2025年中考数学二轮专题复习 大单元整合专题二 巧用“转化化归”求面积与最值

第1讲Unit1—Unit3(含StarterUnits)七年级上册2025年中考数学二轮专题复习大单元整合专题二巧用“转化化归”求面积与最值类型1反比例函数中|k|的几何意义PART01问题1单个反比例函数图象

模型相关结论与四边形面积相关

S矩形PMON=|k|.S▱PMQN=|k|.(“等面积法”转化)点A,C关于原点对称,S矩形ABCD=4|k|.问题1单个反比例函数图象

模型相关结论与三角形面积相关

S△OPQ=S梯形PMNQ.(“等面积法”转化+“割补法”转化)点A,B关于原点称,S△ABC=2|k|.

1图(1)

图(2)

22

1

图(3)

图(4)44问题2两个反比例函数图象

模型相关结论与四边形面积相关

S矩形PQMN=|k2|-|k1|.(“割补法”转化)S四边形OAPB=S矩形OMPN-S△ONA-S△OBM=|k2|-|k1|.(“割补法”转化)问题2两个反比例函数图象

模型相关结论与三角形面积相关

随着点A位置的变化,△ABC的面积不变.

2图(1)

图(2)

22

【提示】2k-k=2

2

图(3)

图(4)22

【提示】k+2k=6

类型2“垂线段最短”求最值PART02破题“2关键”1.斜大于直2.转化同线原理:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短欲求两线段和的最小值，则设法将两条线段转化到同一条直线上问题1“一定一动”型已知,如图,定点A在直线l外,点P为直线l上一动点,当AP最短时,确定点P的位置.构图过点A作AP⊥l于点P,点P即为所求.模型分析如图,BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,点E为射线BA上一动点,若OD=6,则OE的最小值为

.16如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=4,点P为AB的中点,点F为线段BC上的动点.(1)连接PF,则PF的最小值为

;

(2)若BD是△ABC的角平分线,点E是线段BD上的动点,连接PE,EF,则PE+EF的最小值为

.222已知,如图,点P在∠AOB的内部,在OA上求作一点C,在OB上求作一点D,使PD+CD的值最小.构图作点P关于OB的对称点P',过点P'作P'C⊥OA于点C,交OB于点D,此时PD+CD的值最小,最小值即为P'C的长.问题2“一定两动”型(注:若点P在∠AOB的边上时,构图方法与上同)模型分析如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,点M是BD上一点,且BM=4,点F,G分别为线段BC,AB上的动点,连接MF,FG.(1)当MF+FG的值最小时,在图中作出点F,G的位置;3(1)点F,G的位置如图所示(注:点M'是点M关于BC的对称点,M'G⊥AB).

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,点M是BD上一点,且BM=4,点F,G分别为线段BC,AB上的动点,连接MF,FG.(2)MF+FG的最小值为

.3

4B

点拨

如图，作点F关于AC的对称点F'，连接AF'，EF',延长AF',BC交于点B'，作BD

⊥AB'于点D.当B，E，F'三点共线且与AB'垂直时,BE+EF的长度最小，即等于BD的长构图①作角:如图,以点A为顶点作∠NAD,使sin∠NAD=k(kAP=PE);

②作垂线:过点B作BE⊥AN于点E,交直线CD于点P,此时kAP+BP的值最小,最小值为BE的长.问题3“胡不归”模型已知,如图,点A

为直线CD上一定点,点B为直线CD外一定点,点P

为直线CD上一动点，当kAP+BP(0<k<1)的值最小时,确定点P的位置.

模型分析

5

6

类型3“两点之间,线段最短”求最值PART03(1)最小值——两定点在异侧如图(1),在直线l两侧各有一个定点A,B,在直线l上求作点P,使得PA+PB的值最小.图(1)图(2)作法:如图(2),连接AB,AB与直线l的交点即为点P.问题1“一动两定”型(含“将军饮马”模型)问题1“一动两定”型(含“将军饮马”模型)

1图(1)

(2)最小值——两定点在同侧如图(3),在直线l同侧有两个定点A,B,在直线l上求作点P,使得PA+PB的值最小.图(3)图(4)作法:如图(4),作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,A'B与直线l的交点即为点P.问题1“一动两定”型(含“将军饮马”模型)

1图(2)

(3)最大值——两定点在同侧如图(5),在直线l同侧有两个定点A,B,在直线l上求作点P,使得|PA-PB|的值最大.图(5)图(6)作法:如图(6),连接BA并延长,BA的延长线与直线l的交点即为点P.问题1“一动两定”型(含“将军饮马”模型)

1图(3)

(1,0)(4)最大值——两定点在异侧如图(7),在直线l两侧各有一个定点A,B,在直线l上求作点P,使得|PA-PB|的值最大.图(7)图(8)作法:如图(8),作点B关于直线l的对称点B',连接AB'并延长,AB'的延长线与直线l的交点即为点P.问题1“一动两定”型(含“将军饮马”模型)

1图(4)

(5,0)

2(2,0)

33

4

(1)“两动一定”型如图(1),点P在∠AOB的内部,在OA,OB上分别求作点C,D,使△PCD的周长最小.图(1)图(2)作法:如图(2),分别作点P关于OA,OB的对称点P',P″,连接P'P″,分别交OA,OB于点C,D,此时△PCD的周长最小,最小值为P'P″的长.问题2“两动一定”或“两动两定”型问题2“两动一定”或“两动两定”型

点P,Q在等边三角形ABC内部,且∠ABP=∠CBQ=15°,BP=3,BQ=4.点M,N分别是边AB,BC上的动点.(1)连接PM,PN,MN.①当△PMN的周长最小时,在图(1)中作出点M,N的位置;②△PMN周长的最小值为

.5图(1)

(注:点P1,P2分别是点P关于AB,BC的对称点)(2)“两动两定”型如图(3),定点P,Q在∠AOB的内部,在OA,OB上分别求作点C,D,使得四边形PCDQ的周长最小.图(3)图(4)作法:如图(4),作点P关于OA的对称点P',作点Q关于OB的对称点Q',连接P'Q',分别交OA,OB于点C,D,此时四边形PCDQ的周长最小,最小值为PQ+P'Q'的长.问题2“两动一定”或“两动两定”型点P,Q在等边三角形ABC内部,且∠ABP=∠CBQ=15°,BP=3,BQ=4.点M,N分别是边AB,BC上的动点.(2)连接PM,QN,MN.①当PM+MN+NQ的值最小时,在图(2)中作出点M,N的位置;②PM+MN+NQ的最小值为

.5图(2)5(注:点P'是点P关于AB的对称点,点Q'是点Q关于BC的对称点)

645

如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,AE=4,AF=2,点G,H分别是边BC,CD上的动点,则四边形EFGH周长的最小值为

.7

提示如图,四边形EFGH周长的最小值=E'F'+EF如图(1),定点A,B在两条平行线a,b两侧,在直线a,b上分别找点P,Q,使PQ与直线a,b垂直,且AP+PQ+QB的值最小.图(1)图(2)作法:如图(2),将点A向下平移到点A'处,使AA'=PQ,连接A'B交直线b于点Q,作QP⊥b交直线a于点P,此时AP+PQ+QB的值最小.问题3“建桥选址”模型问题3“建桥选址”模型

8B

9

类型4“隐形圆”的应用PART04问题1“一动两定”型(含“将军饮马”模型)模型分析知识依据:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆(圆的定义),如图(1).图(1)

图(2)模型说明:如图(2),若AB=AC=AD,则点B,C,D在以点A为圆心、AB的长为半径的圆上.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E是折线ABC上的动点,连接DE,将矩形沿DE折叠,点A的对应点为点P[1].在点E运动过程中,(1)点B,P之间的最小距离为

;

(2)点C,P之间的最小距离为

.

1【大招点拨】由[1]得DP=DA=5,为定长,∴点P在以点D为圆心,5为半径的圆上运动,画出隐形圆进而求出BP,CP的最小值.2

问题2“直角对直径”作圆知识依据:90°的圆周角所对的弦是直径(圆周角定理的推论).模型说明:(1)如图(1),在△ABC中,∠C=90°,若AB的长固定,则点C的运动轨迹为以AB为直径的☉O(不含点A,B).(2)如图(2),Rt△ABC和Rt△ABD共斜边AB,则A,B,C,D四点共圆,均在以AB为直径的☉O上.(确定四点共圆后,可根据圆周角定理的推论得到角相等,完成角度的等量转化)图(1)图(2)模型分析如图,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=4,点P是线段BC上一动点,点M为线段AP上一点[1],∠ADM=∠BAP[2].在点P运动的过程中:(1)点M到直线BC的最小距离为

;

(2)连接BM,BM的最小值为

.

2【大招点拨】由[1]得点M为动点,由[2]得∠AMD=90°为定角,∴点M在以线段AD为直径的圆上运动,直径AD的长度为4,画出隐形圆即可求解.1

知识依据:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等(圆周角定理的推论).如图(1),∠C=∠D=∠E.模型说明:在△ABC中,若AB的长度及∠C的大小固定,则点C在确定的圆上,AB为该定圆的弦,当∠C为锐角时,点C在优弧AB上(不含点A,B);当∠C为钝角时,点C在劣弧AB上(不含点A,B),如图(2).其中,我们称AB为“定弦”,∠C为“定角”.图(1)图(2)问题3“定弦对定角”作圆模型分析如图,在边长为6的等边三角形ABC中[1],点E,F分别是边AC,BC上的动点[2],且AE=CF[3],连接BE,AF交于点P[4],连接CP.(1)∠APB=

°;

(2)CP的最小值为

.

3【大招点拨】由[1][3]证得△ACF≌△BAE,可得∠APB的度数.由[2][4]得点P为动点,∴点P是在以线段AB为弦,且所对圆心角为120°的圆上运动(利用“定弦对定角”),画出隐形圆进而求出线段CP的最小值.120

类型5“主从联动”求轨迹与最值PART05

“主从联动模型”也叫“瓜豆模型”,出自成语“种瓜得瓜,种豆得豆”.这类动点问题中,存在两个相关联的动点,主动运动的点称为主动点,因主动点运动而“被动”运动的点称为从动点.问题1点在直线上运动模型特点:①点A是直线l外一定点,点P是直线l上的主动点,点Q是从动点(点P运动到点P'处停止,线段PP'为主动点的运动轨迹,QQ'为从动点的运动轨迹).②AQ∶AP=k(k为定值).③∠PAQ=α(α为定角).此类问题有两种类型,构图如下:结论:①点Q的运动轨迹是线段QQ';②∠Q'MP'=α;③△AQQ'∽△APP'(当k=1时,△AQQ'≌△APP');④QQ'=kPP'.位似型(α=0°)旋转型(α≠0°,延长Q'Q,交PP'于点M)模型分析如图,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点[1],连接EF,将EF绕点E顺时针旋转45°到EG的位置[2],连接FG和CG,则CG的最小值为

.1

1【大招点拨】①找主动点轨迹:由[1]得主动点为点F,且在AB上运动.②找从动点与主动点间的关系:由[2]得从动点为点G,定角为45°.③找主动点的起点和终点:将线段BE,AE分别绕点E顺时针旋转45°得到线段EG',EG″.④确定从动点轨迹:连接G'G″,则点G在线段G'G″上运动.当CG⊥G'G″时,CG