2024-2025学年上学期山东高二数学期末典型卷1

第1页（共1页）2024-2025学年上学期山东高二数学期末典型卷1一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春•高坪区校级期中）数列，…的一个通项公式为（）A． B． C． D．2．（5分）（2023秋•东光县月考）已知数列{an}是等比数列，若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则a2024＝（）A．22023﹣1 B．22023 C．22024﹣1 D．220243．（5分）（2019秋•三明期中）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．y＝±2x4．（5分）（2024•江西模拟）已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．5．（5分）（2023秋•赤峰期中）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（4，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（）A． B． C． D．6．（5分）（2022春•南通期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）A．333 B．335 C．337 D．3417．（5分）（2023秋•定边县校级期中）已知数列{an}满足，若an＞an+1，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． D．8．（5分）（2023秋•杭州期末）已知双曲线左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线左支上存在点P使得，则离心率的取值范围为（）A．[6，+∞） B．（1，6] C．[2，+∞） D．[4，+∞）二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2023秋•盐田区校级期末）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2023＜0，S2024＞0，则（）A．使an＞0的n的最小值为2024 B．|a1012|＜|a1013| C．当Sn取最小值时，n＝1012 D．为单调递减的数列（多选）10．（5分）（2023秋•牡丹江校级期中）已知曲线C：1（m∈R），则下列结论正确的是（）A．若m＜0，则C表示双曲线 B．C可能表示一个圆 C．若C是椭圆，则其长轴长为 D．若m＝1，则C中过焦点的最短弦长为（多选）11．（5分）（2023秋•福州期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若方程mx﹣y+5m＝0所表示的直线恒过定点M，点N在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A．椭圆C的离心率为 B．△PF1F2的面积可能为2 C．|PF1|•|PF2|的最大值为4 D．|PN|﹣|PF2|的最小值为（多选）12．（5分）（2023春•景德镇期末）“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2，a3，an；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，bn，下列说法正确的是（）A．数列与数列{an}均是公比为的等比数列 B．从正方形ABCD开始，连续4个正方形的面积之和为 C．b5和a4满足等式 D．设数列{bn}的前n项和为Sn，则三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022秋•三门峡月考）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的和构成一个等比数列，则称该数列为“和等比”数列．已知“和等比数列{an}的前三项分别为a1＝a2＝1，a3＝3，则数列{an}的前11项和S11＝．14．（5分）（2021•凉山州模拟）双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为．15．（5分）（2023秋•崂山区校级月考）若椭圆2kx2+ky2＝1的一个焦点为（0，﹣4），则k的值为．16．（5分）（2020秋•娄星区校级期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＝6S3，an+1＝2an+1，若恒成立，则λ的最小值为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2024春•铜仁市期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝27，，bn＝log3an．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）记数列的前n项和为Tn，若对任意n∈N*都成立，求实数m的取值范围．18．（12分）（2023秋•莱西市期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为e，左、右焦点分别为F1，F2，且直线y＝ex是双曲线y2＝1的一条渐近线．直线x＝x0与椭圆E交于C，D两点，且△CDF1的周长最大值为8．椭圆E的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，直线PQ与x轴相交于点M（m，0），记直线AP的斜率为k1，直线QB的斜率为k2．（1）求．（2）若m＝1，设△AQP和△BPQ的面积分别为S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．19．（12分）（2021秋•牟定县校级期末）已知F1是抛物线C1：y2＝4x的焦点，F2是抛物线C2：y2＝﹣2px（p＞0）的焦点，点M（﹣1，y0）在C2上，且|MF1||．（1）求C2的方程；（2）若O是坐标原点，直线MF1与C1交于A，B两点，求△OAB的面积．20．（12分）（2023秋•高州市期末）治理垃圾是M市改善环境的重要举措．去年M市产生的垃圾量为100万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续6年，每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨，从第7年开始，每年的垃圾排放量为上一年的80%．（1）写出M市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n（n∈N*）的表达式；（2）设Fn为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．21．（12分）（2023秋•龙岩期末）已知函数f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝2，数列{an}满足：．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足，其前n项和为Sn，若对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．22．（12分）（2022秋•驻马店期末）已知圆，，动圆M与圆C1，C2均外切，记圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）直线l过点C2，且与曲线C交于A，B两点，满足，求直线l的方程．

2024-2025学年上学期山东高二数学期末典型卷1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春•高坪区校级期中）数列，…的一个通项公式为（）A． B． C． D．【考点】由数列若干项归纳出通项公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】D【分析】根据题意，归纳数列前4项的变化规律，即可得答案．【解答】解：根据题意，数列，…，有a1，a2，a3，a4，依次类推：an．故选：D．【点评】本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的应用，属于基础题．2．（5分）（2023秋•东光县月考）已知数列{an}是等比数列，若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则a2024＝（）A．22023﹣1 B．22023 C．22024﹣1 D．22024【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】B【分析】根据等比数列的性质，可求出首项和公比，代入求解即可．【解答】解：设{an}公比为q，显然q≠1，由已知得，q2，故a5﹣a3＝16a1﹣4a1＝12，即a1＝1，可得a2024＝1×22023＝22023．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．3．（5分）（2019秋•三明期中）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．y＝±2x【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】利用双曲线的离心率求出a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．【解答】解：双曲线的离心率为，可得，解得a＝2，所以双曲线的渐近线方程为：yx．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）（2024•江西模拟）已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的几何特征．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】设椭圆E的上顶点、右顶点、左焦点分别为A，B，F，依题意可得|AB|＝|BF|，结合b2+c2＝a2即可求得椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆E的上顶点、右顶点、左焦点分别为A，B，F，则A（0，b），B（a，0），F（﹣c，0），且b2+c2＝a2，所以，，|BF|＝a+c，依题意△ABF为等腰三角形，|AB|＝|BF|，所以，化简得b2＝c2+2ac，又b2+c2＝a2，所以2c2+2ac﹣a2＝0，即2e2+2e﹣1＝0，解得，又0＜e＜1，所以，即椭圆的离心率为．故选：B．【点评】本题考查椭圆的离心率的求解，属中档题．5．（5分）（2023秋•赤峰期中）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（4，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（）A． B． C． D．【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】首先利用焦半径公式确定点A的坐标，再利用两点间距离公式求|AB|．【解答】解：由题意可知，F（1，0），B（4，0），由|AF|＝|BF|＝3，设点A（x0，y0），所以，得x0＝2，则，即或，所以．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．6．（5分）（2022春•南通期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）A．333 B．335 C．337 D．341【考点】数列的求和；归纳推理．【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】B【分析】方法一：由“埃拉托塞尼筛法”，找出所有被剔除的数，再求和即可；方法二：先求出2到30的全部整数和，再求出2到30的全部素数和，作差即可．【解答】解：方法一：由“埃拉托塞尼筛法”可知，先从2开始，剔除2的倍数有4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30；再从3开始，剔除3的倍数有9，15，21，27；再从5开始，剔除5的倍数有25，从7和7之后的数开始，已在前面剔除所有7和7之后的数的倍数，所以在此过程中剔除的所有数为4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，30，这些数的和为4+6+8+9+10+12+14+15+16+18+20+21+22+24+25+26+27+28+30＝335．方法二：2到30的全部整数和S1464，2到30的全部素数和S2＝2+3+5+7+11+13+17+19+23+29＝129，所以剔除的所有数的和为464﹣129＝335．故选：B．【点评】本题考查数列的求和，理解“埃拉托塞尼筛法”，素数的概念是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7．（5分）（2023秋•定边县校级期中）已知数列{an}满足，若an＞an+1，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． D．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】D【分析】根据an＞an+1建立不等式，不等式转化为对一切n∈N*恒成立，求出即可．【解答】解：据题设知，k（n+1）2+2（n+1）﹣4＜kn2+2n﹣4对一切n∈N*恒成立，所以2kn+k+2＜0对一切n∈N*恒成立，即对一切n∈N*恒成立．又当n∈N*时，，所以，所以所求实数k的取值范围是．故选：D．【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．8．（5分）（2023秋•杭州期末）已知双曲线左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线左支上存在点P使得，则离心率的取值范围为（）A．[6，+∞） B．（1，6] C．[2，+∞） D．[4，+∞）【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】利用双曲线的性质，列出不等式，即可求解离心率的范围．【解答】解：双曲线左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），双曲线左支上存在点P使得，可得a+c，解得e≥6．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2023秋•盐田区校级期末）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2023＜0，S2024＞0，则（）A．使an＞0的n的最小值为2024 B．|a1012|＜|a1013| C．当Sn取最小值时，n＝1012 D．为单调递减的数列【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】ABC【分析】根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由等差数列前n项和公式可得a1012＜0和a1012+a1013＞0，由此可得B、C正确，进而由Sn和的表达式，分析可得A正确，D错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，若S2023＜0，则有S20232023a1012＜0，变形可得a1012＜0，若S2024＞0，则S2024（a1012+a1013）×1012＞0，变形可a1012+a1013＞0，故a1012＜0，a1013＞0，且|a1013|＞|a1012|，B正确；故当Sn取最小值时，n＝1012，C正确；同时d＝a1013﹣a1012＞0，Sn＝na1dn2+（a1）n，d＞0，且S2023＜0，S2024＞0，结合二次函数的性质可得使an＞0的n的最小值为2024，A正确；同时，n+（a1），数列{}为等差数列，其公差为0，是递增数列，D错误．故选：ABC．【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和，属于基础题．（多选）10．（5分）（2023秋•牡丹江校级期中）已知曲线C：1（m∈R），则下列结论正确的是（）A．若m＜0，则C表示双曲线 B．C可能表示一个圆 C．若C是椭圆，则其长轴长为 D．若m＝1，则C中过焦点的最短弦长为【考点】双曲线的几何特征；曲线与方程；椭圆的几何特征．【专题】转化思想；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】AD【分析】根据双曲线的简单几何性质，圆的方程的特点，椭圆的简单几何性质，即可分别求解．【解答】解：对A选项，∵m2+2＞0，又m＜0，∴C表示双曲线，∴A选项正确；对B选项，令m2+2＝m，∴，∴m无解，∴C不可能表示一个圆，∴B选项错误；对C选项，若C是椭圆，则m＞0，又，∴m2+2＞m＞0，∴椭圆的长轴长为，∴C选项错误；对D选项，若m＝1，则C可化为，∴C中过焦点的最短弦长为通径长，∴D选项正确．故选：AD．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单几何性质，圆的方程的特点，属基础题．（多选）11．（5分）（2023秋•福州期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若方程mx﹣y+5m＝0所表示的直线恒过定点M，点N在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A．椭圆C的离心率为 B．△PF1F2的面积可能为2 C．|PF1|•|PF2|的最大值为4 D．|PN|﹣|PF2|的最小值为【考点】椭圆的几何特征．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】AC【分析】由椭圆方程求出离心率判断A；求出△PF1F2的面积的最大值判断B；由椭圆定义结合基本不等式判断C；利用转化思想求解|PN|﹣|PF2|的最小值判断D．【解答】解：由椭圆C：，可得a＝2，b＝1，c，则e，故A正确；，则△PF1F2的面积不可能为2，故B错误；椭圆的左、右焦点分别为F1（，0），F2（，0），设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a＝4，∴mn，当且仅当m＝n＝2时取等号，因此|PF1|•|PF2|的最大值为4，故C正确；方程mx﹣y+5m＝0所表示的直线恒过定点M（﹣5，0），∴以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆的方程为：（x+5）2+y2＝4，|PN|﹣|PF2|＝|PN|﹣（2a﹣|PF1|）＝|PN|+|PF1|﹣4≥|MF1|﹣2﹣4＝56，当且仅当点P、N、M、F1共线时取等号，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质、圆的方程、基本不等式的应用、三角形的面积计算公式、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，是中档题．（多选）12．（5分）（2023春•景德镇期末）“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2，a3，an；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，bn，下列说法正确的是（）A．数列与数列{an}均是公比为的等比数列 B．从正方形ABCD开始，连续4个正方形的面积之和为 C．b5和a4满足等式 D．设数列{bn}的前n项和为Sn，则【考点】数列的应用；归纳推理．【专题】方程思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．【答案】AC【分析】根据题意，{an}，{bn}都是等比数列，从而可求{an}，{bn}的通项公式，再对选项逐个判断即可得到答案．【解答】解：对于A选项，由题意知，且an＞0，所以，又因为a1＝4，所以数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列，可得，bn，所以，由，得数列与数列{an}均是公比为的等比数列，故A正确；对于B选项，由上，a1＝4，，，，所以，故B错误；对于C选项，，，所以，所以，故C正确；对于D选项，因为，且n∈N*，所以，因为n∈N*时，是单调递增函数，所以，而，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查数列的应用，解题的关键是由题设递推关系求出{an}，{bn}的通项公式，考查了学生推理能力、计算能力，属中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022秋•三门峡月考）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的和构成一个等比数列，则称该数列为“和等比”数列．已知“和等比数列{an}的前三项分别为a1＝a2＝1，a3＝3，则数列{an}的前11项和S11＝1365．【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】1365．【分析】根据给定条件，求出这个等比数列的公比、通项，再利用并项求和法计算作答．【解答】解：根据题意，a1+a2＝2，a2+a3＝4，因此等比数列{an+an+1}的首项是2，公比为2，有，所以．故答案为：1365．【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质和应用，属于基础题．14．（5分）（2021•凉山州模拟）双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为．【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】．【分析】由题可知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，然后求出a＝b，代入离心率，即可得解．【解答】解：双曲线1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，∵两条渐近线互相垂直，∴a＝b，∴离心率e．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率，考查学生的运算能力，属于基础题．15．（5分）（2023秋•崂山区校级月考）若椭圆2kx2+ky2＝1的一个焦点为（0，﹣4），则k的值为．【考点】椭圆的几何特征．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】．【分析】先把椭圆2kx2+ky2＝1的方程化为标准形式，焦点坐标得到c2＝16，利用椭圆的标准方程中a，b，c的关系即得双曲线方程中的k的值．【解答】解：易知k≠0，方程2kx2+ky2＝1变形为，因为焦点在y轴上，所以，解得，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆标准方程，属于基础题．16．（5分）（2020秋•娄星区校级期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＝6S3，an+1＝2an+1，若恒成立，则λ的最小值为2．【考点】裂项相消法．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．【答案】2【分析】直接利用等差数列的定义，裂项相消法，函数的恒成立问题的应用求出结果．【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＝6S3，整理得：，解得a1＝da2n+1＝2an+1，所以a3＝2a1+1，整理得a1＝d＝1，故an＝n整理得，所以，所以2（1）＝2（1）＜2＜λ．所以λ的最小正值为2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：等差数列的定义，裂项相消法，函数的恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2024春•铜仁市期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝27，，bn＝log3an．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）记数列的前n项和为Tn，若对任意n∈N*都成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】（1）an＝32n﹣1，bn＝2n﹣1；（2）{m|m≤1}．【分析】（1）由已知递推关系，结合等比数列的通项公式可求an，进而可求bn；（2）利用裂项求和求出Tn，进而可求出Tn的范围，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．【解答】解：（1）数列{an}中，a2＝27，，当n≥2时，Sn﹣1，故n≥2时，两式相减得，Sn﹣Sn﹣1an，即an+1＝9an，n≥2，因为S13，则a2＝9a1，故数列{an}是以3为首项，以9为公比的等比数列，所以an＝3×9n﹣1＝32n﹣1，bn＝log3an＝2n﹣1；（2）由（1）得，，故Tn＝111，若对任意n∈N*都成立，则，解得m≤1，故m的范围为{m|m≤1}．【点评】本题主要考查了数列递推关系及等比数列的通项公式的应用，还考查了裂项求和，不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．18．（12分）（2023秋•莱西市期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为e，左、右焦点分别为F1，F2，且直线y＝ex是双曲线y2＝1的一条渐近线．直线x＝x0与椭圆E交于C，D两点，且△CDF1的周长最大值为8．椭圆E的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，直线PQ与x轴相交于点M（m，0），记直线AP的斜率为k1，直线QB的斜率为k2．（1）求．（2）若m＝1，设△AQP和△BPQ的面积分别为S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）依题意可求曲线C的方程，设直线PQ的方程，联立方程组后，用韦达定理结合斜率公式求解即可；（2）依题意表示|S1﹣S2|的关系式，结合函数的单调性可求解．【解答】解：（1）设CD与x轴的交点为H，由题意可知CH|≤|CF2|，则|CF1|+|CH|≤|CF1|+|CF2|＝2a，当CD过右焦点F2时，△CDF1的周长取最大值4a＝8，所以a＝2，双曲线y2＝1的渐近线为y，又直线y＝ex是双曲线y2＝1的一条渐近线，∴e，即，所以c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的标准方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x＝ty+m，联立，消去x得（3t2+4）y2+6tmy+3m2﹣12＝0，则Δ＝（6tm）2﹣4（3t2+4）（3m2﹣12）＞0，即3t2+4＞m2，由书达定理得：y1+y2，y1•y2，∴，即﹣2tmy1y2＝（m2﹣4）（y1+y2），由题意k2≠0，所以．（2）若m＝1，则直线PQ的方程为x＝y+1，由韦达定理得：y1+y2，y1•y2，S1|AM||y1﹣y2|，S2|BM||y1﹣y2|，所以|S1﹣S2|||AM|﹣|BM||y1﹣y2|，∵t2≥0，则1，因为函数f（x）＝3x在[1，+∞）上单调递增，故34，所以|S1﹣S2|3，当1，即t＝0时，等号成立，所以|S1﹣S2|的最大值为3．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线和圆锥曲线解决综合问题，是难题．19．（12分）（2021秋•牟定县校级期末）已知F1是抛物线C1：y2＝4x的焦点，F2是抛物线C2：y2＝﹣2px（p＞0）的焦点，点M（﹣1，y0）在C2上，且|MF1||．（1）求C2的方程；（2）若O是坐标原点，直线MF1与C1交于A，B两点，求△OAB的面积．【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）y2＝﹣4x；（2）．【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合点到直线的距离公式，三角形面积公式进行求解即可．【解答】解：（1）易知F1（1，0），．因为，，所以，解得p＝2，则C2的方程为y2＝﹣4x；（2）不妨令y0＞0，即M（﹣1，2），直线MF1的方程为y＝﹣x+1，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，消去y并整理得x2﹣6x+1＝0，由韦达定理得x1+x2＝6，x1x2＝1，所以，又点O到直线MF1的距离，故△OAB的面积S．【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．20．（12分）（2023秋•高州市期末）治理垃圾是M市改善环境的重要举措．去年M市产生的垃圾量为100万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续6年，每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨，从第7年开始，每年的垃圾排放量为上一年的80%．（1）写出M市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n（n∈N*）的表达式；（2）设Fn为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．【考点】数列的应用；根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）an；（2）现有的治理措施是有效的，理由详见解析．【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，依次求出分段数列，即可求解；（2）根据已知条件，先求出Fn，再结合作差法，以及（1）的结论，即可求解．【解答】解：（1）设治理n年后，M市的年垃圾排放量构成数列{an}，当n≤6时，{an}是首项为a1＝100﹣10＝90，公差为﹣10的等差数列，所以an＝a1+（n﹣1）d＝90﹣10（n﹣1）＝100﹣10n，，当n≥7时，数列{an}是以a7为首项，公比为的等比数列，所以；所以治理n年后，M市的年垃圾排放量的表达式为an；（2）设Sn为数列{an}的前n项和，则，由于，由（1）知，1≤n≤6时，an＝100﹣10n，所以{an}为递减数列，n≥7时，，所以{an}为递减数列，且a7＜a6，所以{an}为递减数列，于是an+1﹣a1＜0an+1﹣a2＜0，…，an+1﹣an＜0，因此Fn+1﹣Fn＜0，所以数列{Fn}为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的．【点评】本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题．21．（12分）（2023秋•龙岩期末）已知函数f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝2，数列{an}满足：．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足，其前n项和为Sn，若对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式；数列与函数的综合．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；不等式；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用f（x）+f（1﹣x）＝2及倒序求和即可求解；（2）利用错位相减求得Sn，对一切n∈N*恒成立，则对一切n∈N*恒成立，求出的最大值即可．【解答】解：（1）∵f（x）+f（1﹣x）＝2，，则，∴①+②可得：，∴．（2）∵，∴，，两式相减得，，∴，又对一切n∈N*恒成立，∴对一切n∈N*恒成立，即有对一切n∈N*恒成立，当n＝1时，取得最大值，∴，故实数λ的取值范围是．【点评】本题考查了数列与不等式的综合，属于中档题．22．（12分）（2022秋•驻马店期末）已知圆，，动圆M与圆C1，C2均外切，记圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）直线l过点C2，且与曲线C交于A，B两点，满足，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；（2）不妨设，A（x1，y1），B（x2，y2），由可得y1＝﹣3y2，结合韦达定理运算求解．【解答】解：（1）由题意可知：圆C1的圆心C1（﹣3，0），半径r1＝3，圆C2的圆心C2（﹣3，0），半径r2＝3，由条件可得|MC1|﹣3＝|MC2|﹣1，即|MC1|﹣|MC2|＝2＜|C1C2|，则根据双曲线的定义可知，点M是以C1，C2为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，则a＝1，c＝2，可得b2＝c2﹣a2＝8，所以曲线C的方程为．（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即，由于C2（3，0）且直线AB的斜率不等于0，不妨设，A（x1，y1），B（x2，y2），则，，由可得y1＝﹣3y2，联立方程，消去x得（8m2﹣1）y2+48my+64＝0，则Δ＞0，由韦达定理可得，由，解得，代入可得，解得，即，因此直线，即．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．

考点卡片1．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．yx2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%x，A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x，且当t＝0时，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）所以，y（3分）＝16x，（t≥50）；…（2分）（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．2．由数列若干项归纳出通项公式【知识点的认识】1．数列及其有关概念，（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项．2．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，..简记作{an}，此处的n是序号．3．数列的分类：按项的个数分为两类，有穷数列与无穷数列；按项的变化趋势分类，可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；4．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，则称这个公式叫做这个数列的通项公式．几个认识：（1）由数列的通项公式可以求同数列的项，这与已知函数的解析式，求某一自变量的函数值是一致的．（2）有些数列没有通项公式，如的近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，…时，所构成的数列，1，1.4，1.41，1.414，…，此数列就没有通项公式．5．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（前几项）（n≥2，n∈N*）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【解题方法点拨】﹣观察规律：通过观察数列前几项的规律，推导出通项公式．﹣设未知数：假设通项公式an＝f（n），代入前几项求解参数．﹣验证公式：验证推导出的通项公式是否适用于数列的每一项．【命题方向】常见题型包括通过数列的前几项推导出通项公式，结合具体数列进行分析．数列﹣2，1，，，，…的一个通项公式为（）A．an＝（﹣1）n+1B．an＝（﹣1）nC．an＝（﹣1）nD．an＝（﹣1）n+1解：根据题意，数列﹣2，1，，，，…的前5项可以写成（﹣1）1、（﹣1）2、（﹣1）3、（﹣1）4、（﹣1）5，则数列的一个通项公式可以为an＝（﹣1）n．故选：C．3．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．4．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．5．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．6．等比数列的前n项和【知识点的认识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn．2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．7．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．8．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Snn2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn，∴Tn，即数列{bn}的前n项和Tn．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．9．裂项相消法【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：（1）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．【解题方法点拨】裂项相消法是一种用于求解数列和的技巧，通过将数列项裂解成两个或多个部分进行相消来简化计算．【命题方向】常见题型包括利用裂项相消法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．求和：．解：因为，所以原式．故答案为：1．10．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．11．数列与函数的综合【知识点的认识】数列的函数特性：等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．【解题方法点拨】1．在解决有关数列的具体应用问题时：（1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；（2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；（3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；（4）最后再回到实际问题中去，从而得到答案．2．在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．（3）求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通．3．在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论．【命题方向】典例：已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首项为4，公差为2的等差数列．（I）设a为常数，求证：{an}成等比数列；（II）设bn＝anf（an），数列{bn}前n项和是Sn，当时，求Sn．分析：（I）先利用条件求出f（an）的表达式，进而求出{an}的通项公式，再用定义来证{an}是等比数列即可；（II）先求出数列{bn}的通项公式，再对数列{bn}利用错位相减法求和即可．解答：证明：（I）f（an）＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，即logaan＝2n+2，可得an＝a2n+2．∴为定值．∴{an}为等比数列．（5分）（II）解：bn＝anf（an）＝a2n+2logaa2n+2＝（2n+2）a2n+2．（7分）当时，．（8分）Sn＝2×23+3×24+4×25++（n+1）•2n+2①2Sn＝2×24+3×25+4×26++n•2n+2+（n+1）•2n+3②①﹣②得﹣Sn＝2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）•2n+3（12分）（n+1）•2n+3＝16+2n+3﹣24﹣n•2n+3﹣2n+3．∴Sn＝n•2n+3．（14分）点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．12．数列与不等式的综合【知识点的认识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明．常用的放缩方法有：，，，[]（n≥2），（）（n≥2），，2（）2（）．．【解题方法点拨】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：|a|；n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性．（7）常见模型：①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．【命题方向】题型一：等比模型典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足n+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，当n≥2时，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不适合上式．综上得；（Ⅱ）证明：当n≥2时，．∴．∴当n≥2时，．题型二：裂项相消模型典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an＝anan﹣1，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列又n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴（1）放缩的方向要一致．（2）放与缩要适度．（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．13．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．14．抛物线的焦点与准线【知识点的认识】抛物线的简单性质：15．直线与抛物线的综合【知识点的认识】直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与抛物线相交⇔Δ＞0；直线与抛物线相切⇔Δ＝0；直线与抛物线相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组的解的个数．（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．【命题方向】掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往往是高考考试的热点．16．双曲线的几何特征【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±0±017．曲线与方程【知识点的认识】在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．【解题方法点拨】例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（）A：直线B：圆C：椭圆D：双曲线一支．解：对定点B分类讨论：①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．③若定点B与圆心A重合，如图3所示：设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆．④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．故选A．这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题．【命题方向】这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．18．直线与圆锥曲线的综合【知识点的认识】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．【解题方法点拨】例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．（1）求圆锥曲线C的方程；（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），∴c＝1，∵，∴a＝2，∴，所求方程为．（2）当直线