midas gts理论分析-1概要

第一篇MIDAS/GTS的分析功能

岩土分析(geotechnicalanalysis)与一般的结构分析(structuralanalysis)有较大

差异。一般的结构分析注重荷载的不确定性，所以在分析时会加载各种荷载，然后对

分析结果进行各种组合，最后取各组合中最不利的结果进行设计。岩土分析注重的是

施工阶段和材料的不确定性，所以决定岩土的物理状态显得格外重要。在岩土分析中

应尽量使用实体单元真实模拟围岩的状态、尽量接近地模拟岩土的非线性特点以及地

基应力状态(自应力和构造应力)、并且尽量真实地模拟施工阶段开挖过程，这样才会

得到比较真实的结果。

优秀的岩土分析程序应能真实地模拟现场条件和施工过程，并应为用户提供更多的材

料模型和边界条件，让用户在做岩土分析时有更多的选择。

MIDAS/GTS不仅具有岩土分析所需的基本分析功能，并为用户提供了包含最新分析理

论的强大的分析功能，是岩土和隧道分析与设计的最佳的解决方案之一。

MIDAS/C-TS中提供的的分析功能如下：

A.静力分析(staticanalysis)

线弹性分析(linearelaeticanalysis)

车线性弹性分析(nonlinearelasticanalysis)

弹性分析(elastoplasticanalysis)

B.施工阶段分析(constructionstagedanalysis)

C.渗流分析(seepageanalysis)

稳定流分析(steadystateseepageanalysis)

丰稳定流分析(transientstateseepageanalysis)

D.渗流-应力耦合分析(seepagestressanalysis)

固结分析(consolidationanalysis)

排水/非排水分析(drained/undrainedanalysis)

同结分析(consolidationanalysis)

F.动力分析(dynamicanalysis)

籽征佰分析(eigenvalueanalysis)

反应谱分析(responsespectrumanalysis)

时程分析(timehistoryanalysis)

1.静力分析(StaticAnalysis)

静力分析是指结构不发生振动状态下的分析，一般来说外部荷载的频率在结构的基本

周期的1/3以卜时可认为是静力荷载。静力分析的类型如卜.：

A.线弹性分析(linearelasticanalysis)

B.非线性弹性分析(nonlinearelasticanalysis)

C.弹塑性分析(elastoplasticanalysis)

1.1线弹性分析

岩土分析中的线弹性分析是将围岩材料视为线弹性，分析其在静力荷载下的响应。岩

土材料的线弹性阶段仅发生在荷载加载初期应变非常小时.级弹性分析不考虑破坏将

应力-应变关系理想化为直线，计算相对简单方便。从理论上说，有限元方程式的表

现形式是基于虎克(Hooke)法则的线弹性方程式，非线性分析或弹塑性分析也可以按

线弹性方程式的形式进行求解计算。

从1990年开始，在实际设计中才开始大量使用非线性分析和弹塑性分析。其原因让非

线性分析和弹塑性分析的收敛计算需要较长的时间，无论从硬件还是从软件上都还不

能满足实际设计的需要。随着计算机分析速度的提高以及分析技术的发展，为非线性

分析和弹珊性分析在实际设冲中的应用提供了可能。但是线弹性分析以其特有的冲算

效率在下线性特点不是很明显的材料的分析中，作为初步分析还在大量使用。

土木领域的大部分问题可以概括为两个问题，一个是“结构在给定的荷载作用下是否

安全？”，一个是“结构到完全破坏前的变形有多大？”。为了获得地基的变形需要

地基的应力-应变关系，但是众所周知岩土材料的本构关系相当第杂，与材料的构

成、孔隙比、应力历程以及加载方式均有关系。

在实际设计中，为了便于计算会将岩土的应力-应变关系简化成一些理想化的木构关

系。虽然仅用弹性模量和泊松比的变化来描述岩土特性不是很准确，但是对模拟•些

特定的岩土材料还是非常有效的。在此要注意的是对弹性模量的定义。

一般来说，且常使用的弹性模量包括切线模量(Tangenimodulus)和割线模量(secani

modulus)o完全线弹性材料的切线模量和割线模量相同，但是在岩十.等非线性材料

中•般使用的是所关心的应力范围内的割线模量，并将其称为变形模量(defonnation

modules)。

电

&

=

5

v

¥

=

曳

&

-

加史

-

力+丹

.

.

.

.

.

.

.加

.加

.

.

V

.

.

.

T

¥

.

.

-

.

.

.也

.

.

.

.

.

.

.包前

.

.

.

-

+菽

az

应变。

.轴向

将产牛

时，

应力

单轴

施加

料上

性材

在弹

2

£=

3)

(1.

E

；

町

%=一

又=

且

变

轴向应

,z

：x,y

£

£「，

£,

z

x

模量

:弹性

’

E

比

:泊松

v

。

如下

公式

计算

变的

切应

=,剪

时工

应力

剪切

旅加

4)

(1.

蕾

冷=

。

s)

ulu

mod

ear

量(sh

切模

是剪

且，G

。

如下

关系

比的

泊松

量、

性模

与弹

模昼

剪切

E

(1.5)

G=

嗯

2。+

岩土材料的体积变形率如下:

=£,+£v+£.=(1-2v)

所以体积模量K(bulkmodulus)可使用下面公式表示。

[(巴+%+4)/3]

AV/V3(1-2v)

在岩土上使用体积弹性模量K(bulkmodulus)和剪切模量G(shearmodulus)的概念虽

然不是很准确，但是比E和v表现得更简单更明确，使用起来更方便。下图说明的是K

和G的物理意义。

Accordingtothemagnitude

ofthestressincrement

Accordingtotheloading

condition

Youngsmodulus

£=7T7

%

Isotropic

compression

,1111111,..

//

/Constrainedmodulus

Confined=rr

compressionM^

图1.2VariousTypesofmodulus

在左右边界被约束的状态卜正常发生变形时，可计算出侧限模量M(constrained

modulus)»特别是当4=q=0时，水平万向应力和侧限模量的关系如下。

v

cr,=cr,(1.9)

M=,二、E(1.10)

(1+v)(l-2v)

通过现场试验可以得到上述各种弹性模量中的一个，通过适当的转换后可以应用到实

际设计当中。

一维固结的边界条件与计算侧限模量时的边界条件相同，所以侧限模量与软弱地基的

一维固结特性密切相关。下面的表1.1中整理了侧限模量和各种一维固结特性参数的

关系式。

表1.1固结特性参数和侧限模量的关系

与固结相关的参数与M的关系

叫=5

coefficientofvolumechange,inv

体膨胀系数

coefficientofcompressibi1ity,凡《上

压缩系数"M

compressionindex,cec-(1+%)，,

压缩指数,0.435M

表1.2岩石以及其他材料的弹性模量和泊松比

岩土材料弹性模量Uonf/m1)泊松比

闪岩(Amphibolite)9.412.1xlO*0.28%.30

硬石音(Anhydrile)6.8xlO*0.30

辉绿岩(Diabase)8.7'11.7xlOe0.27"0.30

闪长岩(Diorite)7.510.8xlO*0.26%.29

白云石(Dolomite)11.0*12.1xlOf0.30

纯橄榄岩(Dunite)14.9*18.3xlO*0.26'0.28

含长石的片麻岩

83、1L9xlO，015'020

(Fcldspathicgneiss)

辉长岩(gabbro)8.9'11.7xlOf0.27^0.31

花肉岩(granite)7.3~8.6x!0(0.23'0.27

冰(ice)7.1xlO,0.36

石灰石(limestone)8.7、10.8xlO*0.27~0.30

大理石(marble)8.7'10.8xl0f0.27'0.30

云母片岩(micaSchist)7.9'10.1xl0e0.15"0.20

黑曜石(obsidi<ui)6.5~8.0xlO*0.12'0.18

奥长岩(oligoclasite)8.0~8.5xiO,0.29

石英岩(quartzite)8.2'9.7xI0f0.12'0.15

岩盐(rocksalt)3.5x10e0.25

板岩(slate)7.9'11.2xiO*0.15'0.20

铛(aluminum)5.5~7.6xiO,0.34'0.36

钢(steel)20.0xiO*0.28~0.29

表1.2中的弹性模量是采用无裂纹的小的试验体在实验室实验获得的完整岩(inlacl

rock)的弹性模量。所以考虑现场条件，要考虑尺寸效应、岩体内的不连续性等因素

应采用折减后的弹性模量。图1.3是各种岩石质量指标KQD(Kockquality

Designation)对应的弹性模量实测值图形。RQI)是指10cm以上长度的岩心累计的钻孔

长度比。即使RQD为100%也不能视为完整岩，但是RQD值越高，岩石品质越好。风化越

严重，岩石的RQD越低。

1.2

OResultsfromDWORSHAKDAM.Deere

et.al..1967

□ResultsafterCoonandMenitt.1970

■ORANGEFISHTUNNEL-VERTICALJACKING

TESTS.Oliver,1977

SORANGEFISHTUNNEL-HORIZONTALJACKING

1山TESTS

山

)■DRAKENSBERGTESTS

。

一ELANDSBERGTESTS

reoOTHERDATA.1978

uoc

-o•o

no

po

Hao

s

-n・o

pn

No

□

a-

©

406080100

RockQualtyDesignation(%)

图1.3ROD与弹性模量折减率（艮/ED的关系

由上图可知，RQD为70%时，实验室的弹性模量就要折减20与。

三维条件下，材料的应力-应变关系如下:

£x'\!E-v/E-v/E000CTx

£y-v/E\/E-v/E0006

£z-v/E-v/El/£000<7：

—(1.11:

T*0001/G00

%：00001/G0口：

八匚000001/G__Tzx_

将上述矩阵求逆得

G1—VVV000£.

6V\-vV000£>

GVV1-V000Cz

=A(1.12)

Txy0000.5-v00加

小00000.5-v0y”

000000.5-v

E

且，A=

(1-?V)(14-V)

即

g=D£(1.13)

(CF.r+CTy+b：)/3=K(Ex+£y+£二)(1.14)

E

且，K二,、

3(l-2v)

变形协调方程的D矩阵如下:

£).D>Di000-

DzDyDi000

DiDi000

(1.15)

000Dx00

00000

00000Dy_

且，

D=K+(4/3)G

小=K-(2/3)G(1.16)

Ds=G

1.2.非线性弹性分析

岩土分析中的非线性弹性(nonlinearelastic)和弹塑性(elastoplastic)材料特性均

属于材料非线性分析。所谓材料非线性是指应力与应变关系的非线性。

非线性弹性材料是指材料的弹性特性随分析结果而变，其代表为像邓肯-张模型

(Duncar-Changmodel)这样的双曲线模型(hyperbolicmodel)«该模型的应力-应变

关系为双曲线形状，基床系数是地基的约束(confinement)收力和剪切应力的函数。

非线性材料模型的参数可以通过三轴试验或文献中较为容易地获得，所以被应用于很

多研究当中，但是其缺点是不能考虑破损后的刚度降低。

图L4引自：Duncan-Changmodel应力-应变曲线

1.3.强塑性分析

地基分析也可以概括为对判断在已知荷载作用卜”地基具有多少安全度”的问题和

“地基可以发生多大的变形”的问题。如果说线弹性分析是分析变形能力

(deformability),则弹塑性分析则是同时分析稳定性(stability)和变形能力。地基

的稳定性一般由剪切强度决定，变形能力由弹性特性和剪切特性决定。荷载作用大于

地基的剪切强度时地基将产生测性区域，随着溺性区域的发展最后达到破坏状态。但

是不能说产生了塑性区域结构就一定不稳定，因为被弹性区域包围的塑性区域

(confiredyieldzone)不能生成破坏面，这样的局部破坏不一定会发展成为整体破

坏。

使用荷战作用下产生的累加位移计算得应变包括弹性应变和塑性应变。

£=£'+£，(1.17)

且，

£：总应变

色：弹性应变

针：塑性应变

在计算公式中将要使用的基本概念如下：

①塑性变形的屈服标准(yieldcriteria)

②定义塑性变形用的流动法则(flowrule)

③变形硬化的硬化法则(hardeningrule)

1.3.1.屈服标准

定义弹性区域的边界的屈服函数(或者荷载函数)F如图1.5所示。

尸过,-0(1.18)

且,

£:当前的应力

:等效(equivalent)或宥效(effeciive)应力

K：£”的硬化因子

:等效(equivalent)塑性应变

塑性理论中屈服函数的值为止的应力状态是不存在的。产生屈服时，型性变形逐渐累

加直到屈服函数减少到零时，应力状态要不断修正。这样的过程叫那性修正(plastic

correc(or)阶段或蜕化映射(returnmapping)。

1.3.2流动准则

使用图1.5的流动准则定义塑性变形。

“尸=以红=4疝(1.19)

da

且，

诵

77:塑性变形的方向

"2：定义塑性变形大小的塑性系数

函数g为“塑性势能(plasticpotential),一般使用应力不变量(stress

invariant)定义。另外，塑性势能函数g与屈服函数F相同时，即g=F时称为“关联流动

(associatedflow)准则”，g#F时称为"非关联流动(non-associatedflow)准

则”。

MIDAS/GTS的所有材料模型使用关联流动准则，即期性应变向量垂直于屈服面，所以上

面公式可以使用下面公式表现。

dep=dA—=dAa(1.20)

da

如图1.5所示在图中角点或平面上，产生不能确定阳性流动的方向的奇异点(singular

point),对这些点需要做特殊处理。

1.3.3本构方程

标准塑性本构方程(constitutiveequation)形成步骤如下。

应力由应变变化率向量的弹性部分决定，即

da=Df(de-d£p)=De(d£-J2a)(1.21)

且，D\弹性刚度矩阵

应力始终要在屈服面上，所以要满足下面的协调条件(consistencycondition)。

微小的应变变化率如下：

da=Cde-"Ca

do=D'-D，aa/p，，/(1.22)

-aba+/J-

使用完全牛顿-折普森(Newton-RaDhson)建代计算时，使用协调刚度饵阵(consistent

stiffnessmatrix)会加快收敛速度。

da=Cds-"Ca-UC—dg

da~

__^xv

R(1.23)

arRa+h-

-I

且，R=I+<//LD'—D=(l+J2I/A)D

\da—✓

1.3.4应力积分

应力积分使用显式前进欧拉方法和隐式后退欧拉方法。

A.显示前进欧拉方法

(explicitforwardeuleralgorithmwithsub-incrementation)

B.隐式后退欧拉方法

(implicitbackwardeuleralgorithm)

图1.6显式前进欧拉方法

图1.7显式前进欧拉方法的子增分(sub-incrementation)

图1.8隐式后退欧拉方法

显式方法中塑性流动的方向是在交叉点，即弹性应力增量穿过屈服面的点(图1.6的A)

计算的，而隐式方法是在最终应力点(图1.8的B)上计算的。

显式方法相对简单H.直接对应力积分，许不必在高斯点(gausspoint)反复迭代计

算，但也有下列缺点“

①在一定条件下才能稳定。

②为了满足准确度，在修正应力过程中需要子增量积分。

③为r修正偏离屈服面的程度需要使用人为回归方法。

另外，使用该方法不能构成协调刚度矩阵(consislenlstiffnessmalrix)。但是隐

式方法不必使用子增坦或人为回归方法也可以得到较为精确的结果，并且与给定的条

件无关相对稿定。但是隐式方法需要在高斯点进行反复迭代计算。使用隐式方法可以

构成协调刚度矩阵，使用Nemton-Raphson方法计算，也可以提高迭代计算的效率。

(1)显式前进欧拉方法的步骤

Step-1:计算应变增量。

忠=&/0(1.24)

且，

B:应力-应变关系行列式

du：位移的变化量

Step-2:计算假定为弹性变形的弹性应力(图L6(a)的B点)。

QD区(1.25)

0?=gx+应

公式公25)和(1.26)的角标参见图1.61

Step-3;计算得到的应力在屈服面以内时，则完成应力修正；如果在屈服面外则根

据塑性变形回归到屈服面。

Step-4:计算交叉应力。弹性应力的增量可分为容许应力增量和不容许的应力增

亘，交叉应力使用下面公式计算(参见图L6(a)的A点)。

"14+。-「卜@)=。

F(1.26)

Step-5:屈服后应力点在屈服面上移动，可使用m个不允许的应力增量近似模拟

(参见图1.7)°子增量的数量与误差的大小有关，使用下面公式计算。

，〃=1NT(8(%-%)/%)+1(1-27)

Step-6:最终应力状态不在屈服而上时，使用人为回归方法移动到曲面卜.(参见图

1.7的E点)。

汉—

a】D[c+力(1.28)

分=々一回D2

注意：

①屈服面的形状使用各子增量的结束点使用硬化法则修正。

②卸载(unloading)时假设为弹性。

(2)隐式后退欧拉法则的步骤

隐式方法使用下面公式计算最终应力，角标参见图1.8。

,

=<Tfi-J/iDa(.(1.29)

公式中C点是未知点，使用NewtonRaphson方法反复迭代计算。任意向量r为当前的

应力与后退欧拉应力间的差。

r

=^c-(^-^D-ar)(1.30)

反复迭代计算的目的是将向量r减少到接近于零，最终应力应满足屈标准。将假定的

弹性应力按台劳(Taylor)级数展开。

%=1,+£+，)，(1.31)

日,

日:<7的变化量

2：dX的变化量

将上式设为零，解任，得下面公式。

a=-r,-ADa(1.32)

将屈服函数使用台劳展开，得

几=入“+|^e+/%=吃+-04=0(1.33)

一P

且，%:有效塑性应变。

由此可得2(公式L34),进一步可计算最终应力。

五一a工

2=(1.34)

azDa+h

1.3.5非线性方程的迭代计算方法

在前面已经讲述了线性分析的有限元平衡方程式。但是当材料为非线性时，整体刚度

矩阵K将变成非线性，需要使用反复迭代计算方法解非线性方程式。

•般来说，非线性分析就是查找荷载作用下的结构的平衡状态。在任意阶段i的平衡

问题可归纳为公式(1.35)。

”一'九('u)=0(1.35)

且，

r:节点不平衡力

'P:外部荷载

Tinl：由单元应力计尊的内力

u:节点位移

迭代过程从假设的平衡状态开始分析，不平衡力(”r)视为零，外部荷载(']))是已

知的外部荷载，内力('£”)从单元应力计算而得JB4八，0

利用公式(1.35)反受迭代计算，最后获得仅敛解…解非线性方程式的方法有很多，

YIDAS/GTS中提供了初始刚度法(constantstiffnessmethod)和Newton-Raphson。

(1)初始刚度法

使用弹性初始刚度解方程式。节点位移的反复计算公式如下:

K/u；_=rf'(1.36)

或者

<5u；=Kk(1.37)

在j阶段的第i次迭代过程中计算的位移如下：

、=尸％+为11：