2024-2025学年上学期上海高二数学期末典型卷1

第1页（共1页）2024-2025学年上学期上海高二数学期末典型卷1一．填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）点M（4，﹣3，5）到原点的距离d＝，到z轴的距离d＝．2．（4分）（2024春•河东区校级月考）身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有种站法．3．（4分）（2021秋•大兴区期末）若当且仅当n＝8时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则数列{an}的通项公式可以是．（写出满足题意的一个通项公式即可）4．（4分）（2021春•深圳期末）甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为．5．（4分）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是.（填序号）6．（4分）（2011•滨湖区模拟）某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了n位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则n＝．7．（5分）（2022秋•宝山区校级期末）如果定义a1•a2•⋯•an，那么．8．（5分）（2021秋•闵行区校级月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则B1到平面BC1A1的距离为．9．（5分）（2023秋•天心区校级月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，若，且，则数列{bn}的前2024项和为．10．（5分）把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P（X＜2）＝．11．（5分）（2023•彭山区校级开学）已知空间一球，SC为其直径且|SC|＝4．A，B为球上两点，满足，且∠ASC＝∠BSC＝30°，则四面体S﹣ABC的体积为．12．（5分）（2024春•清远期中）一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m（m＞1）个车站，客运车票增加了58种，则m+n＝．二．选择题（共4小题，满分18分）13．（4分）（2020秋•景德镇期末）m，n为空间中两条不重合直线，α为空间中一平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥α B．若m⊥α，m∥n，则n⊥α C．若m∥α，n⊂α，则m∥n D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α14．（4分）有7位学生2名老师春游，其中小学生2名、初中生3名、高中生2名．现将他们排成一列，要求2名小学生相邻，排头和排尾必须是高中生或教师，且高中生和老师这四人中任意两人都不相邻，则不同的排法种数有（）A．144种 B．288种 C．1024种 D．3456种15．（5分）（2023秋•南关区校级期末）在数列{an}中，an＞0，a1＝1，，则a113＝（）A． B．15 C． D．1016．（5分）（2023•宜川县校级一模）在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC﹣A1B1C1展开，得到的平面图如图所示．其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1上的点，则在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，下列结论错误的是（）A．AM与A1C1是异面直线 B．AC⊥A1M C．平面AB1C将三棱柱截成一个五面体和一个四面体 D．A1M+MC的最小值是2三．解答题（共5小题，满分78分）17．（15分）已知m，n是正整数，f（x）＝（1+x）m+（1+x）n的展开式中x的系数为7．（1）试求f（x）的展开式中的x2的系数的最小值；（2）对于使f（x）的展开式的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；（3）利用（2）中m与n的值，求f（0.003）的近似值．（精确到0.01）18．（15分）（2020秋•金安区校级期末）在第29届“希望杯”全国数学邀请赛培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩（单位：分）如茎叶图所示．（1）若从甲、乙两名学生中选择一人参加第29届“希望杯”全国数学邀请赛，你会选择哪一位？说明理由；（2）从甲的6次成绩中随机抽取2次，试求抽到119分的概率．19．（15分）（2024春•长沙期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥平面PCE；（2）求证：平面PAB⊥平面PBD；（3）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．20．（15分）（2020秋•衡水月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn，数列{bn}的前n项和为Tn．不等式（﹣1）nλ＜Tn对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．21．（18分）（2024•耒阳市校级开学）已知函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1均为一次函数，m为常数．（1）如图，将直线AO绕点A（﹣1，0）逆时针旋转45°得到直线l，直线l交y轴于点B．若直线l恰好是y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值．（2）若存在实数b，使得成立，求函数y1＝x+2m﹣1和函数y2＝（2m+1）x+1图象之间的距离．（3）当m＞1时，函数y1＝x+2m﹣1图像分别交x轴，y轴于C，E两点，y2＝（2m+1）x+1图象交x轴于D点，将函数y＝y1•y2的图像最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上．设y＝y1•y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究方法，写出探究过程，结果的取值范围的两端的数值差不超过0.01．）

2024-2025学年上学期上海高二数学期末典型卷1参考答案与试题解析一．填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）点M（4，﹣3，5）到原点的距离d＝，到z轴的距离d＝5．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用空间两点间的距离公式，求出点M（4，﹣3，5）到原点的距离d，写出点M（4，﹣3，5）到z轴的距离d，即可．【解答】解：由空间两点的距离公式可得：点M（4，﹣3，5）到原点的距离d＝到z轴的距离d，点M（4，﹣3，5）到z轴的距离d5故答案为：；5【点评】本题是基础题，考查空间两点的距离公式的求法，考查计算能力．2．（4分）（2024春•河东区校级月考）身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有48种站法．【考点】简单排列问题．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】48．【分析】利用捆绑法先对A、C、D三位同学进行排列，再对其余同学进行全排列可得结果．【解答】解：根据题意先将A、C、D三位同学看成一个整体，A只能在C与D的中间，共有种排法，再将其他三位同学与A、C、D三位同学组成的整体进行全排列，共有种排法，因此共有种．故答案为：48．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了捆绑法，属中档题．3．（4分）（2021秋•大兴区期末）若当且仅当n＝8时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则数列{an}的通项公式可以是an＝17﹣2n．（写出满足题意的一个通项公式即可）【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】an＝17﹣2n．【分析】由已知条件可得，a8＞0，a9＜0，即可写出满足题意的通项公式．【解答】解：∵当且仅当n＝8时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，∴a8＞0，a9＜0，故an＝17﹣2n满足题意．故答案为：an＝17﹣2n．【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．4．（4分）（2021春•深圳期末）甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为0.994．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.994．【分析】根据题意，求出三人都没有中靶的概率P′，由对立事件的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，则三人都没有中靶的概率P′＝（1﹣0.8）（1﹣0.9）（1﹣0.7）＝0.006，则三人中至少有一人中靶的概率P＝1﹣P′＝0.994；故答案为：0.994．【点评】本题考查互斥事件的概率的计算，涉及对立事件的性质，属于基础题．5．（4分）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是①⑤.（填序号）【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】①⑤．【分析】根据题意，分截面过圆锥的轴和截面平行于圆锥的轴两种情况讨论，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：当该截面过圆锥的轴时，所截得的图形为图①；当该截面平行于圆锥的轴时，所截得的图形边缘为弧形，为图⑤．故答案为：①⑤．【点评】本题考查旋转体的结构特征，涉及圆柱、圆锥的结构特征，属于基础题．6．（4分）（2011•滨湖区模拟）某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了n位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则n＝100．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】计算题；图表型．【答案】见试题解答内容【分析】利用等差数列的定义及前n项和，频率分布直方图中所有的频率和为1，求出第一小组的频率，利用频率等于频数除以样本容量n．【解答】解：因为从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，设第一小组的频率为a，则第4个、第2个、第3个小组的频率分别为a+0.1，a+0.2，a+0.3，又因为所有的频率和为1，所以a+a+0.1+a+0.2+a+0.3＝1，解得a＝0.1，又第一小组的频数是10，所有n＝10÷0.1＝100．故答案为100．【点评】本题考查等差数列的定义，考查频率分布直方图中所有的频率和为1，频率，属于基础题．7．（5分）（2022秋•宝山区校级期末）如果定义a1•a2•⋯•an，那么．【考点】数列的极限；极限及其运算．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】【分析】通分后展开平方差公式整理，再由数列极限得答案．【解答】解：∵a1•a2•⋯•an，∴．∴．故答案为：．【点评】本题考查数列极限，化简是关键，是中档题．8．（5分）（2021秋•闵行区校级月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则B1到平面BC1A1的距离为a．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】转化思想；等体积法；立体几何；直观想象；运算求解．【答案】a【分析】用等体积法求解即可．【解答】解：设B1到平面BC1A1的距离为h，因为，所以，整理得ah，所以ha，故答案为：a．【点评】本题考查了正方体结构特性，考查了点到平面的距离问题，属于基础题．9．（5分）（2023秋•天心区校级月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，若，且，则数列{bn}的前2024项和为．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】．【分析】首先利用可得an＝2n，则，利用列项相消法即可得解．【解答】解：由，可得当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n，当n＝1时也满足上式，所以an＝2n，所以，所以数列{bn}的前2024项和为．故答案为：．【点评】本题考查数列的项与和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．10．（5分）把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P（X＜2）＝．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】分类讨论；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】．【分析】由题意可得：X～B（3，）．而P（X＜2）＝P（X＝0）+P（X＝1），代入即可得出．【解答】解：由题意可得：X～B（3，）．P（X＜2）＝P（X＝0）+P（X＝1）．故答案为：．【点评】本题考查了二项分布列的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）（2023•彭山区校级开学）已知空间一球，SC为其直径且|SC|＝4．A，B为球上两点，满足，且∠ASC＝∠BSC＝30°，则四面体S﹣ABC的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】．【分析】设AB的中点为M，可证AB⊥平面SMC，由锥体的体积公式求解即可．【解答】解：由于SC为球的直径，于是∠SAC＝∠SBC＝90°，而∠ASC＝∠BSC＝30°，SC＝SC，于是△SAC与△SBC全等，进而，设AB的中点为M，故SM⊥AB，CM⊥AB，而SM∩CM＝M，SM，CM⊂平面SMC，故AB⊥平面SMC，而，，故，故，所以S△SCMCM•SM•sin∠CMS3，故3．故答案为：．【点评】本题主要考查棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．12．（5分）（2024春•清远期中）一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m（m＞1）个车站，客运车票增加了58种，则m+n＝16．【考点】排列组合的综合应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】16．【分析】根据题意，由排列数公式可得58，即（n+m）（n+m﹣1）﹣n（n﹣1）＝58，展开分析可得答案．【解答】解：根据题意，原有车站n个，则原有客运车票种，新增加了m（m＞1）个车站后，有（n+m）个车站，现有客运车票种，则58，即（n+m）（n+m﹣1）﹣n（n﹣1）＝58，变形可得：2nm+m（m﹣1）＝m（2n+m﹣1）＝58＝2×29，又由m＞1，则有m＜2n+m﹣1，必有m＝2，2n+m﹣1＝29，得n＝14，故m+n＝16．故答案为：16．【点评】本题考查排列数公式的应用，根据条件利用排列公式建立方程进行求解是解决本题的关键，是中档题．二．选择题（共4小题，满分18分）13．（4分）（2020秋•景德镇期末）m，n为空间中两条不重合直线，α为空间中一平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥α B．若m⊥α，m∥n，则n⊥α C．若m∥α，n⊂α，则m∥n D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；直观想象．【答案】B【分析】由直线与平面的位置关系判断A；由直线与平面垂直的性质判断B与D；直线与平面平行的定义及性质判断C．【解答】解：若m∥n，n⊂α，则m⊂α或m∥α，故A错误；若m⊥α，则m垂直α内的两条相交直线a与b，又m∥n，∴n⊥a，n⊥b，则n⊥α，故B正确；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故C错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．14．（4分）有7位学生2名老师春游，其中小学生2名、初中生3名、高中生2名．现将他们排成一列，要求2名小学生相邻，排头和排尾必须是高中生或教师，且高中生和老师这四人中任意两人都不相邻，则不同的排法种数有（）A．144种 B．288种 C．1024种 D．3456种【考点】部分元素不相邻的排列问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】D【分析】根据题意，假设8个位置依次为1、2、3、4、5、6、7、8；分2步分析“2名高中生和2名老师”和“2名小学生和3名初中生”的排法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，假设8个位置依次为1、2、3、4、5、6、7、8；分2步进行分析：①2名高中生和2名老师这四人只能占1、3、5、8，1、3、6、8，1、4、6、8，这4个位置，共有3种情况，则2名高中生和2名老师372种排法，②将2名小学生看成一个整体，占其中一个位置，有2种不同顺序，与3名初中生安排在剩下的4个位置，有248种排法；则有72×48＝3456种不同的排法；故选：D．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．15．（5分）（2023秋•南关区校级期末）在数列{an}中，an＞0，a1＝1，，则a113＝（）A． B．15 C． D．10【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】B【分析】依题意对化简，采用累乘法得到，从而求得结论．【解答】解：因为数列{an}中，an＞0，a1＝1，，所以，即，得．所以．因为an＞0，所以a113＝15．故选：B．【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．16．（5分）（2023•宜川县校级一模）在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC﹣A1B1C1展开，得到的平面图如图所示．其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1上的点，则在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，下列结论错误的是（）A．AM与A1C1是异面直线 B．AC⊥A1M C．平面AB1C将三棱柱截成一个五面体和一个四面体 D．A1M+MC的最小值是2【考点】点、线、面间的距离计算；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征；异面直线的判定．【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】D【分析】由展开图还原立体图，易判断A项正确；由线面垂直可证B项正确；由切割图易判断C项正确；将侧面图展开，可得当A1，M，C共线时，A1M+MC有最小值，由勾股定理可判断D项是否正确．【解答】解：由题设，可得直三棱柱，如图．由直三棱柱的结构特征知AM与A1C1是异面直线，A项正确；因为AA1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，所以AC⊥平面AA1B1B，又A1M⊂平面AA1B1B，故AC⊥A1M，B项正确；由图知，平面AB1C将三棱柱截成四棱锥B1﹣ACC1A1和三棱锥B1﹣ABC，一个五面体和一个四面体，C项正确；将平面AA1B1B和平面CC1B1B展开，展开为一个平面，如下图，当A1，M，C共线时，A1M+MC的最小值为，D项错误．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分78分）17．（15分）已知m，n是正整数，f（x）＝（1+x）m+（1+x）n的展开式中x的系数为7．（1）试求f（x）的展开式中的x2的系数的最小值；（2）对于使f（x）的展开式的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；（3）利用（2）中m与n的值，求f（0.003）的近似值．（精确到0.01）【考点】二项式定理．【专题】计算题；整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】（1）9；（2）5；（3）2.02．【分析】（1）由x的系数为7得的系数为消元讨论最小值即可求；（2）当m＝3或m＝4时，x3的系数代入公式即可求解；（3）f（0.003）＝（1+0.003）4+（1+0.003）3，考虑到精度，故各取多项式展开式的前两项即可．【解答】解：（1）根据题意得，即m+n＝7，①f（x）中的x2的系数为，将①变形为n＝7﹣m代入上式得x2的系数为，故当m＝3或m＝4时，x2的系数有最小值为9；（2）当m＝3，n＝4时，x3的系数为；当m＝4，n＝3时，x3的系数为；即此时x3的系数为5；（3）．【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题．18．（15分）（2020秋•金安区校级期末）在第29届“希望杯”全国数学邀请赛培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩（单位：分）如茎叶图所示．（1）若从甲、乙两名学生中选择一人参加第29届“希望杯”全国数学邀请赛，你会选择哪一位？说明理由；（2）从甲的6次成绩中随机抽取2次，试求抽到119分的概率．【考点】茎叶图．【专题】应用题；对应思想；定义法；概率与统计；运算求解；数据分析．【答案】（1）选择乙同学、理由是，，即甲、乙的平均成绩相等，但乙的方差小，波动性小，乙发挥得更稳定，故选择乙同学．（2）抽到119分的概率．【分析】（1）计算甲、乙的平均成绩和方差，再比较即可得出结论．（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）选择乙同学、理由如下：，，，，所以，，说明甲、乙的平均成绩相等，但乙的方差小，波动性小，乙发挥得更稳定，故选择乙同学．（2）从甲的6次成绩中随机抽取2次，共有15个基本事件，分别是：（99，107），（99，108），（99，115），（99，119），（99，124），（107，108），（107，115），（107，119），（107，124），（108，113），（108，119），（108，124），（115，119），（115，124），（119，124）；其中抽到119分的基本事件有5个，所以抽到119分的概率．【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．19．（15分）（2024春•长沙期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥平面PCE；（2）求证：平面PAB⊥平面PBD；（3）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行；直线与平面所成的角．【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑思维；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接CE，先证四边形ABCE是平行四边形，可得AB∥CE，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）先利用勾股定理证明AB⊥BD，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥BD，再由线面、面面垂直的判定定理，即可得证；（3）由AD⊥CD，PD⊥CD，根据二面角的定义知∠ADP＝45°，由平面PAB⊥平面PBD，知∠APB即为所求，再由三角函数的知识，求解即可．【解答】（1）证明：连接CE，因为AD∥BC，，且E是AD的中点，所以AE∥BC，AE＝BC，所以四边形ABCE是平行四边形，所以AB∥CE，又AB⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，所以AB∥平面PCE．（2）证明：在直角梯形ABCD中，，所以AB，BD，所以AB2+BD2＝AD2，即AB⊥BD，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又AB∩PA＝A，AB、PA⊂平面PAB，所以BD⊥平面PAB，又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD．（3）解：因为PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，所以由三垂线定理知，PD⊥CD，所以∠ADP就是二面角P﹣CD﹣A的平面角，即∠ADP＝45°，所以PA＝AD＝2，所以PB，由（2）知，平面PAB⊥平面PBD，所以直线PA与平面PBD所成角即为∠APB，在Rt△PAB中，sin∠APB，故直线PA与平面PBD所成角的正弦值为．【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线与面平行或垂直的判定定理、性质定理，线面角、二面角的定义与找法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．（15分）（2020秋•衡水月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn，数列{bn}的前n项和为Tn．不等式（﹣1）nλ＜Tn对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；函数思想；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）（﹣2，3）．【分析】（1）利用递推关系式，由an＝Sn﹣Sn﹣1即可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和为Tn，进一步利用函数的单调性和恒成立问题求出参数的范围．【解答】解：（1）数列{an}的前n项和Sn＝n2，①当n≥2时，Sn﹣1＝（n﹣1）2，②①﹣②得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝1，符合上式，故an＝2n﹣1．（2）bn，所以Tn，③Tn，④③﹣④得Tn，所以Tn＝4．由于不等式（﹣1）nλ＜Tn对一切n∈N*恒成立，所以不等式（﹣1）nλ＜4对一切n∈N*恒成立．由于f（n）＝4，n∈N+为递增函数．若n为偶数时，λ＜f（2）＝3，所以λ＜3，当n为奇数时，﹣λ＜f（1）＝2，所以λ＞﹣2，所以﹣2＜λ＜3，即实数λ的取值范围是（﹣2，3）．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，不等式恒成立求参数问题，主要考查运算能力和转化能力，属于中档题．21．（18分）（2024•耒阳市校级开学）已知函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1均为一次函数，m为常数．（1）如图，将直线AO绕点A（﹣1，0）逆时针旋转45°得到直线l，直线l交y轴于点B．若直线l恰好是y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值．（2）若存在实数b，使得成立，求函数y1＝x+2m﹣1和函数y2＝（2m+1）x+1图象之间的距离．（3）当m＞1时，函数y1＝x+2m﹣1图像分别交x轴，y轴于C，E两点，y2＝（2m+1）x+1图象交x轴于D点，将函数y＝y1•y2的图像最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上．设y＝y1•y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究方法，写出探究过程，结果的取值范围的两端的数值差不超过0.01．）【考点】类比推理．【专题】转化思想；综合法；推理和证明；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）点B的坐标为（0，1），m的可能的值为0，1．（2）．（3）（，）．【分析】（1）由直线l的倾斜角即可得直线的斜率，再利用点斜式即可得到直线l的方程，最后分情况解答即可．（2）由|m|≥0得（b﹣1）0，由1﹣b≥0，b﹣1≥0，即可得b＝1，进而可得两直线的方程，最后利用两平行直线的距离公式即可求解．（3）由y＝y1y2可得最低点F的坐标，F向上平移个单位后刚好落在一次函数v1＝x+2m﹣1图象上，即可解得m＝2，进而可得y1＝x+3，y2＝5x+1，y＝5x2+16x+3，最后探究面积S的一个近似取值范围．【解答】解：（1）如图①，∵直线l是由直线AO绕点A（﹣1，0）逆时针旋转45°得到，∴直线l的倾斜角为45°，∴kl＝tan45°＝1，∴直线l的方程为y＝x+1，令x＝0，得y＝1，故点B的坐标为（0，1），若直线l为y1＝x+2m﹣1的图象，则2m﹣1＝1，解得m＝1，若直线l为y2＝（2m+1）x+1的图象，则2m﹣1＝1，解得m＝1，若直线l为y2＝（2m+1）x+1的图象，则2m+1＝1，解得m＝0，∴m的可能的值为0，1．（2）∵存在实数b，使得|m|﹣（b﹣1）0，∴存在实数b，使得|m|＝（b﹣1），∵|m|≥0，∴（b﹣1）0，∵1﹣b≥0，即b﹣1≤0，∴0，∴b﹣1≥0，∴b﹣1＝0，∴m＝0，∴y1＝x﹣1，y2＝x+1，两直线之间的距离为d．（3）由题意，y＝y1y2＝（x+2m﹣1）•[（2m+1）x+1]＝（2m+1）x2+4m2x+2m﹣1＝（2m+1）（x）2，∵m＞1，∴2m+1＞0，∴函数y＝y1y2的图象开口向上，∴函数y＝y1y2的图象的最低点为F（，），∵F向上平移个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上，∴2m﹣1，化简得2m4﹣m2﹣28＝0，解得m＝2（舍负值），∴y1＝x+3，y2＝5x+1，y＝5x2+16x+3，对于y1＝x+3，令x＝0，得y1＝3，故E（0，3），令y1＝0，得x＝﹣3，故C（﹣3，0），对于y2＝5x+1，令y2＝0，得x，故D（，0），∵y＝5x2+16x+3＝（5x+1）（x+3），∴函数y＝5x2+16x+3过C，D点，如图②所示，下面探究阴影部分图形面积S的一个近似取值范围，（i）观察大于S的情况，容易发现S＜S△ODE，∵D（，0），E（0，3），∴，∴S；（ii）观察小于S的情况：位置一：当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，如图③，设直线MN与x轴、y轴分别交于点M，N，由图易知，直线DE的解析式为y＝15x+b1，令5x2+16x+3＝15x+b1，得5x2+x+3﹣b1，由Δ＝1﹣4×5×（3﹣b1）＝0，解得b1，∴直线MN的解析式为y＝15x，∴M（，0），N（0，），∴S△OMN，∵0.0099＜0.01，符合题意，∴S；位置二：当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R，如图④，设直线DR的解析式为y，令5x2+16x+3＝k1（x），解得5x2+（16﹣k1）x+30，由，得28k1+196＝0，解得k1＝14，∴直线DR的解析式为y＝14x，∴R（0，），∴，∵，不合题意，舍去，位置三：当直线ET与抛物线有唯一交点时，直线ET与x轴交于点T，如图⑤，设直线ET的解析式为y＝k2x+3，令5x2+16x+3＝k2x+3，得5x2+（16﹣k2）x＝0，由Δ＝（16﹣k2）2﹣4×5×0＝0，解得k2＝16，∴直线ET的解析式为y＝16x+3，∴T（，0），∴S△OET，∵0.01875＞0.01，不合题意，舍去．综上，S的取值范围是（，）．【点评】本题考查直线l的倾斜角、直线的斜率、点斜式方程、两平行直线的距离公式、一次函数、类比推理等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．3．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Snn2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn，∴Tn，即数列{bn}的前n项和Tn．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．4．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．5．数列的极限【知识点的认识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个常数a（即|an﹣a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限，记作an＝a．（注：a不一定是{an}中的项）2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做SSn．（2）【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）（3）求数列极限最后往往转化为（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以nm或an．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．⑤∞﹣∞，，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．【命题方向】典例1：已知数列{an}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有，其中Sn表示数列{an}的前n项和．则（）A．0B．1C．D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2时，4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝（an+1）2﹣（an﹣1+1）2，∴2（an+an﹣1），又{an}各项均为正数，∴an﹣an﹣1＝2．数列{an}是等差数列，∴an＝2n﹣1．∴．故选：C．典例2：已知点Pn（an，bn）在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1（n∈N*）．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设cn，求的值；（3）若dn＝2dn﹣1+an﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{dn+n}为等比数列，并求{dn}的通项公式．解：（1）∵点Pn（an，bn）在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，∴bn＝2an+1，a1＝0，∵等差数列{an}的公差为1（n∈N*），∴an＝0+（n﹣1）＝n﹣1．bn＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得an﹣a1＝n﹣1，bn﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1Pn|（n≥2）．∴cn，∴c2+c3+…+cn，∴；（3）证明：n≥2，dn＝2dn﹣1+an﹣1，＝2dn﹣1+n﹣2，∴dn+n＝2（dn﹣1+n﹣1），∴数列{dn+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为2，∴，∴．6．数列与不等式的综合【知识点的认识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明．常用的放缩方法有：，，，[]（n≥2），（）（n≥2），，2（）2（）．．【解题方法点拨】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：|a|；n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性．（7）常见模型：①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．【命题方向】题型一：等比模型典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足n+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，当n≥2时，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不适合上式．综上得；（Ⅱ）证明：当n≥2时，．∴．∴当n≥2时，．题型二：裂项相消模型典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an＝anan﹣1，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列又n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴（1）放缩的方向要一致．（2）放与缩要适度．（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．7．极限及其运算【知识点的认识】1．数列极限（1）数列极限的表示方法：（2）几个常用极限：③对于任意实常数，当|a|＜1时，an＝0，当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在当|a|＞1时，an＝不存在．（3）数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．（4）数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S（|q|＜1）．（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限．a2．函数极限；（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作a或当x→x0时，f（x）→a．注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）如P（x）在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．（2）函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么．注：①各个函数的极限都应存在．②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．（3）几个常用极限：3．函数的连续性：（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点x＝x0处都连续．（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．f（x0）．（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但f（x0）．8．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．9．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥Sh．10．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．1．圆柱①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．②认识圆柱③圆柱的特征及性质圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．④圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：2．圆锥①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．②认识圆锥③圆锥的特征及性质与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2④圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：3．圆台①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．②认识圆台③圆台的特征及性质平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．④圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：．11．异面直线的判定【知识点的认识】（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理．12．空间中直线与直线之间的位置关系【知识点的认识】空间两条直线的位置关系：位置关系共面情况公共点个数图示相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内无异面直线不同时在任何一个平面内无13．空间中直线与平面之间的位置关系【知识点的认识】空间中直线与平面之间的位置关系：位置关系公共点个数符号表示图示直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线和平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线和平面平行无a∥α14．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．15．空间两点间的距离公式【知识点的认识】空间两点间的距离公式：已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），则两点的距离为，特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为．16．直线与平面所成的角【知识点的认识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|．17．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．（2）当，π时，θ＝π，，cosθ＝﹣cos，．18．点、线、面间的距离计算【知识点的认识】19．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．20．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．2．相互独立事件同时发生的概率公式：将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：P（A•B）＝P（A）•P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）3．区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．21．频率分布直方图的应用【知识点的认识】﹣应用：用于数据的分布可视化，帮助分析数据集中趋势、离散程度等．【解题方法点拨】﹣分析：通过直方图观察数据的分布特征，识别数据的集中区域和离散程度．【命题方向】﹣重点考察如何解读频率分布直方图及其对数据分析的贡献．22．茎叶图【知识点的认识】1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50得分表示成茎叶图如下：2．茎叶图的优缺点：优点：（1）所有信息都可以从茎叶图上得到（2）茎叶图便于记录和表示缺点：分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．【解题方法点拨】茎叶图的制作步骤：（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧第1步中，①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．23．简单排列问题【知识点的认识】﹣简单排列问题通常涉及无任何限制条件的排列情况．n个不同元素的全排列总数为．﹣该类问题通常是排列问题的基础，强调对基本排列公式的理解与应用．【解题方法点拨】﹣直接应用排列公式进行计算．对于全排列问题，计算阶乘即可得到排列数．﹣在计算过程中，注意排列数中的阶乘表示法，并理解排列的意义．﹣对于涉及排列的实际问题，可以通过具体化问题，将其转化为排列数计算．【命题方向】﹣基本排列问题的命题常见于简单元素排列的计算，如全排列数的求解、特定位置的排列数计算．﹣可能涉及对排列数公式的直接应用，以及对排列问题的基础性理