2023-2024学年广东省深圳市宝安区高二上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题广东省深圳市宝安区2023-2024学年高二上学期11月调研测试卷高二数学试题一、单选题1.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.2.三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，若，则=（）A. B.C. D.3.经过两点的直线的一个方向向量为，则（）A. B. C. D.34.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（）A.3或 B.3 C.或 D.5.设，则“直线与直线平行”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A.或 B.或C.或 D.或7.直线，分别过点，它们分别绕点P和Q旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d的取值范围是（）A. B.C. D.8.两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（）A. B. C. D.二、多选题9.直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（）A.3 B.0 C. D.110.已知，直线，与交于点，则下列说法正确的是（）A.当时，直线在轴上的截距为1B.不论为何值，直线一定过点C.点在一个定圆上运动D.直线与直线关于直线对称11.已知直线，圆，则下列命题正确的是（）A.，点在圆外B，使得直线与圆相切C.当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为D.若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为12.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.直线的方向向量，平面的法向量是，则B.若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底C.若非零向量满足，则有D.若是空间的一组基底，且，则四点共面三、填空题13.若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则最大值为______.14.平行线与间距离为________．15.若圆关于直线对称，则此圆的半径为________．16.直线被圆截得的最短弦长为________.四、解答题17.已知的三个顶点分别为、、．求：（1）边上高所在直线的方程；（2）边上的中线所在直线的方程．18.在直三棱柱中，，分别是，的中点，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19.在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上．（1）求圆C的方程；（2）若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程．20.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点．（1）证明：；（2）若是棱上靠近点的三等分点，求点到平面的距离．21.已知两圆和，求：（1）当取何值时两圆外切？（2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.22.已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．（1）求证：平面；（2）平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

广东省深圳市宝安区2023-2024学年高二上学期11月调研测试卷高二数学试题一、单选题1.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案.【详解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故选：B.2.三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，若，则=（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答.【详解】三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，且，如图，.故选：D3.经过两点的直线的一个方向向量为，则（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根据斜率公式求得，结合直线的方向向量的定义，即可求解.【详解】由点，可得直线的斜率为，因为经过两点的直线的一个方向向量为，所以.故选：D.4.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（）A.3或 B.3 C.或 D.【答案】B【解析】【分析】利用倾斜角与斜率的关系求解.【详解】设的倾斜角为，由，即，解得或，因为，所以，所以，易得的倾斜角为锐角，所以的斜率为3．故选:B.5.设，则“直线与直线平行”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据一般式中两直线平行满足的条件，即可求解.详解】若直线与直线平行，则，解得或，故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件，故选：B6.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】分截距不为0和截距为0两种情况，利用待定系数法求解.【详解】当截距不为0时，设方程为，将代入，可得，解得，故直线方程为，即；当截距不为0时，设方程为，将代入，，解得，故直线方程为，即，故直线方程为或.故选：B7.直线，分别过点，它们分别绕点P和Q旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过作图分析可知，当且仅当直线与直线，均垂直的时候，它们之间的距离即为，d的最大值，通过分析可以发现旋转是连续变化的，且，可以无限接近直线，因此，且d可以无限接近于0.【详解】如图所示：

当直线与直线，均不垂直的时候，它们之间的距离即为，当直线与直线，均垂直的时候，它们之间的距离即为，所以当且仅当与重合时，d有最大值，可以发现旋转到一定程度时直线与直线，均无限接近的时候，d无限趋于0，但注意到直线，平行，且直线是连续旋转的，因此直线，之间的距离d的取值范围是.故选：A.8.两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长．【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，则，设点，由，得，化简并整理得：，于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为，所以M点的轨迹长为.故选：A.二、多选题9.直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（）A.3 B.0 C. D.1【答案】ABD【解析】【分析】通过讨论直线截距是否为的情况，即可得出结论【详解】由题意，直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，当直线的截距为0时，显然满足题意，为：；当直线的截距不为0时，设横、纵截距分别为，则直线方程为：，∴，解得：或，∴直线的纵截距可取.故选：ABD.10.已知，直线，与交于点，则下列说法正确的是（）A.当时，直线在轴上的截距为1B.不论为何值，直线一定过点C.点在一个定圆上运动D.直线与直线关于直线对称【答案】BC【解析】【分析】A由解析式确定x轴上的截距判断；由方程确定与相互垂直及所过定点坐标判断B、C；根据对称轴为，互换其中一条直线的判断是否与另一直线方程相同判断D.【详解】当时，直线在x轴上的截距为，故A错误；直线，当时恒成立，所以恒过定点，故B正确；因为不论取何值，直线与都互相垂直，且恒过定点，恒过定点，所以点在以和为直径端点的圆上运动，故C正确；将方程中的互换得到，与直线的方程不一致，故D错误.故选：BC11.已知直线，圆，则下列命题正确的是（）A.，点在圆外B.，使得直线与圆相切C.当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为D.若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为【答案】ACD【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断A，由直线系所过定点在圆内判断B，根据交点弦的性质求解可判断C，根据圆与直线的位置关系判断D.【详解】将点的坐标代入圆的方程，得，所以点在圆外，故A正确；整理直线的方程为：，由解得，可知直线过定点，将定点代入圆的方程，可得，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故B错误；当圆心与直线所过定点的连线垂直于直线时，交点弦长最小，此时圆心到直线的距离为，由勾股定理知，故C正确；当圆心到直线的距离为1时，在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，即，解得，故D正确.故选：ACD.12.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.直线的方向向量，平面的法向量是，则B.若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底C.若非零向量满足，则有D.若是空间的一组基底，且，则四点共面【答案】BD【解析】【分析】根据空间向量基本定理，以及直线方向向量与平面法向量的关系判断即可.【详解】对于A，直线的方向向量，平面的法向量是，此时，所以，故A错误；对于B，因为是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使得，由空间向量的基本定理可知，向量也是空间一组基底，故B正确；对于C，若非零向量满足，则与关系不定，有可能平行，故C错误；对于D，若是空间的一组基底，且，，由空间向量的基本定理可得，四点共面，故D正确.故选：BD.三、填空题13.若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为______.【答案】##0.125【解析】【分析】由直线垂直的条件求得关系，再由基本不等式得最大值．【详解】由题意，即，由基本不等式得，所以，当且仅当，即时等号成立．故答案为：．14.平行线与间的距离为________．【答案】##【解析】【分析】利用平行线间的距离公式计算可得答案.【详解】将方程两边乘以2，得，所以两平行线间的距离为．故答案为：．15.若圆关于直线对称，则此圆半径为________．【答案】【解析】【分析】即圆心在直线上，代入解出即可求.【详解】因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，得，得，所以，半径为．故答案为：．16.直线被圆截得的最短弦长为________.【答案】【解析】【分析】求出直线过定点，当时直线被圆截得的最短弦长，从而求出最短弦长.【详解】直线，即，令，解得，所以直线恒过点，又圆的圆心为，半径，因为，当时直线被圆截得的最短弦长，最短弦长为.故答案为：四、解答题17.已知的三个顶点分别为、、．求：（1）边上的高所在直线的方程；（2）边上的中线所在直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求解边AC所在直线的方程，再根据直线垂直斜率关系求解即可；（2）求解中点，结合直线垂直的斜率关系求解.【小问1详解】因为、，故，边AC所在直线的方程为：，即为：，由，故所以AC边上的高所在直线的斜率为，又，故为：，即；【小问2详解】设AC边上的中点为D，则，即，故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，故为：，即.18.在直三棱柱中，，分别是，的中点，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行.（2）根据题意，利用空间向量的夹角的余弦表示，即可得到结果.【小问1详解】由为直三棱柱，得平面，又，以的原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由，，且，分别是，的中点，得，于是，，设平面的法向量为，则，取，得，显然，即平面，而平面，所以平面.【小问2详解】由（1）可知，平面的一个法向量为，显然轴垂直于平面，不妨取其法向量为，设二面角所对应的平面角为，则，显然二面角为锐二面角，则，即二面角的余弦值为.19.在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上．（1）求圆C的方程；（2）若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程.【小问1详解】由已知可设圆心，又由已知得，从而有，解得：．于是圆C的圆心，半径．所以，圆C的方程为,【小问2详解】设，则由M为线段ED的中点得：，解得，又点D在圆C：上，所以有，化简得：．故所求的轨迹方程为．20.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点．（1）证明：；（2）若是棱上靠近点的三等分点，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，则有，再证明平面，根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因底面，底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为，点是棱的中点，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；【小问2详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以点到平面的距离为．21.已知两圆和，求：（1）当取何值时两圆外切？（2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.【答案】（1）41（2）；【解析】【分析】（1）求出圆的标准方程，利用两圆外切的性质进行求解即可；（2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可.【小问1详解】和,化简为标准方程分别为：，所以，因为两圆外切，所以，即，所以；【小问2详解】当时，，两圆相减得：，所以两圆的公共弦所在直线的方程为:，圆心到直线距离为，所以公共弦长为.22.已知四棱锥的底面是直角梯形，