2024-2025学年广东省深圳实验学校高一上学期10月月考数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳实验学校高中部2024-2025学年度第一学期第一阶段考试高一数学时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列四个命题中真命题是（）A.， B.，C.，使 D.，2.已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C.， D.，3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A. B.C. D.4.已知集合，，，则下列的关系正确的是（）A. B.C. D.5.小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（）A.小港两次购买葡萄平均价格比小海低 B.小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D.丙次购买葡萄的平均价格无法比较6.函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.7.已知在区间[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为（）A.0 B. C.1 D.28.已知函数的定义域为，对任意，有，且，若对任意恒成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9.设为全集，若，则（）A. B. C. D.10.已知函数，下列选项正确是（）A.若，则B.函数在定义域内是减函数C.若时，则的值域是D.若，则函数有最小值也有最大值11.下列说法正确是（）A.若，则的最小值为B.已知，，且，则的最小值为C.已知正实数x、y满足，则的最小值是D.若，、，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共16分．12.已知，则的定义域为______13.已知，，则的取值范围为___________.14.设．若函数在区间上的图象恒位于x轴的上方，则实数a的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.给定函数，，．（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；（2）观察图象，直接写出不等式的解：（3），用表示，中的较大者，记为．例如，当时，．请分别用图象法和解析法表示函数．16.已知集合，，．（1）当时，是的充分条件，求实数a的取值范围；（2）若，求实数α的取值范围．17.函数，（1）若的解集是或，求实数，的值；（2）当时，若，求实数值；（3），若，求的解集.18.某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍．（1）求k的值；（2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）．19.已知函数．（1）用单调性定义证明函数在上为增函数；（2）是否存在实数，使得当的定义域为（，）时，函数的值域为．若存在．求出的取值范围；若不存在说明理由．

深圳实验学校高中部2024-2025学年度第一学期第一阶段考试高一数学时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列四个命题中真命题是（）A.， B.，C.，使 D.，【答案】C【解析】【分析】利用全称命题、特称命题的概念一一判定选项真假即可.【详解】对于A，显然，，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，当时，，故C正确；对于D，由，故D错误.故选：C2.已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案【详解】因为命题p：，是全称命题，所以命题的否定为，.故选：A3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B中，函数和的定义域不同，不是同一函数；对于C中，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D中，函数的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4.已知集合，，，则下列的关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系.【详解】由，而为奇数，为整数，又，所以故选：B.5.小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（）A.小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B.小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D.丙次购买葡萄的平均价格无法比较【答案】A【解析】【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可.【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且，则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克，小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元．因为，所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．故选：A6.函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得函数的单调性，然后根据分段函数的性质即可求解.【详解】由，可得当，则，所以函数在上单调递减，又，可得，解得.所以实数a的取值范围为故选：A.7.已知在区间[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为（）A.0 B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由已知结合对称轴与区间端点远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求．【详解】解：因为的开口向上，对称轴，①即时，此时函数取得最大值，②当即时，此时函数取得最大值，故，故当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．8.已知函数的定义域为，对任意，有，且，若对任意恒成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知不等式确定新函数是增函数，利用单调性把不等式进行化简，转化为关于的一次不等式恒成立，利用一次函数性质得不等关系，从而得结论．【详解】因为，因此由得，即，所以函数是上的增函数，不等式化为，即，所以对恒成立，对恒成立，所以，解得或．故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9.设为全集，若，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据包含关系结合集合间的运算求解.【详解】因为，等价于，等价于和，故A错误，BCD正确；故选：BCD.10.已知函数，下列选项正确的是（）A.若，则B.函数在定义域内是减函数C.若时，则的值域是D.若，则函数有最小值也有最大值【答案】AD【解析】【分析】求得函数的定义域与单调性，进而逐项计算判断即可.【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确；对于B，的定义域为，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且，故在上不是单调函数，故B错误；对于C，由B可得，当时，，当时，，所以的值域是，当时，无意义，故C错误；当且时，，当且时，，所以若，则函数有最小值也有最大值，故D正确；故选：AD.11.下列说法正确的是（）A.若，则的最小值为B.已知，，且，则的最小值为C.已知正实数x、y满足，则的最小值是D.若，、，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】，由函数的单调性判断选项A；由基本不等式中的用法，判断选项B与C；根据，结合基本不等式即可判断选项D.【详解】，因为，所以在1,+∞上单调递减，所以在1,+∞上的值域为.故A错误；因为，，所以，，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故B正确；因为正实数x、y满足，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；因，、，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共16分．12.已知，则的定义域为______【答案】且##【解析】【分析】考虑二次根式被开方数大于或等于0，分式的分母不为0，0的0次方无意义，列不等式组计算求解即可.【详解】由且.所以函数定义域为：且.故答案为：且.13.已知，，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.【详解】解：设，所以，解得，因为，，则，因此，.故答案为：.14.设．若函数在区间上图象恒位于x轴的上方，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意可得对任意恒成立，分离参数得对任意恒成立，利用分离常数法以及换元法求出的最大值，即可得答案.【详解】由题意函数在区间上的图象恒位于x轴的上方，即对任意恒成立，当时，，则a−1x2+2−ax+1>0而，令，则令，由于在上单调递增，故，则的最大值为，故，即实数a的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.给定函数，，．（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；（2）观察图象，直接写出不等式的解：（3），用表示，中的较大者，记为．例如，当时，．请分别用图象法和解析法表示函数．【答案】（1）图象见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数，的解析式即可作出图象；（2）（3）结合图象即可求得答案；【小问1详解】画出函数，图象如图：【小问2详解】观察图象，可得不等式的解为；【小问3详解】结合（1）可用图象法表示如图：由可得或，故.16.已知集合，，．（1）当时，是的充分条件，求实数a的取值范围；（2）若，求实数α的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，，再根据，列出不等式组求解即可；（2）由（1）得或，分、分别求解后再取并集即可.【小问1详解】因为，，又因为，所以，因为是的充分条件，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为：；【小问2详解】由（1）得或，，又因为，所以当时，有，解得；当时，或，或或，解得或或或，综上所述，实数的取值范围为.17.函数，（1）若的解集是或，求实数，的值；（2）当时，若，求实数的值；（3），若，求的解集.【答案】（1），（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值.（2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值.（3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解.【小问1详解】不等式的解集为或，，且的两根为，，，，，.【小问2详解】，得，.【小问3详解】，，即，（1）当时，（2）当时，则，①当时，；②当时，若，即时，或，若，即时，；若，即时，或；综上所述：当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18.某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍．（1）求k的值；（2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）．【答案】（1）（2）（3）当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元．【解析】【分析】（1）根据时，，即可求得k的值；（2）确定销售量的表达式，根据利润等于销售额减去投入，即可得答案；（3）将变形为，利用基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知，当时，，∴，解得：，【小问2详解】由（1）知，故，化简得：．【小问3详解】，∵，∴，即，则，当且仅当即时等号成立，此时，，答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元．19.已知函数．（1）用单调性