第五章 三角函数（压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版必修第一册）

PAGE1第五章三角函数（压轴题专练）题型一：三角函数中与有关的问题1．（2024·福建龙岩·三模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为（

）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】B【分析】根据对称性可得，即可分别取和，代入求解，进而整体法验证是否符合一个零点求解.【详解】为的零点,为图象的对称轴，

又当时，,，当时，，故有2个零点，不符合，舍去.当时，,当时，，此时有且仅有1个零点，符合故选：B.2．（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为.【答案】【分析】确定，根据正弦函数的递增区间求出的范围，结合正弦函数的周期性求出的范围可得答案.【详解】当时，不具备单调性，当时，，若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减，可得，因为在上是单调递增的，所以在上不可能单调递减，所以不成立，于是.若函数在区间上单调递增，则，，若函数在区间上单调递增，则，，因为，所以时，，综上所述，.故答案为：.3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是．【答案】【分析】根据给定区间，求出相位所在区间，再借助单调性列出不等式组求解即得.【详解】函数（）在区间上单调递增，当时，，而当时，，因此，而，解得，所以的取值范围是．故答案为：4．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则.【答案】3【分析】根据正弦函数的性质可得，结合单调性列不等式即可求解.【详解】由题意知的图象关于轴对称，因此，解出，因为在上单调递减，，所以，解得.又，所以，即.故答案为：35．（2024·江苏南京·二模）已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为.【答案】【分析】根据三角函数单调区间以及零点个数求出周期的范围，即可解得的取值范围.【详解】不妨设函数的周期为，因为在区间上单调，可得，解得；又，可得且，解得；又在区间上恰有5个零点，所以，解得综上可得，所以，解得，即的取值范围为.故答案为：6．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知函数的图象关于点对称．且在区间上单调，则的值为．【答案】【分析】根据辅助角公式将函数进行化简，结合函数的对称性的单调性的性质求出的取值范围，进行求解即可.【详解】因为函数关于对称，所以，解得：，又因为在区间上单调，所以，解得：，综上，当时，，故答案为：题型二：三角函数性质综合问题1．（多选）（2024·山东淄博·二模）已知函数，满足：，成立，且在上有且仅有个零点，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递减C．函数的一个对称中心为D．函数是奇函数【答案】BCD【分析】依题意可得为最大值，则得，再由在上有且仅有个零点，可得，再结合的范围可出的值，从而可求出的解析式，然后逐个分析判断即可.【详解】因为，恒成立，所以的最大值为，所以，即，当时，，又，因为在上有且仅有个零点，所以，所以，即，得，所以，因为，所以，所以；对于A：函数的最小正周期，故A错误；对于B：当时，，又在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故B正确；对于C：因为，所以函数的一个对称中心为，故C正确；对于D：因为，为奇函数，故D正确.故选：BCD2．（多选）（23-24高一下·山东临沂·期中）已知，则（

）A．是奇函数B．的最小正周期是C．图象的一个对称中心是D．上单调递增【答案】AC【分析】由三角恒等变换化简解析式，由定义判断A；由周期公式判断B；由性质判断CD.【详解】，对于A：，即是奇函数，故A正确；对于B：的最小正周期是，故B错误；对于C：令，当时，图象的对称中心是，故C正确；对于D：，函数在上单调递增，所以上单调递减，故D错误；故选：AC3．（多选）（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为，则（

）

A．的最小正周期为π B．，C．的图象关于点中心对称 D．在上单调递增【答案】ABD【分析】由函数图像可确定函数最小正周期和值，判断AB；代入验证即可判断选项C；利用余弦函数的单调性可判断D.【详解】对AB，由图，知，∴，∴，因为，，则，∴，∵，∴，故AB正确；对C，因为，故的图象不关于点中心对称，故C错误，对D，当时，，结合余弦函数的单调性知在上单调递增，D正确.故选：ABD.4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知函数对任意，都有fx+2+fx=0成立，且函数是奇函数，当时，.则下列结论正确的是（

）A．当时，B．函数的最小正周期为2C．函数y=fx的图象关于点（）中心对称D．函数在（）上单调递减【答案】AB【分析】由赋值运算求出的周期为4，可得出，再结合图象求解．【详解】因为函数对任意x∈R都有fx+2+fx=0即，所以，所以，即恒成立，所以的周期为4.函数是奇函数，当时，.故时，.任取，则，因为函数对任意x∈R都有fx+2+f即，所以.所以，作出y=fx

对于A.由前面的推导可得：当时，.故A正确；对于B.函数的图象可以看成y=fx的图象轴上方的图象保留，把轴上方的图象轴下方的图象翻折到轴上方，所以函数的最小正周期为2，故B正确；

对于C.由图象可知：函数y=fx的图象关于点（）中心对称，故C错误；对于D.作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误.

故选：AB.5．（多选）（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（

）A．图像对称中心为B．的最小正周期为C．的单调递增区间为D．若，则【答案】BD【分析】由正切型函数的对称中心、周期、单调性判断ABC三个选项，解正切函数不等式得到D选项.【详解】对于A，令，则，A错误；对于B，的最小正周期为，B正确；对于C，根据正切函数性质可知，只有递增区间，则只有递减区间，C错误；对于D，由题意可知，所以解得，所以，D正确.故选：BD.题型三：五点法作一个周期图象1．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知.某同学用“五点法”画在一个周期上的简图时，列表如下：00100（1）因不慎将墨汁泼在表格阴影部分，请你将缺失数据补在答题卡上表格的相应位置，并在坐标系中画出在上的简图；（2）求函数的单调增区间.【答案】（1）答案见解析；（2），.【解析】（1）由表格数据得到周期，根据周期公式可得答案；（2）利用正弦函数的单调性可得单调递增区间.【详解】（1）因为为一个周期的区间，所以，所以，解得，所以，简图如下0010-10（2）因为，所以，，解得，，所以函数的单调增区间为，.【点睛】本题考查了正弦函数的周期、单调性，属于基础题.2．（23-24高一上·江苏镇江·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：（1）求函数的解析式，并补全表中其它的数据；（2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；（3）写出函数的单调减区间.【答案】(1)见解析；(2)图象见解析；（3）单调减区间，.【分析】（1）根据最大值求得，利用已知条件列方程组，求得的值.由此求得的表达式，并将表格补全.（2）根据表格的数据画出函数的图像.（3）根据图像可知，函数的一个减区间是，加上函数的周期即得到函数的减区间.【详解】（1）因为当时，，所以.由表中数据有：解得所以.表中数据补全得表:（2）函数图象见图：（3）因为函数在一个周期内的减区间为，所以函数的单调减区间，.【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像，求三角函数解析式，考查三角函数图像的五点作图法，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.题型四：五点法作指定周期图象1．（23-24高一下·河南周口·期末）已知函数.（1）当时，求的值域；（2）用五点法在图中作出在闭区间上的简图；（3）说明的图象可由的图象经过怎样的变化得到？【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.【详解】分析:(1)先利用三角恒等变换的知识化简,再利用三角函数的图像性质求当时求的值域.(2)利用五点法作出在闭区间上的简图.(3)利用图像变换的知识写出的图象可由的图象经过怎样的变化得到.详解：（1）∵∴∴（2）列表：作图：（3）把的图象向左平移个单位，可得函数的图象；再把所得图象上点的横坐标变为原来的倍，可得函数的图象；再把所得图象上的点的纵坐标变为原来的倍，可得函图象．点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查五点法作三角函数的图像，考查三角函数图像变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.2．（23-24高一上·天津河北·期末）已知函数，．(1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数在区间内的图象；(2)求函数的最小正周期；(3)求函数的单调递增区间．【答案】(1)图象详见解析(2)(3)【分析】（1）利用五点作图法画出图象.（2）由求得的最小正周期.（3）利用整体代入法求得的单调递增区间.【详解】（1），列表如下：描点画图如下：（2）函数的最小正周期.（3）由，解得，所以的单调递增区间为.题型五：三角函数中零点个数问题1．（24-25高一·上海·随堂练习）试对实数a的不同取值，讨论方程在上的解的个数．【答案】当或时，原方程无解；当或时，原方程有两个解；当或时，原方程有唯一解．【分析】利用辅助角公式化简方程，做函数的图象，结合图象求.【详解】化简得，，

，方程在的解的个数与函数，的图像和函数的图像的交点的个数相同，作函数，的图象，结合图像可得，或，原方程无解；或时，原方程有两个解；或，原方程有唯一解．故：当或时，原方程无解；当或时，原方程有两个解；当或时，原方程有唯一解．2．（23-24高一上·江西上饶·阶段练习）已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作.(1)求函数的单调减区间；(2)求函数的最小值；(3)若函数在内恰有6个零点，求的值.【答案】(1)，；；(2)(3)或.【分析】（1）根据所给图象求出函数的解析式，再列出关于x的不等式即可得解；（2）由（1）结合给定图象变换求出的解析式，再求出并作变形即可得解；（3）求出并令，将转化为关于t的一元二次方程，按根所在区间讨论得解.【详解】（1）观察图象得，最小正周期为T，，则，而，则，，又，于是得，所以，由，，得，，所以单调递减区间为，．（2）由题意得，，当，即时，取最小值，所以的最小值为；（3）依题意，，令，可得，令，得，由于，即方程必有两个不同的实数根，，且，，由知、异号，不妨设，，①若，则，，无解，而在内有四个零点，不符题意；②若，则，在内有2个零点，而在内有4个零点，即在内有6个零点，符合题意，此时，得；③若，，在有4个零点，则在内应恰有2个零点，必有，此时，，解得，综上所述有或．题型六：三角函数中零点代数和问题1．（23-24高一下·河北张家口·期末）如图是函数图象的一部分．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间；(3)记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值．【答案】(1)(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，(3)，【分析】（1）根据函数图象可得，由周期求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式；（2）根据正弦函数的性质计算可得；（3）依题意可得，由的取值范围求出的取值范围，令，，即，结合正弦函数的图象及对称性计算可得.【详解】（1）由图可得，函数的最小正周期为，又，则，所以，又函数过点，所以，则，则，解得，因为，所以，所以．（2）令，，解得，，令，，解得，．因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，．（3）方程，即，即，因为，所以，设，其中，即，结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即，又的对称轴为，不妨设个解从小到大依次为，则关于对称，关于对称，关于对称，所以，，，即，，，解得，，．所以，所以，．【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是换元转化为方程在区间上的解的个数，结合正弦函数的图象及对称性计算得解.2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)当时，求的单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的周期性和奇偶性，分别求出和，然后利用正弦函数的单调性，得解；（2）先求出函数的解析式，再根据根据正弦函数的图象与性质，可得解；（3）由（2）得的解析式，从而得到解的个数，结合函数图象求解根的对称关系，可求解.【详解】（1）由题意，函数，因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，又由函数为奇函数，可得，所以，因为，所以，所以函数，令，解得，可得函数的递减区间为，再结合，可得函数的减区间为；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，当时，，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域；（3）由（2）得函数的图象，由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，而，结合正弦函数的图象，

可得方程在区间有5个解，即，其中，即，解得，所以.【点睛】方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.3．（2022高三·全国·专题练习）已知函数的图象的两相邻对称轴之间的距离为，且在时取得最大值2．(1)求函数的解析式；(2)当时，若方程恰有三个根，分别记为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题设条件分别求出，即得的解析式；（2）通过换元，将问题转化成方程在恰有三个根，结合函数的图象，利用其对称特征可得的范围，再转化成的范围即得.【详解】（1）由题意得，，则，由，函数在处取最大值，，又，．（2）令，由可得：，依题可知方程在恰有三个根，记为，则，画出与在上的图象.

由图象易知关于直线对称，则又由图知，则.又则得：，解得.故的取值范围是．【点睛】思路点睛：本题解题的思路即是先将三角函数中的看成整体，将问题转化成函数与直线在上的交点问题，利用图象对称性先求出的范围，再转化成求的范围.题型七：三角函数中恒成立问题1．（23-24高一下·山东日照·期中）将函数（其中）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且为偶函数．(1)求函数的解析式和对称中心；(2)若对，当时，都有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，对称中心为(2)【分析】（1）借助函数平移与偶函数的性质计算即可得，即可得的解析式，结合余弦型函数的对称性即可得解；（2）由题意可得在上单调递增，结合三角恒等变换与正弦型函数的单调性计算即可得解.【详解】（1）将向左平移后得，由为偶函数，故，又，故，即，，令，解得，即的对称中心为；（2）由，故，即，即，令，由题意可知在上为增函数，当时，，则有，解得.2．（23-24高一下·湖北·期中）已知函数.(1)求的对称中心；(2)将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象.（i）求的值域；（ii）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）将化为，则由余弦函数的对称中心，可得的对称中心；（2）（i）由（1）和已知得，则，利用换元法，由二次函数的性质即可求得函数的值域；（ii）原不等式等价于，可化为恒成立，利用正、余弦函数的性质，分时，时，时，三种情况讨论不等式恒成立的条件，即可得到实数的取值范围.【详解】（1），

令，得，所以的对称中心为.（2）由，将函数的图象上所有的点向下平行移动个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得，

（i），令，，则，其对称轴为，故当时，；当时，，所以函数的值域为.

（ii）原不等式等价于，也即，即恒成立，①当时，恒成立，显然成立，故符合题意，

②当时，令，由可得，此时，所以，当且仅当且即时等号成立，

所以的最小值为，若要满足不等式恒成立则，得，则，

③当时，同理可得，当且仅当且即时等号成立，所以的最小值为，若要满足不等式恒成立则，得，则，

综上所述，的取值范围为.【点睛】关键点点睛：当时，恒成立，即恒成立，令，，利用正、余弦函数的性质，讨论时，时，时，三种情况不等式恒成立的条件.3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，函数．(1)求函数的周期及对称中心；(2)若，且，求的值；(3)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，对称中心为；(2)；(3)．【分析】（1）先倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期的计算公式以及对称中心的求法即可求解；（2）先求得、，再将所求转化为，再结合正弦两角差公式即可求解；（3）先求解析式，然后将恒成立问题，参变量分离后，转化为最值问题即可求解.【详解】（1）．，令．对称中心为；（2）由（1）知，，，又，，．（3）由（1）知，，由题意，，当时，，恒成立恒成立．．题型八：三角函数中问题1．（20-21高一上·安徽合肥·期末）已知函数．(1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域；(2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为和，递减区间为和；值域是(2)【分析】（1）利用对勾函数性质结合奇偶性判断单调区间，利用基本不等式求值域；（2）求出的值域并将题目转化为函数的值域是的值域的子集，分情况讨论t的范围，求的最值列不等式求解.【详解】（1）当时，,易知，且定义域关于原点对称，故为奇函数；结合对勾函数的性质可得：的单调递增区间为和，递减区间为和．当时，，当且仅当时等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立．所以的值域是；（2），因为，所以，所以，，所以，那么的值域为．当时，总有，使得，转化为函数的值域是的值域的子集，即当时，恒成立．当时，在上单调递增，可得，，所以；当时，，满足题意；当时，对任意的，，显然，所以，对任意的恒成立，可得．当时，，，此时．综上可得，实数的取值范围为．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若若，，有，则的值域是值域的子集．2．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数为奇函数.(1)求的值；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据奇函数的性质列式求解即可；（2）分离参数得在上恒成立，令，则，构造函数，利用函数单调性求解最值即可；（3）把问题转化为函数的值域为函数值域的子集，利用函数单调性求解其值域，结合余弦函数性质，分类讨论求解函数的值域，列不等式组求解即可.【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，所以，所以，解得.（2）由（1）知，则，所以，故在上恒成立，令，则，且，所以，令，则函数在上为减函数，所以，所以.（3）若，使得成立，则函数的值域为函数值域的子集，，则函数在上为减函数，所以.因为，所以，所以，当时，，则，所以，所以；当时，，则，所以，所以；当时，，显然成立.综上可知.【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集.3．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数.且当时，的最大值为.(1)求实数的值；(2)设函数，若对任意的，总存在，使得.求实数的取值范围.【答案】(1)2(2)【分析】（1）整理可得，利用换元法结合二次函数的性质运算求解；（2）先求值域，根据题意可得值域是值域的子集，分类讨论运算求解.【详解】（1）因为因为，令，所以，当时，此时当时，与题意不符；当时，若时，即，此时当时，，解得或（舍去）若时，即，此时当时，，解得，不合题意；当时，此时当时，，解得，不合题意；综上，实数的值为2.（2）由（1）可知，因为，令，所以，对称轴，当时，当或时，所以在上的值域为，当时，，所以，设在上的值域为B，若对任意的，总存在，使得，则,当时,显然不合题意；当时，则，解得，当时，则，解得，综上：实数b的取值范围为.【点睛】方法点睛：三角函数值域(最值)的三种求法：（1）直接法：利用的有界性直接求．（2）单调性法：化为的形式，采用整体思想，求出的范围，根据的单调性求出函数的值域(最值)．（3）换元法：对于和型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．题型九：三角函数中新定义题1．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”(1)判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由；(2)若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围；(3)若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围．【答案】(1)不是，理由见解析(2)(3)【分析】（1）利用给定定义判断即可.（2）利用给定定义建立不等式，求解参数范围即可.（3）利用给定定义转化为函数交点问题，利用数形结合法求解即可.【详解】（1），，，，故的值域为，当时，，此时，不是的“4