2024-2025学年浙江省宁波市九年级上学期第四次模拟数学检测试题

2024-2025学年浙江省宁波市九年级上学期第四次模拟数学检测试题一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）1.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】此题主要考查二次函数的图像和性质，直接根据的顶点坐标为即可解答.解：抛物线的顶点坐标是故选：A.2.已知的半径为3，点P在外，则的长可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】D【分析】本题考查了点和圆的位置关系；根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可得答案．解：∵的半径为3，点P在外，∴，∴的长可能是4，故选：D．3.如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解．解：

=

=．故选：D．4.如图，在中，点P在边上，添加一个条件后，仍无法确定的是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．解：在和中，，当时，满足两组角对应相等，可判断，故A不符合题意；当时，满足两组角对应相等，可判断，故B不符合题意；当时，即，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C不符合题意；当时，即，其夹角不相等，则不能判断，故D符合题意；故选：D．5.如图，的半径是，点是弦延长线上的一点，连结，若，，则弦的长为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．先过作，连结，根据，，求出的值，在中，根据勾股定理求出的值，即可求出的值．如图，过作，连结，，，．，根据勾股定理得：．由垂径定理得：．故选：D．6.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A.1：2 B.1：4 C.1：3 D.1：9【正确答案】A【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．∴△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．故选：A．本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形性质是解题关键．7.小名同学在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径是（）毫米．A.6 B. C. D.8【正确答案】B【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．设钢珠的圆心为O，过O作于C，交优弧于D，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理可计算出，即可得到这个小孔的直径．解：如图，设钢珠的圆心为O，过O作于C，交优弧于D，则，，∵，∴，在中，，∴．故选B．8.如图，拋物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】本题考查了二次函数综合问题；根据，有，可设点、的坐标为，代入解析式，即可解得答案．解：，则是等腰直角三角形，可设点、，把代入，得即，，，即．故选：A．9.已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式得到抛物线对称轴为直线，再由，则点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，当时，离对称轴越远，函数值越大，则，当时，离对称轴越远，函数值越小，则，两种情况都可以得到，由此即可得到答案．解：∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，∵抛物线经过点，，，∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，当时，离对称轴越远，函数值越大，则，∴，∴，当时，离对称轴越远，函数值越小，则，∴，∴，综上所述，下列不等式一定成立的是D，故选：D．10.如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作：第一步，如图①将纸片对折，使AB与重合，折痕为，展开后如图②；第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线BD上的点处，如图④．则的长为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据折叠的性质得出，，等面积法求得，根据，即可求解．解：如图所示，连接，∵折叠，∴∴在以为圆心，为直径的圆上，∴，∴∵矩形，其中，∴∴，∴，∵∴，故选：D．本题考查了矩形与折叠问题，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分）11.已知线段，线段，则线段a与线段b的比例中项为_______．【正确答案】【分析】此题考查了成比例线段的定义，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负；解：设比例中项为线段c，由题意得，，∵，，∴，∴或（舍去），∴线段a与线段b的比例中项为，故．12.将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为__________．【正确答案】【分析】本题考查抛物线的平移，根据“左加右减，上加下减”规则求解即可．解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为：，即，故．13.如图，五边形是的内接正五边形，则的度数为______．【正确答案】##度【分析】根据圆内接正五边形的性质以及圆周角、圆心角的关系可求出答案．解：如图，连接，∵五边形是的内接正五边形，

∴，

∴，

∴，

故．本题考查正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，掌握圆内接正五边形的性质以及圆周角与圆心角的关系是正确计算的前提．14.若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是__________．【正确答案】且【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，若二次函数的图象与轴有交点，则一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解即可．解：二次函数的图象与轴有交点，一元二次方程有实数根，，，且．故且．15.如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，且三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为______．【正确答案】【分析】本题考查了弧长的计算，垂径定理的推论，先根据题意得出点是的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件得出的度数，于是得出，根据弧长公式计算出弧，弧，即可求出阴影部分的周长，熟记弧长公式是解题的关键．解：如图，连接，，，，，三点在同一直线上，经过点，由题意得为半圆的直径，，，，在中，，，，，，，，，阴影部分的周长，故．16.如图，，点、分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为__________．【正确答案】##【分析】以为斜边作等腰直角三角形，则可得点O在以点E为圆心，的长为半径的圆上运动，则；过E作于G，并延长与交于点F，则，再证明四边形是矩形，得到，，，可由勾股定理得到，则根据，可知当O，E，D三点共线时，最大，且最大值为．解：如图所示，以为斜边作等腰直角三角形，∴，∵，∴点O在以点E为圆心，的长为半径的圆上运动，∴，如图所示，过E作于G，并延长与交于点F，∴，，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴，，，∴，∴，∵，当O，E，D三点共线时，最大，且最大值为，故．本题考查了矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径，本题属于运动型问题，解题时要用动态的眼光审题，动中有静，学会构造圆，利用圆的性质分析题意．三、解答题（本题8大题，17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，共满分72分）17.如图，分别是、上的点，，，，，，求的长和的度数．【正确答案】，【分析】根据相似三角形的性质得出，，进而代入数据，即可求得．解：∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，．本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．18.如图，在⊙O中，AB是直径，弦，垂足为E，连结．（1）若，求的长；（2）若，，求的长度．【正确答案】（1）5（2）【分析】（1）连接，利用垂径定理和勾股定理进行计算即可；（2）根据圆周角定理，和弧长公式进行计算即可．【小问1详解】解：连接，∵AB是直径，弦，，∴，设圆的半径为，则：，∴，解得：，∴；【小问2详解】解：连接，∵AB是直径，弦，∴，∴，∴的长度．本题考查垂径定理，圆周角定理以及弧长公式，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．19.要利用28米长的篱笆和一堵最大可利用长为12米的墙围成一个如图1的一边靠墙的矩形养鸡场，在围建的过程中遇到了以下问题，请你帮忙来解决．（1）这个矩形养鸡场要怎样建面积能最大？求出这个矩形的长与宽；（2）在（1）前提条件下，要在墙上选一个点，用不可伸缩的绳子分别连接，，点取在何处所用绳子长最短？【正确答案】（1）矩形的长为12米，宽为8米时，矩形茶鸡场面积最大（2）当为中点时，绳子长最短【分析】（1）设这个矩形的长为米，则宽为米，依题意得，，根据二次函数图象的性质，求解作答即可；（2）由题意知，，如图，作关于的对称点，连接，则，，则，可知当三点共线时，绳子长最短，证明，则，即，解得，由，可得当为中点时，绳子长最短．【小问1详解】解：设这个矩形的长为米，则宽为米，依题意得，，∵，∴当时，随着的增大而增大，∴当时，最大，最大值为96，∴，∴矩形的长为12米，宽为8米时，矩形茶鸡场面积最大；【小问2详解】解：由题意知，，如图，作关于的对称点，连接，则，，∴，∴当三点共线时，绳子长最短，∵，∴，∴，即，解得，∴，∴当为中点时，绳子长最短．本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，轴对称的性质．解题的关键在于根据题意正确的表示矩形的面积，明确绳子长最短时的情况．20.如图，在7×6方格中，的顶点均在格点上．请按照下列要求，只用没有刻度的直尺画出相应的图形．（1）请在图①中画出的中线；（2）请在图②中画出，使其面积为面积的，点E、F分别在、上且．【正确答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题考查了网格作图，正确理解题意，运用中线的定义，三角形相似的性质画图即可．(1)根据矩形的性质，对角线的交点是中点即可画图．(2)根据三角形相似的判断和性质，判定即可画图．【小问1详解】如图，连接，交于点D，∵四边形是矩形，∴点D是对角线的交点，∴，连接，则即为所求．【小问2详解】如图，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故即为所求．21.如图，四边形是平行四边形，点E是延长线上一点，连接分别与交于点F，G．（1）若，，求的长；（2）求证：．【正确答案】（1）（2）见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，通过平行四边形对边相等且平行结合相似三角形的判定定理以及相似三角形对应边成比例进行求解是解题的关键。（1）根据平行四边形的性质得到，进而证明，再证明，进而得到，由此可得答案；（2）先分别证明，利用相似三角形的性质推出，即．【小问1详解】解：∵四边形是平行四边形，，，，，，，，；【小问2详解】证明：∵四边形是平行四边形，，，，即．22.在平面直角坐标系内，二次函数（a为常数）．（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式．（2）若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x的取值范围．（3）已知在函数的图象上，当时，求证：．【正确答案】（1）或（2）或（3）见解析【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质．（1）运用待定系数法，把点代入二次函数中，求出a的值，即可得到函数的解析式；（2）结合函数图象即可解答；（3）由题意可得当时的函数值小于当时的函数值，列出不等式即可得出结论．【小问1详解】∵函数的图象经过点，∴，解得：或1，∴函数的表达式为或；【小问2详解】根据题意作出草图如下，由函数图象可知，当时x的取值范围是：或；【小问3详解】∵，∴，∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，∴和时的函数值相同，∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，即：，∵，∴，∴．23.足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式；（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围．【正确答案】（1）（2）球不能射进球门，理由见解析（3）【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律：（1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答．（2）依题意，当时，，即可作答．（3）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出值，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键．【小问1详解】解：，抛物线的顶点坐标为，设抛物线，把点代入得：，解得，抛物线的函数表达式为；【小问2详解】解：依题意，当时，，球不能射进球门．【小问3详解】解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物