阳江市阳东区2023年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

6/24阳江市阳东区2023年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案 一、选择题本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．下列三条线段能构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm C．4cm，4cm，8cm D．2cm，2cm，8cm【分析】根据三角的形三边关系判断即可．【解答】解：A：1+2＝3，构不成三角形，故不符合题意；B：3+4＞5，能构成三角形，故符合题意；C：4+4＝8，构不成三角形，故不符合题意；D：2+2＜8，构不成三角形，故不符合题意；故选：B．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AC于点D，交AB于点E，若CD＝3，则AC的长度为（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】由作法得MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝30°，再计算出∠DBC＝30°，则BD＝2CD＝6，从而得到AD＝6，然后计算AD+CD即可．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，所以DA＝DB，所以∠DBA＝∠A＝30°，因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝30°，所以BD＝2CD＝6，所以AD＝6，所以AC＝AD+CD＝6+3＝9．故选：A．4．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么这个多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】多边形的外角和等于360°【解答】解：因为一个多边形的每一个内角都等于140°，所以这个多边形的每一个外角都等于180°﹣140°＝40°，因为多边形的外角和等于360°，所以这个多边形的边数为360°÷40°＝9．故选：B．5．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等【分析】根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：C．6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【解答】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；故选：D．7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】利用折叠可以得到∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED进而解题．【解答】解：在△ADE中，∠A＝30°，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，由折叠可知：∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED，所以∠1+∠2＝360°﹣∠A'DE﹣∠ADE﹣∠A'ED﹣∠AED＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2×150°＝60°．故选：D．8．如图，AD为△ABC的中线，AB＝10，AC＝4，则AD的长度可能为（）A．2.9 B．5.4 C．7.3 D．8.8【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，由“SAS”可证△EBD≌△ACD，可得BE＝AC＝4，由三角形的三边关系可得3＜AD＜7，即可求解．【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，因为AD为△ABC的中线，所以BD＝CD，在△EBD与△ACD中，，所以△EBD≌△ACD（SAS），所以BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝10，即6＜2AD＜14，所以3＜AD＜7，故选：B．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，已知EF＝EB＝6，AE＝8，则CF＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先利用等角的余角相等得到∠BAD＝∠BCE，则可根据“AAS”证明△BCE≌△FAE，则CE＝AE＝6，然后计算CE﹣HE即可．【解答】解：因为AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠BEC＝∠ADB＝90°，因为∠BAD+∠B＝90°，∠BCE+∠B＝90°，所以∠BAD＝∠BCE，在△BCE和△FAE中，，所以△BCE≌△FAE（AAS），所以CE＝AE＝8，所以CF＝CE﹣FE＝8﹣6＝2．故选：C．10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△ABF＝mn，正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，故④正确．【解答】解：因为在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，所以∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，所以∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；因为在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，所以∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，因为EF∥BC，所以∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，所以∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，所以BE＝OE，CF＝OF，所以EF＝OE+OF＝BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，因为在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，所以ON＝OD＝OM＝m，所以S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④正确；因为在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，所以点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故选：D．二、填空题本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．（4分）若点A（m，﹣3），B（﹣2，n）关于y轴对称，则2m+3n的值为﹣5．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得m＝2，n＝﹣3，然后再代入2m+3n求值即可．【解答】解：因为点A（m，﹣3），B（﹣2，n）关于y轴对称，所以m＝2，n＝﹣3，所以2m+3n＝2×2+3×（﹣3）＝﹣5．故答案为：﹣512．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B的度数为45°．【分析】先根据轴对称的性质得出△ABC≌△A′B′C′，由∠C′＝30°求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数．【解答】解：因为△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，所以△ABC≌△A′B′C′，因为∠C′＝30°，所以∠C＝30°，所以∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°．故答案为：45．13．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2cm，则AB的长是4cm．【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案．【解答】解：因为△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°，因为BC＝2cm，所以AB＝2BC＝4cm，故答案为：4．14．（4分）如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为8．【分析】根据角平分线的性质得出PE＝PC＝2，再根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：过P作PE⊥OD于E，因为OP平分∠DOC，∠C＝90°，PC＝2，所以PE＝PC＝2，因为OD＝8，所以△OPD的面积是＝＝8，故答案为：8．15．（4分）等腰三角形中有一个内角为40°，则其底角的度数是40°或70°．【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．【解答】解：①当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，②当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝（180°﹣40°）÷2＝70°．综上所述，该等腰三角形的底角是40°或70°，故答案为：40°或70°．16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，AD＝4，BD＝3，AB＝5，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值为．【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：因为AD＝4，BD＝3，AB＝5，所以AB2＝AD2+BD2，所以∠ADB＝90°，因为D为BC的中点，BD＝CD，所以AD垂直平分BC，BC＝2BD＝6，所以点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，因为S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，所以5•CE＝4×6，所以CE＝，所以PE+PB的最小值为，故答案为：．17．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，则∠A5＝2°．【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据发现后一个角等于前一个角的的规律即可得解，把∠A＝64°代入∠An＝∠A解答即可．【解答】解：因为A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，所以∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又因为∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，所以（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，所以∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1＝×∠A＝∠A，由此可得一下规律：∠An＝∠A，当∠A＝64°时，∠A5＝∠A＝2°，故答案为：2°．三、解答题本大题共3小题，每小题6分，共18分。18．（6分）如图所示，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：△ABC≌△DEC．【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．【解答】证明：因为∠1＝∠2，所以∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，所以△ABC≌△DEC（SAS）．19．（6分）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE的周长为8，BC＝3，求AB的长．【分析】先利用三角形周长得到CE+BE＝5，再根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，然后利用等线段代换得到AB的长．【解答】解：因为△BCE的周长为8，所以CE+BE+BC＝8，又因为BC＝3，所以CE+BE＝5，又因为DE是AC的中垂线，所以EC＝EA，所以AB＝AE+BE＝CE+BE＝5．20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）尺规作图：作斜边AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于D、E（不写作法，保留作图痕迹）；（2）已知AC＝6cm，CB＝8cm，求△ACE的周长．【分析】（1）依据垂直平分线的尺规作图方法，即可得到DE；（2）依据线段垂直平分线的性质，即可得到AE＝BE，进而得出△ACE的周长＝AC+BC，依据AC＝6cm，CB＝8cm，即可得到△ACE的周长．【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；（2）因为DE垂直平分AB，所以AE＝BE，所以△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，又因为AC＝6cm，CB＝8cm，所以△ACE的周长＝6+8＝14（cm）．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE＝AD，连接CE，∠BAC＝∠DAE＝100°．（1）试说明△BAD≌△CAE；（2）若DE＝DC，求∠CDE的度数．【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可．（2）证明∠B＝∠ACB＝∠ACE＝40°，推出∠DCE＝80°，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．【解答】（1）证明：因为∠BAC＝∠DAE＝100°，所以∠BAD＝∠CAE，因为AB＝AC，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：因为AB＝AC，∠BAC＝100°，所以∠B＝∠ACB＝40°，因为△BAD≌△CAE，所以∠B＝∠ACE＝40°，所以∠DCE＝∠BCA+∠ACE＝80°，因为DE＝DC，所以∠DEC＝∠DCE＝80°，所以∠EDC＝180°﹣80°﹣80°＝20°．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）△A1B1C1的面积为；（3）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）根据分割法即可求得△A1B1C1的面积；（3）连接BC1交y轴于点P，即可使PB+PC最小．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1的面积＝3×5﹣1×5﹣2×3﹣2×3＝；故答案为：；（3）如图，点P即为所求．23．（8分）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD．（1）图中与△BDE全等的三角形是△CFD，请加以证明；（2）若AE＝8cm，AC＝5cm，求BE的长．【分析】（1）根据角平分线的性质得出DE＝DF，再利用HL证明Rt△BED与Rt△CFD全等，（2）根据全等三角形的性质得出BE＝CF，进而解答即可．【解答】解：（1）△BED与△DFC全等，理由如下：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，所以DE＝DF，在Rt△BED与Rt△CFD中，，所以Rt△BED≌Rt△CFD（HL）；故答案为：△DFC；（2）因为Rt△BED≌Rt△DFC，AE＝8cm，AC＝5cm，所以BE＝CF，AF＝8cm，所以BE＝CF＝AB﹣AC＝8﹣5＝3cm．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．【分析】（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义即可求得∠AEB的度数；②与①同理，只是把具体度数转化为角表示出来即可得结论；（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果．【解答】解：（1）如图1，①因为MN⊥PQ，所以∠AOB＝90°，因为∠ABO＝60°，所以∠BAO＝30°，因为AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，所以∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，所以∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．答：∠AEB的度数是135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．答：∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB的度数是135°．（2）∠ABO的度数为60°或45°．理由如下：如图2，因为∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，所以∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，又∠BOQ＝90°，所以由题意：①∠E＝∠EAF＝30°，或②∠E＝∠F．①∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，所以∠OAE＝15°，∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）所以∠ABO＝60°．②∠E＝∠F，因为∠E+∠F＝90°，所以∠E＝22.5°，∠EOQ＝45°，所以∠OAE＝22.5°，所以∠BAO＝45°，所以∠ABO＝45°．故答案为60°或45°．25．（10