鞍山市铁西区2024年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

6/22鞍山市铁西区2024年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、单项选择题在各小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的答案字母代号涂在答题卡上，每小题2分，10小题，共20分。1．（2分）计算（﹣2m3n2）2的结果是（）A．﹣2m6n4 B．4m6n4 C．4m5n4 D．﹣4m6n4【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：（﹣2m3n6）2＝4m8n4．故选：B．【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．2．（2分）下列说法正确的是（）A．三角形的一个外角大于三角形的任何一个内角 B．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心 C．三角形一个顶点处取一个外角，这三个外角中，钝角的个数最多是3个 D．一个三角形的三条中线、三条角平分线，三条高都在三角形的内部【分析】根据三角形的外角定理可对选项A进行判断；根据三角形重心的定义可对选项B进行判断；分别讨论锐角三角形，直角三角形，钝角三角形在一个顶点处取一个外角，这三外角的大小即可对选项C进行判断；根据直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形的外部可对选项D进行判断．【解答】解：因为三角形的一个外角大于和它不相邻的内角，所以选项A不正确；因为三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，三角形三条中线的交点是三角形的重心，所以选项B不正确；因为在锐角三角形每一个顶点处取一个外角，这三个外角都是钝角，这三个外角中有两个钝角，在钝角三角形每一个顶点处取一个外角，所以在三角形每一个顶点处取一个外角，这三个外角中．所以选项C正确；因为直角三角形的两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以选项D不正确．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的外角定理，三角形的重心，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的外角定理，三角形的重心，三角形的角平分线、中线和高是解决问题的关键．3．（2分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a6 C．a2•a3＝a6 D．6a6﹣2a3＝3a3【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并；B、（a2）3＝a6，故B符合题意；C、a3•a3＝a5，故C不符合题意；D、5a6与2a7不属于同类项，不能合并；故选：B．4．（2分）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根据作图过程可得，两个三角形三条边对应相等，所以可得两个三角形全等．【解答】解：由作图过程可得：AE＝AF，DE＝DF，所以△ADF≌△ADE（SSS），所以∠CAD＝∠DAB，故选：D．【点评】本题考查了作角平分线，三角形全等判定定理：三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”），掌握以上知识是解题的关键．5．（2分）在下列各式中，应填入“（﹣y）”的是（）A．﹣y3•______＝﹣y B．﹣2y3•______＝2y4 C．（﹣2y）3•______＝﹣8y4 D．（﹣y）12•______＝﹣3y13【分析】根据单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方运算分别判断即可．【解答】解：﹣y3•y﹣2＝﹣y，故A选项不符合题意；﹣2y3•（﹣y）＝2y5，故B符合题意；（﹣2y）3•y＝﹣5y4，故C不符合题意；（﹣y）12•（﹣3y）＝﹣7y13，故D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键．6．（2分）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（）A．2.8 B．3 C．4.2 D．5【分析】过点D作DH⊥OB于H，根据角平分线的性质，证明DE＝DH，再根据已知条件和垂线的性质进行解答即可．【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，因为OD平分∠AOB，DE⊥AO，所以DE＝DH＝3，因为F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，所以DF的长度不可能小于3，所以DF的长度不可能是2.8，故选：A．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和垂线的性质．7．（2分）下列计算正确的是（）A．2a3+2a＝2a4 B．（a﹣2b）2＝a2﹣4b2 C．﹣5（2a﹣b）＝﹣10a﹣5b D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并；B、原式＝a2﹣4ab+3b2，不符合题意；C、原式＝﹣10a+5b；D、原式＝﹣5a6b3，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．8．（2分）如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，∠AED＝108°，∠CAD＝12°，则∠DEF的度数为（）A．28° B．36°C．38° D．42°【分析】由△ACB的内角和定理求得∠CAB＝24°；然后由全等三角形的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB＝24°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．【解答】解：因为∠ACB＝108°，∠B＝48°，所以∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣48°﹣108°＝24°．又因为△ABC≌△ADE，所以∠EAD＝∠CAB＝24°．又因为∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝12°，所以∠EAB＝24°+12°+24°＝60°，所以∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣60°﹣48°＝72°，所以∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝108°﹣72°＝36°．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．9．（2分）下列不能用平方差公式运算的是（）A．（x+1）（x﹣1） B．（﹣x+1）（﹣x﹣1） C．（x+1）（﹣x+1） D．（x+1）（1+x）【分析】根据平方差公式解答即可．【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）＝x8﹣1，故此选项不符合题意；B、（﹣x+1）（﹣x﹣5）＝x2﹣1，故此选项不符合题意；C、（x+4）（﹣x+1）＝1﹣x7，故此选项不符合题意；D、（x+1）（1+x）不能用平方差公式计算；故选：D．【点评】此题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．10．（2分）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，则∠BOD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．【解答】解：因为∠1、∠2、∠3的外角的角度和为215°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°，所以∠5+∠2+∠3+∠2＝505°，因为五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，所以∠5+∠2+∠3+∠5+∠BOD＝540°，所以∠BOD＝540°﹣505°＝35°，故选：B．二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）若矩形ABCD的面积为4a2b3，一边长为2ab3，则另一边长为2a．【分析】根据题意得另一边长为4a2b3÷2ab3，计算即可．【解答】解：4a2b6÷2ab3＝6a．即另一边长为2a．故答案为：2a．【点评】本题考查了整式的除法，解题的关键是掌握整式除法的运算法则．单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．12．（3分）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，OB＝2米，A、B间的距离可能是11．（写出一个即可）【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可．【解答】解：因为10﹣2＜AB＜10+2，所以4＜AB＜12，所以A、B间的距离可能是11米．故答案为：11（答案不唯一）．【点评】此题考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是大于已知的两边的差，而小于两边的和．13．（3分）＝﹣．【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：＝（﹣）2023×（）2023×＝（﹣×）2023×＝（﹣1）2023×＝﹣．故答案为：﹣．14．（3分）如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上75°．【分析】由题意可得∠DFE，∠C，∠D的度数，利用三角形外角和定理可求得∠CMF的度数，继而可得∠DMN的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．【解答】解：由题意可得∠D＝90°，∠DFE＝45°，因为∠DFE＝∠CMF+∠C，所以∠CMF＝15°，所以∠DMN＝15°，所以∠DNM＝180°﹣∠D﹣∠DMN＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故答案为：75°．【点评】本题考查三角形的内角和定理与外角性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．15．（3分）如图，某区有一块长为（3a+4b）米，宽为（2a+3b），规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为（a+b），b的式子表示绿化总面积为（5a2+15ab+11b2）m2．【分析】外面大长方形的面积减去中间小正方形的面积．【解答】解：根据题意：绿化总面积为：（3a+4b）×（7a+3b）﹣（a+b）2＝8a2+9ab+8ab+12b2﹣a2﹣5ab﹣b2＝（5a6+15ab+11b2）（m2）．【点评】本题考查长方形和正方形的面积公式以及整式的乘法计算，理解题意是关键．16．（3分）如图，AB＝5cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s）1或cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．【分析】根据题意可得：AP＝tcm，则BP＝（5﹣t）cm，然后根据已知∠CAB＝∠DBA，分两种情况：当AC＝BP＝3cm，AP＝BQ＝tcm时；当AC＝BQ＝3cm，AP＝BP时，分别进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AP＝tcm，因为AB＝5cm，所以BP＝AB﹣AP＝（5﹣t）cm，因为∠CAB＝∠DBA，所以①当AC＝BP＝7cm，AP＝BQ＝tcm时，所以5﹣t＝3，所以t＝8，所以AP＝BQ＝2cm，所以点Q的运动速度＝＝1（cm/s）；②当AC＝BQ＝3cm，AP＝BP时，所以t＝7﹣t，所以t＝2.5，所以点Q的运动速度＝＝（cm/s）；综上所述：当点Q的运动速度为1或cm/s时，故答案为：1或．【点评】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况讨论是解题的关键．三、解答题17、18、19、20、21、题各8分，22题10分、23题12分，共62分。17．（8分）因式分解：（1）3ax2﹣6ax+3a．（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．【解答】解：（1）3ax2﹣3ax+3a＝3a（x6﹣2x+1）＝3a（x﹣1）2．（2）（x4+y2）2﹣4x2y2＝（x8+y2）2﹣（2xy）2＝（x2+y8+2xy）（x2+y6﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）8．18．（8分）如图，已知AD＝CD，AB＝CB，PN⊥CD于点N．求证：PM＝PN．【分析】根据SSS证明△ABD≌△CBD，得出∠ADB＝∠CDB，又因为点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，推出结论．【解答】证明：在△ABD和△CBD中，，所以△CBD≌△ABD（SSS），所以∠ADB＝∠CDB，因为PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，所以PM＝PN．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，掌握判定方法是解题的关键．19．（8分）回答下列问题：（1）计算：①（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；②（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6．③（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6；④（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6．（2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab（3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+5．求m的所有可能值．【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则计算①②③④这四个式子即可；（2）根据（1）中的结果总结公式即可；（3）运用（2）中的结论计算等式的左边，然后根据左右两边相等得到a+b＝m，ab＝5，再根据a，b，m均为整数，得出a＝1，b＝5或a＝﹣1，b＝﹣5或a＝5，b＝1或a＝﹣5，b＝﹣1，最后计算即可得出m的所有可能值．【解答】解：（1）①（x+2）（x+3）＝x5+3x+2x+5＝x2+5x+5；②（x+2）（x﹣3）＝x5﹣3x+2x﹣3＝x2﹣x﹣6；③（x﹣8）（x+3）＝x2+8x﹣2x﹣6＝x5+x﹣6；④（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣3x﹣7x+6＝x2﹣5x+6；故答案为：x2+6x+6；x2﹣x﹣3；x2+x﹣6；x6﹣5x+6；（2）（x+a）（x+b）＝x4+（a+b）x+ab，故答案为：（a+b）；（3）（x+a）（x+b）＝x2+mx+5，所以x7+（a+b）x+ab＝x2+mx+5，所以a+b＝m，ab＝6，因为a，b，m均为整数，所以a＝1，b＝5或a＝﹣8，b＝1或a＝﹣5，当a＝7，b＝5时；当a＝﹣1，b＝﹣8时；当a＝5，b＝1时；当a＝﹣6，b＝﹣1时；综上，mm的所有可能值为6或﹣3．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，注意不要漏项，漏字母，有同类项的要合并同类项．20．（8分）如图①，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）求证：∠BAC＝∠B+2∠E；（2）如图②，若AF平分∠BAC，∠ECD＝60°，求∠AFC的度数．【分析】（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题．（2）由CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，得出∠ACB＝60°和∠B＝36°，再由外角的性质求出∠AFC＝∠B+∠BAF，继而可得答案．【解答】（1）证明：因为CE平分∠ACD，所以∠ACE＝∠DCE，因为∠DCE＝∠B+∠E，所以∠ACE＝∠B+∠E，因为∠BAC＝∠ACE+∠E，所以∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．（2）解：因为CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，所以∠ACD＝2∠ECD＝4×60°＝120°，所以∠ACB＝60°，因为∠ECD＝60°，∠E＝24°，∠B＝60°﹣24°＝36°，在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝84°，因为AF平分∠BAC，所以∠BAF＝＝42°，所以∠AFC＝∠B+∠BAF＝36°+42°＝78°．【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，属于中考常考题型．21．（8分）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2），请在这种方法的启发下，解决以下问题：（1）因式分解：a3﹣3a2﹣4a+12；（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；【分析】（1）将a3﹣3a2﹣4a+12变为a2（a﹣3）﹣4（a﹣3）即可；（2）m2﹣n2+2m﹣2n变为（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）即可．【解答】解：（1）a3﹣3a8﹣4a+12＝a2（a﹣8）﹣4（a﹣3）＝（a﹣5）（a2﹣4）＝（a﹣4）（a﹣2）（a+2）；（2）m6﹣n2+2m﹣3n＝（m+n）（m﹣n+2）＝（m﹣n）（m+n+2）将m+n＝2，m﹣n＝1，原式＝（m﹣n）（m+n+2）＝7×（5+2）＝7．22．（10分）【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是EF＝BE+FD．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，∠EAF＝∠BAD【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处），舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF），试求此时两舰艇之间的距离．【分析】【初步探索】延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到结论；【探索延伸】延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则结论可求；【结论运用】连接EF，延长AE、BF交于点C，利用已知条件得到：四边形OABC中：OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝180°且∠EOF＝∠AOB，符合【探索延伸】具备的条件，则EF＝AE+BF．【解答】【初步探索】解：延长FD到G，使DG＝BE，如图，在Rt△ABE和Rt△ADG中，所以△ABE≌△ADG（SAS），所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，因为∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG，所以∠BAD＝∠EAG．因为∠EAF＝∠BAD，所以∠EAF＝EAG，所以∠EAF＝∠GAF．在△AEF和△AGF中，所以△AEF≌△AGF（SAS），所以EF＝FG，因为GF＝GD+DF＝DF+BE，所以EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+FD；【探索延伸】结论仍然成立：EF＝BE+DF．证明：延长FD到G，使DG＝BE，如图，因为∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，所以∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，所以△ABE≌△ADG（SAS），所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，因为∠BAD＝∠BAE+∠EAD，∠EAG＝∠EAD+∠DAG，所以∠BAD＝∠EAG．因为∠EAF＝∠BAD，所以∠EAF＝EAG，所以∠EAF＝∠GAF．在△AEF和△AGF中，所