2024-2025学年广东省深圳市南山二外海德学校九年级上学期10月月考数学试题及答案

试题PAGE1试题南山二外（集团）海德学校初中部2024-2025学年第一学期九年级10月质量监测数学学科试卷一、选择题（每小题3分，共8小题）1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A. B. C.D.2.下列各组线段中，成比例的是（）A. B.C D.3.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（）A. B.C. D.4.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A B.C. D.5.下列命题是真命题的是（）A.对角线互相垂直平分四边形是正方形 B.对角线相等的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直四边形是菱形 D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形6.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（）A14 B.12 C.12或14 D.以上都不对7.若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（）A. B. C. D.8.如图，矩形中，，点E为上一个动点，把沿折叠，点D的对应点为，若落在的平分线上时，的长为（）A.3或4 B.或 C.或 D.或二．填空题（每小题3分，共5小题）9.已知是，则的值是______．10.一个盒子中装有15颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，别红色幸运星颗数约为______颗．11.关于的一元二次方程的一个根是3，另一个根是，则__________．12.如图，在矩形中，对角线相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为______．13.如图，中，点D在的延长线上，且，连接，为中线，延长交于点F、，，则_________．三、解答题（共7小题）14.解方程（1）（2）．15.先化简，再求值：，其中满足．16.为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．（1），这次共抽取了名学生进行调查；并补全条形图；（2）请你估计该校约有名学生喜爱打篮球；（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？17.如图，四边形中，，，于点．（1）用尺规作的角平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明；（3）连接，若，，求长．18.根据以下素材，探索完成任务．素材今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人．素材若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格元人元人元人问题解决任务确定增长率求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几．任务预计人数若丙种门票价格下降10元，直接写出购买丙种门票为_______人任务拟定价格方案将丙种门票价格下降多少元时，景区月份的门票总收入有万元？19.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程．下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程；方程这两个方程中，是倍根方程的是_______（填序号即可）（2）若是倍根方程，求的值；（3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式．20.在菱形中，，点是线段BD上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随着点的位置变化而变化．（1）如图，当点在菱形内部或边上时，连接CE，判断：与CE的数量关系是__________请写出证明过程．CE与AD的位置关系是___________请写出证明过程．（2）若，点为CD的中点，则线段的长最小值为_______最大值为________．（3）如图，当点在线段BD的延长线上时，连接，若，，直接写出四边形的面积________．

南山二外（集团）海德学校初中部2024-2025学年第一学期九年级10月质量监测数学学科试卷一、选择题（每小题3分，共8小题）1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】，符合条件，故A选项正确；，为分式方程，故B选项错误；，含有两个未知数，故C选项错误；，x的最高次数为1，故D选项错误；故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．2.下列各组线段中，成比例的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意；B、由于，所以不成比例，不符合题意；C、由于，所以不成比例，不符合题意；D、由于，所以成比例，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．3.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程．【详解】解：设共有个队参加比赛，根据题意得：，故选：D．4.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可．【详解】解：A、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意；B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意；C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意；D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意；故选：B．5.下列命题是真命题的是（）A.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B.对角线相等的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形【答案】D【解析】【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，根据对角线的特点判断特殊四边形的方法逐一判断即可.【详解】解：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故A是假命题；对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B是假命题；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是假命题；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D是真命题；故选D【点睛】本题考查的是平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，掌握“特殊四边形的判定方法”是解题的关键.6.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（）A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】解方程得x＝5或x＝7，由三角形三边满足的条件可知x＝7不合题意，x＝5符合题意，由此即可求得周长．【详解】解：解方程x2−12x＋35＝0得x＝5或x＝7，

又3＋4＝7，故长度为3，4，7的线段不能组成三角形，

∴x＝7不合题意，

∴三角形的周长为3＋4＋5＝12．

故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程解，三角形三边满足的条件，解题关键是掌握三角形三边满足的条件．7.若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据“月亮”方程的定义得出，变形为，代入计算即可．【详解】解：∵方程是“月亮”方程，∴∴，∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解．8.如图，矩形中，，点E为上一个动点，把沿折叠，点D的对应点为，若落在的平分线上时，的长为（）A.3或4 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，正确添加辅助线是解题的关键．过点作的垂线交于，为等腰直角三角形，设，则，由折叠知，，则在中，由勾股定理得：，解得：或，当时，，则，此时，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，则，同理当时，解得．【详解】解：过点作的垂线交于，∵四边形是矩形，∴，∵落在平分线上，∴，则为等腰直角三角形，∴，设，则，由折叠知，∴在中，由勾股定理得：，解得：或，当时，，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，则，同理当时，解得，综上，DE的长为或，故选：B．二．填空题（每小题3分，共5小题）9.已知是，则的值是______．【答案】【解析】【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．【详解】∵，∴设，（），∴，故答案为：．10.一个盒子中装有15颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，别红色幸运星颗数约为______颗．【答案】10【解析】【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法，是解题的关键；设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数．【详解】解：设袋中红色幸运星有x颗，根据题意，得：，解得：，经检验是原分式方程的解，故答案为：10．11.关于的一元二次方程的一个根是3，另一个根是，则__________．【答案】【解析】【分析】根据方程的一个根是3，另一个根是，根据根与系数的关系即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是3，另一个根是，∴，解得：∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．12.如图，在矩形中，对角线相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，由矩形的性质得，故有，可证是等边三角形，通过等边三角形的性质和30°角所对直角边是斜边是斜边的一半可求出，然后由勾股定理得，然后再求，则，最后通过中位线定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵点是的中点，点是的中点，∴，故答案为：．13.如图，中，点D在的延长线上，且，连接，为中线，延长交于点F、，，则_________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线，二次根式的化简等知识，正确作辅助线构造相似三角形，证明出是解题关键．过点作交延长线于点，证明，得出，再证明，得到，然后证明，得到，进而求得，即可求出的长．【详解】解：如图，过点作交延长线于点，，，，，，，，，，，，，为中线，，，，，，，，，，故答案为：三、解答题（共7小题）14.解方程（1）（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据公式法解一元二次方程的步骤即可；（2）先提取公因式，把方程化为的形式，进而可得出结论．【小问1详解】解：，，，；【小问2详解】解：，，或，．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．15.先化简，再求值：，其中满足．【答案】，．【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，再通过解一元二次方程求出的值，然后选取符合题意的代入求值即可，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．详解】解：，∵，∴或，∵，即，∴当时，∴原式．16.为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．（1），这次共抽取了名学生进行调查；并补全条形图；（2）请你估计该校约有名学生喜爱打篮球；（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？【答案】（1）20，50，统计图见解析（2）360（3）【解析】【分析】（1）首先由条形图与扇形图可求得；由跳绳的人数有4人，占的百分比为，可得总人数；（2）由，即可求得该校约有360名学生喜爱打篮球；（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【小问1详解】解：；跳绳的人数有4人，占的百分比为，；故答案为：20，50；如图所示；（人）．【小问2详解】；故答案为：360；【小问3详解】列表如下：男1男2男3女男1男2，男1男3，男1女，男1男2男1，男2男3，男2女，男2男3男1，男3男2，男3女，男3女男1，女男2，女男3，女所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．抽到一男一女的概率．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．17.如图，四边形中，，，于点．（1）用尺规作的角平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明；（3）连接，若，，求长．【答案】（1）见解析（2）是菱形，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用基本作图作角平分线即可；（2）先推导，然后利用菱形的判定方法证明即可；（3）根据菱形的性质和勾股定理求出长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可．【小问1详解】解：如图，的角平分线即为【小问2详解】解：∵平分∴∵∴∴∵∴∴是菱形【小问3详解】解：∵是菱形∴∴∵∴【点睛】本题考查基本作图—作角平分线，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．18.根据以下素材，探索完成任务．素材今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人．素材若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格元人元人元人问题解决任务确定增长率求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几．任务预计人数若丙种门票价格下降10元，直接写出购买丙种门票为_______人任务拟定价格方案将丙种门票价格下降多少元时，景区月份的门票总收入有万元？【答案】任务：月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为；任务：；任务：丙种门票价格下降元或元时，景区月份的门票总收入有万元．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．任务：设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为，根据题意列出出一元二次方程，然后解方程并检验即可；任务：根据题意列出算式即可求出结论；任务：设丙种门票价格下降元时，景区月份的门票总收入有万元，根据题意列出出一元二次方程，然后解方程并检验即可．【详解】解：任务：设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为；任务：根据题意得：（人），故答案为：；任务：设丙种门票价格下降元时，景区月份的门票总收入有万元，根据题意得：，整理得：，解得：，，答：丙种门票价格下降元或元时，景区月份的门票总收入有万元．19.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程．下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程；方程这两个方程中，是倍根方程的是_______（填序号即可）（2）若是倍根方程，求的值；（3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式．【答案】（1）；（2）；（3）此方程的表达式为．【解析】【分析】（）根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②中K的值，由此即可得出结论；（）将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出的值；（）根据方程是“倍根方程”即可得出之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出之间的关系，进而求出的值即可；本题考查了解二元一次方程组，根与系数关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键．【小问1详解】解：在方程中，，在方程中，，∴是倍根方程的是，故答案为：；【小问2详解】解：整理得：，∵是倍根方程，∴，∴；