM的方程为,即,同理可得,因为PM,PN都过,所以,,所以在直线上,从而直线MN方程为,因为,所以,即直线MN方程为,所以直线MN过定点,所以R在以OQ为直径的圆上,所以.故答案为:.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ),,,,;(Ⅱ)为偶数时,,为奇数时,;(Ⅲ)证明见解析,,【解析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时,最大为,当为奇数时,最大为,得到答案.(Ⅲ)讨论当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故,当为偶数时,根据对应关系得到,再计算,,得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为:,,,,.(Ⅱ)当为偶数时,时,最大为;当为奇数时,时,最大为;综上所述:为偶数,最大为,为奇数时,最大为.(Ⅲ)当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故;当为偶数时,设是每个数均为偶数的“正整数分拆”,则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”,故.综上所述:.当时,偶数“正整数分拆”为,奇数“正整数分拆”为,;当时,偶数“正整数分拆”为,,奇数“正整数分拆”为,故;当时,对于偶数“正整数分拆”,除了各项不全为的奇数拆分外,至少多出一项各项均为的“正整数分拆”,故.综上所述:使成立的为:或.【点睛】本土考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、(1);(2)【解析】
(1)先将曲线的参数方程化为普通方程,再将普通方程化为极坐标方程即可.(2)将和的极坐标方程联立,求得两个曲线交点的极坐标,即可由极坐标的含义求得的面积.【详解】(1)曲线的参数方程为(α为参数),消去参数的的直角坐标方程为.所以的极坐标方程为(2)解方程组,得到.所以,则或().当()时,,当()时,.所以和的交点极坐标为:,.所以.故的面积为.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化,直角坐标方程与极坐标的转化,利用极坐标求三角形面积,属于中档题.19、(1),(2)【解析】
试题分析:利用将极坐标方程化为直角坐标方程:化简为ρcosθ+ρsinθ=1,即为x+y=1.再利用点到直线距离公式得:设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离试题解析:解:化简为ρcosθ+ρsinθ=1,则直线l的直角坐标方程为x+y=1.设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离,dmax=.考点:极坐标方程化为直角坐标方程,点到直线距离公式20、(1)(2)直线过定点【解析】
(1),再由,解方程组即可;(2)设,,由,得,由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系,代入计算即可.【详解】(1)由题意知:,又,且解得,,∴椭圆方程为,(2)当直线的斜率存在时,设其方程为,设,,由,得.则,(*)由,得,整理可得(*)代入得,整理可得,又,∴,即,∴直线过点当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,,,其中,∴,由,得,所以∴当直线的斜率不存在时,直线也过定点综上所述,直线过定点.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题,在处理直线与椭圆的位置关系的大题时,一般要利用根与系数的关系来求解,本题是一道中档题.21、(1)见解析;(2)【解析】
(1)因为,所以,所以,所以数列是等差数列,设数列的公差为,由可得,因
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