浙江省杭州市2022-2023学年高三上学期数学第一次质量检测（期末）试卷

浙江省杭州市2022-2023学年高三上学期数学第一次质量检测（期末）试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={x∣x2−1<0}A．{x∣0<x<1} C．{x∣−1<x<1} 2．若复数z=4i1+i（其中i为虚数单位），则A．2 B．2 C．22 3．已知tanα=−12A．114 B．−114 C．54．已知二次函数f(x)的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图象，则不等式g(x)>loA．(−∞，2) B．(2，+∞) C．5．已知非零向量a，b的夹角的余弦值为15，且(A．1 B．23 C．326．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1；③均值为3，众数为4；④均值为2，标准差为2．A．①③ B．③④ C．②③ D．②④7．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以A．x±3y−1=0 B．x±y−1=0 C．2x±y−2=0 8．若过点(a，bA．b>a>0 B．a>b>a−C．0<a−1a<b<a二、多选题9．已知函数f(x)=xA．f(x)的图象是轴对称图形，不是中心对称图形B．f(x)在(0，32)C．f(x)的最大值为3，最小值为0D．f(x)的最大值为6，最小值为310．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A．事件B与事件AiB．P(C．P(B)=D．P(11．若函数f(x)=sin(2ωx+πA．存在ω，使得函数f(B．函数f(xC．ω的取值范围为(D．存在4个不同的ω，使得函数f(x)12．已知函数f(x)=3x1+3xA．函数f(x)的图象关于点(0，1B．不等式f(x−1)>12C．若x1⋅D．若x1⋅三、填空题13．(1+x2)(1+2x14．将函数y=3sin(2x+π4)15．已知双曲线x2−y2a16．已知不等式axlna>aln(x−1)(a>0四、解答题17．已知等比数列{an}的前n项和为S（1）求数列{a（2）求数列{nan}的前n18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a−c)sinA+(2c−a)sinC=2bsinB.（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且b=2，求△ABC周长的取值范围.19．已知函数f(x)（1）求函数f(（2）若关于x的方程|f(20．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为10n(n∈N∗)，统计得到以下2×2

男生女生合计了解6n不了解5n合计10n10n附表：P(00000k235610附：K2（1）求n的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；（2）①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X，求X的数学期望.21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线EF恒过定点，并求出该定点；（3）若△TMN的面积为△TEF的面积的k倍，则当t为何值时，k取得最大值？22．已知函数f(x)=（1）若1是f(x)的极值点，求a的值；（2）求f(x)的单调区间：（3）已知f(x)=12a（i）直接写出a的取值范围；（无需过程）（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意x1，x2，当

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由题意可得A={x∣x故A∪B={故答案为：D.

【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质求得集合A={2．【答案】C【解析】【解答】因为z=4i1+i=故答案为：C．

【分析】根据复数的运算法则，化简得到z=2+2i，结合复数模的计算公式，即可求解.3．【答案】A【解析】【解答】sin2α+2故答案为：A．

【分析】根据三角函数的基本关系式，化简得到sin2α+24．【答案】C【解析】【解答】根据图中信息作出函数g(x)、y=lo因为f(0)=1，则g(2)=1，且log由图可知，不等式g(x)>log2故答案为：C.

【分析】根据图中信息作出函数g(x)、y=log25．【答案】A【解析】【解答】cos<a，b>=∴2|a||b|2+|a故答案为：A.

【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，化简得到2|a||b|26．【答案】D【解析】【解答】任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误；任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误；对于②，将7个数据从小到大排列为x1x4=1，x1由于x1，x所以x1，x2，对于④，将7个数据从小到大排列为x1x1+x(x(x由于x1，x2，x3所以x1，x2，综上所述，正确的为②④.故答案为：D

【分析】由数据2，2，2，3，3，4，6，结合中位数和众数的定义，可判定①错误；由数据0，1，2，4，4，4，6，可判定③错误；将7个数据从小到大排列为x1，x2，x3，x4，7．【答案】C【解析】【解答】设|AB|=2r(2r≥4)，AB由抛物线的定义知2(|故|MN所以|DE即16r解得r=52或故M的横坐标为32设直线l：将y=k(x−1)得k2则x1解得k=±2，故直线l的方程为2x±y−2=0．故答案为：C．

【分析】设|AB|=2r(2r≥4)，AB的中点为M，MN⊥y轴于点N，过A，B作准线x=−1的垂线，垂足分别为A1，B18．【答案】B【解析】【解答】设切点为(x0，y0)，则x化简得：(a−b)x0∵过点(a，b)可以作曲线的两条切线，∴方程①有两个不同正解，∴−故答案为：B．

【分析】设切点为(x0，y0)，得到9．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A，由f(3−x)=f(x)，得f(x)的对称轴为直线x=32，因此f(x)的图象是轴对称图形，不是中心对称图形．对于BCD，因为f(x)≥0，f2(x)=3+9−4(x−32)2，函数y=f(x)和y=f2(x)在定义域内的单调性相同，而y=f2(x)在(0，32)上单调递增，在故答案为：ABD.

【分析】直接利用函数的性质的应用，函数的导数和单调性和函数的极值的关系判断A、B、C、D的结论.10．【答案】B,D【解析】【解答】由题意P(A1)=先A1发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则P先A2发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则P先A3发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则P所以P(A1B)P(B)=P(则P(A1)PP(A故答案为：BD

【分析】易知A1，A2，11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：f(x)=sin(2ωx+πf(−x)=sin则不存在ω，使得函数f(由−1⩽sin(2ωx+π6)⩽1，得−由于f(x)在区间(0，解第一个不等式得k≤13，∵k∈Z，故kmax=0又ω>0，所以0<ω⩽4，C符合题意；令2ω×π2+π6=mπ+π由0<ω⩽4知ω的取值为13，43，73故答案为：BCD.

【分析】由三角函数的诱导公式和奇偶性的定义，可判定A不符合题意；根据−1⩽sin(2ωx+π6)⩽1，可判定B符合题意；由f(x)在区间(0，π24)上单调递增，列出不等式组，求得第一个不等式得12．【答案】A,B,D【解析】【解答】对A，∵f(−x)+f(x)=3−x1+3−x+3对B，∵f(x)=3x1+3x=1−11+3x在R上单调递增，且f(0)=12，则对CD，∵3x>0，则可得0<1−11+3x<1，且B，C均在直线AD上方，其中直线AD的方程为y=f(则可得f(x2)>所以f(x∵f(x∴f(x2)+f(故答案为：ABD.

【分析】根据题意由f(-x)+f(x)=1可判断出选项A正确；根据函数单调递增可求解由此判断出选项B正确；根据f(x)的性质画出函数图象，表示出直线AD的方程，根据B.C均在直线.AD上方建立不等关系，由此判断出选项C错误，D正确，由此得出答案。13．【答案】40【解析】【解答】因为(1+2x)4令r=3和r=1，可得x3的系数为2故答案为：40.

【分析】利用(1+2x)414．【答案】x=−【解析】【解答】y=32x−当k=−1时x=−故答案为：x=−

【分析】根据三角函数的图象变换，求得y=3sin(2x−π15．【答案】(【解析】【解答】设切线方程为y−2=k(x−2)代入x2−由Δ=0⇒3k2−8k+4+a2=0，由题意此方程有两个不等的实根，故Δ1又k=±a代入3k2−8k+4+a2故离心率e的取值范围为(1故答案为：(1

【分析】设切线方程为y−2=k(x−2)代入得到(16．【答案】(【解析】【解答】axlna>a则ax−1lna>∵a>0，x>1，∴ax−1>0则要满足ax−1lna>ln(x−1)ax−1lna>两边乘x−1得：(x−1)ln令f(x)=xex，则令f'(x)=e则f(x)=xex在∵不等式axlna>a即x>1时，(x−1)ln则(x−1)lna⋅e当x>1，a>1时，(x−1)lna>0则根据单调性可得(x−1)ln则lna>令g(x)=ln(x−1)令g'(x)>0，解得x<e+1，即g(x)=ln(令g'(x)<0，解得x>e+1，即g(x)=ln(则g(x)≤g(e+1)=1则lna>1e∵e综上a>e故答案为(e

【分析】根据题意转化为ax−1lna>ln(x−1)对∀x∈(1，+∞)恒成立，进而得到(lna)elnax−1>ln(x−1)，两边乘x−1得到(x−1)lna⋅e(x−1)ln17．【答案】（1）解：Sn+1=(a1+1)⋅2n−1①-②⇒an=(a1+2)⋅2n−2（2）解：nan=n⋅2n−12Tn①-②得，−=∴Tn【解析】【分析】（1）根据题意得到n≥2时，Sn−1+1=(a1+1)⋅2n−2，两式相减得到an=(a1+2)⋅218．【答案】（1）解：在△ABC中，(2a−c)sinA+(2c−a)sinC=2bsinB，由正弦定理得：(2a−c整理得b2=a2+所以B=π（2）解：由（1）知，B=π3，由正弦定理得：则a=43sinA，在锐角△ABC中，0<π3+θ<π2于是得a+c=43[所以△ABC周长的取值范围是(2【解析】【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到b2=a2+c2−ac，再由余弦定理求得cosB=12，即可求解；

（2）由（1）结合正弦定理得到a=19．【答案】（1）解：由题意得：f(−x)=2f解得f(（2）解：i.当k<0时，明显无解；ii.当k=0时，|x+1iii.当k>0时，1k∴(x+1)+∴|3+1k|>2|3−1k|>2解得1k∴实数k的取值范围是(0，【解析】【分析】（1）由题意得到f(−x)=2f(x)−3x−1，代入已知条件，即可求得f(x)的解析式；

（2）当k<020．【答案】（1）解：2×2列联表如下表所示：

男生女生合计了解6n5n11n不了解4n5n9n合计10n10n20nK2=20n×(6n×5n−4n×5n)2∵P(K因此，有95%（2）解：①采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为1−C②由题意可知X~B(10，【解析】【分析】（1）列出2×2列联表，根据公式求得20n99≈4.040，得到n=20，再结合附表得到结论；

（2）①根据题意采用分层抽样的方法得到抽得9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再结合组合数的公式和古典摡型的概率公式，即可求解；21．【答案】（1）解：由题意可得|MN|=2b=2⇒由椭圆的离心率为32可得e所以椭圆C的标准方程为x2（2）证明：由题意知直线TM的方程为y=xt+1，直线TN由x24+y2所以kEF=36−所以直线EF的方程为：y−t2−4所以，直线EF过定点P(0，（3）解：设EF交y轴与P，则S△TEF因为S△TMN=|当且仅当t2=144t2，即t=±2【解析】【分析】（1）由|MN|=2，求得b2=1，再由椭圆的离心率为32，求得a2=4，即可求得椭圆C的标准方程；

（2）由题意得到直线TM的方程为y=xt+1，直线TN的方程为y=3xt−1，联立方程组，求得E，F的坐标，利用斜率公式求得kEF=−t222．【答案】（1）解：因为f(x)=12a因为1是f(x)的极值点，所以f'(1)=0，故a+(a+1)+1=0，故此时f'(x)=(1−x)(x+1)x，则x∈所以x∈(0，1)上f(x)递增，x∈综上，a=−1.（2）解：由（1）知，当a≥0时，f'(x)=(ax+1)(x+1)x>0当a<0时，令f'(x)>0得0<x<−1a；令所以f(x)在(0，−1综上：当a≥0时，f(x)在(0，当a<0时，f(x)在(0，−1（3）解：（i）由f(x)=12ax2+x得令g(x)=ax+lnx(x>0)，则g'(x)=a+1当a≥0时，g'(x)=ax+1x>0，故g(x)在(0当a<0时，令g'(x)>0，得0<x<−1a；令所以g(x)在(0，−1a)上单调递增，在(−为使g(x)在(0，+∞)上有两个零点，则g(−1a)>0当0<x<−1a时，易知−1a>e又g(x)在(0，−1a)当x>−1令φ(x)=ex−再令u(x)=ex−2x(x>1)，则u'(x)=所以u(x)>u(1)=e−2>0，即φ'(x)>0，故φ(x)在所以φ(x)>φ(1)=