天津市河东区2022-2023学年高三上学期数学期末考试试卷

天津市河东区2022-2023学年高三上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=（）A．{2，5} B．{3，6}C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}2．设x∈R，则“x2−5x<0”是“A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数y=lgA．(−∞,−1) B．(1,+∞) C．(3,+∞) D．(−1,3)4．酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（）A．甲地，均值为4，中位数为5B．乙地：众数为3，中位数为2C．丙地：均值为7，方差为2D．丁地：极差为3，75%5．函数f(A． B．C． D．6．已知直线y＝﹣2与函数f(x)=2sin(ωx−πA．[kπ−B．[kπ−C．[kπ−D．[kπ−7．一个球与一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面垂直）的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为483A．16π B．4π C．8π D．32π8．如图，F1，F2是双曲线C：x2a2A．y=±23x B．y=±22x C．9．已知函数f(x)=1−2lnx+1（x>e,e=2.71828⋯是自然对数的底数）.若f(m)=2lneA．[57,1] B．[910,1)二、填空题10．设i是虚数单位，复数z=2i1−i，则z对应的点位于第11．(1−2x)5的展开式中x12．若圆x2+y2=4，与圆C：x2+y213．已知x>0，y>−1，且x+y=1，则x2+3x14．已知学习强国中的每日答题项目共5题，答对1题积1分，否则不积分，甲答对每题的概率为14，记ξ为甲所得的分数，则甲得3分的概率为，E(ξ)=15．已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且AB=3，则OA⋅AB=；三、解答题16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，（1）求b的值；（2）求sin(2B−π17．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=22（1）证明：AM⊥PM；（2）求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；（3）求点D到平面AMP的距离.18．已知椭圆C：x2a2（1）求椭圆C的方程．（2）过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，若在直线x=−2上存在点P，使得△ABP为正三角形，求点P19．已知等比数列{an}是递减数列，{an}的前n项和为Sn，且1a1，（1）求{an}（2）若cn=20．已知函数f(x)（1）讨论函数h(（2）若x1，x2(

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁UB={2，5，8}，则A∩∁UB={2，5}．故选：A．【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；2．【答案】B【解析】【解答】由|x−1|<1得，0<x<2由x2−5x<0由“小范围”推出“大范围”得出0<x<2可推出0<x<5故“0<x<5”是“|x−1|<1”的必要而不充分条件。故答案为：B【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。3．【答案】C【解析】【解答】设g(x)=x2−2x−3，可得函数g(x)在(−∞,1)又由函数y=lg(x2−2x−3)，满足x根据复合函数的单调性，可得函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞).故答案为：C.【分析】根据二次函数与对数函数的性质，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解.4．【答案】C【解析】【解答】不妨设8天中，每天查获的酒驾人数从小到大分别为x1，x2，⋯，且xi≥0，其中A：若不达标，则x8≥11，因为中位数为5，所以又因为均值为4，故i=18xi=32，从而x1+x2+x3B：由众数和中位数定义易知，当x1=x2=0，xC：若不达标，则x8由方差定义可知，s2D：由极差定义和百分位数定义可知，当x1=x故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合平均数公式和众数公式和中位数公式，再结合方差公式、极差公式和分位数求解方法，进而找出正确的选项。5．【答案】B【解析】【解答】解：因为f(x)=2xx>0时，f(当x→+∞时，根据一次函数与指数函数的增长速度，可知y→0，排除C；故答案为：B.

【分析】判断出函数的奇偶性，可判断A；分析x>0时f(x)6．【答案】B【解析】【解答】∵y＝﹣2与函数f(x)=2sin(ωx−π∴函数的周期T＝π，即2πω=π，得ω＝2，则f（x）＝2sin（2x−π3），由2kπ−π得kπ−π12≤x≤kπ+5π12故答案为：B

【分析】根据最值点之间的关系求出周期和ω，结合三角函数的单调性进行求解，即可得答案.7．【答案】A【解析】【解答】由题意，设正三棱柱的底面边长为a，则其内切球的半径为r=13⋅又棱柱的体积为V=34a所以球的表面积为S=4πr故答案为：A．

【分析】由题意，设正三棱柱的底面边长为a，求得其内切球的半径，再由棱柱的体积求解出a，代入球的表面积公式求解出答案.8．【答案】A【解析】【解答】设|AB|=3，由双曲线的定义得：3+x−4=5−x，解得：x=3，所以|F因为2a=5−x=2⇒a=1，所以b=23所以双曲线的渐近线方程为y=±b故答案为：A．

【分析】设|AB|=3，9．【答案】C【解析】【解答】由f（m）=2lne﹣f（n）得f（m）+f（n）=1⇒2lnm+1+21+lnn=1又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（2lnm+1+2∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣21+lnmn≥57，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣21+lnm+lnn＜1，故答案为：C．【分析】本题主要考查不等式中求最值的问题，思维的难度较大，主要根据已知条件进行转化，由f（m）得到f（m）+f（n），再得到f（mn），然后再根据对数的性质进行求解。10．【答案】二【解析】【解答】因为z=2i(1+i)所以z对应的点位于第二象限，故答案为：二

【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法则和复数的几何意义，即可求出答案.11．【答案】-80【解析】【解答】由Tr+1=C5r(−2x)r12．【答案】2【解析】【解答】由题意AB所在的直线方程为：(x2+因为圆心O到直线y=1的距离为1，所以|AB|=22故答案为：2

【分析】根据题意联立两个圆的方程，由此得出直线的方程，再由点到直线的距离公式代入数值计算出答案。13．【答案】2+【解析】【解答】x2结合x+y=1可知原式=3且3≥1当且仅当x=3−3即x2+3x【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.14．【答案】45512；【解析】【解答】由题可知，随机变量ξ服从二项分布，即ξ∼B(所以P(ξ=3)=C根据二项分布的E(ξ)=np=5故答案为：45512；5

【分析】由题可知，随机变量ξ服从二项分布，即ξ∼B(5，15．【答案】−32【解析】【解答】解：因为AB=3，圆的半径为1，所以∠AOB=120°又AB=OB−以圆心O为原点，建立直角坐标系，设A(−3则AB=(则AB⋅AC=3x+32故答案为：−32；

【分析】根据弦长公式可求得∠AOB=120°，利用平面向量的线性运算及数量积的定义可求解OA→⋅AB→=−16．【答案】（1）解：由bsin根据正弦定理可得ab=3bc，即a=3c，又a=3，所以c=1，由余弦定理可得：cosB=所以35=9+1−解得b=4（2）解：因为cosB=35有sinB=则sin2B=2cos2B=2所以sin(==24+7【解析】【分析】(1)直接利用正弦定理推出bsinA=3csinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求出b的值；17．【答案】（1）证明：等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（其他建系方法按步骤给分）依题意，可得D(0，0，0)，P(0，1，3)，C(0，2，0)，A(2PM=(2，1，−∴PM即PM⊥AM，（2）解：设n=(x，y，z)则n⋅PM=0取y=1，得n=(取p=(0，0，1)，显然p∴cos⟨n，p⟩故平面PAM与平面ABCD的夹角的大小为45（3）解：设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n=(则d=|即点D到平面AMP的距离为2【解析】【分析】（1）以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，根据向量数量积的运算可求出PM→⋅AM→=018．【答案】解：依题意得1a2+12b2=1ca=22a2=b2+c2，则a2=2，b2=1，c2=1，所以椭圆C的方程为x22+y2=1．(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，若在直线x=−2上存在点P，使得△ABP为正三角形，求点P的坐标．【答案】解：当直线l的斜率不存在时，不存在符合条件的点P.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0)，设线段AB中点M，将y=k(x+1)代入x22+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2（1）解：依题意得1a2+12b2=1ca=（2）解：当直线l的斜率不存在时，不存在符合条件的点P.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0)，设线段AB中点M，

将y=k(x+1)代入x22+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2−2=0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1+x2=−4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2

则xM=−2k21+2k【解析】【分析】(1)建立a，b，c的关系式求解即可得椭圆C的方程；

(2)设直线斜率存在的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及点到直线的距离公式，求出点P的坐标．19．【答案】（1）解：设数列{an}依题意知3由{an}所以an对于数列{bn}当n≥2时，Tn−1=n故对于n∈N∗都有b所以{an}的通项公式为an=（2）解：当n是奇数时，cn则i=1n14①、②相减得：34得到i=1n当n是偶数时，cn则i=1=1所以i=1【解析】【分析】（1）设数列{an}的公比为q，根据1a1，2S2，8a3成等差数列，3a2=a1+2a3，可得3a1q=a20．【答案】（1）解：h(x)=f(h'(x①当a∈(0，22]，即Δ≤0时，②当