2024-2025学年上学期成都高二数学期末典型卷1

第1页（共1页）2024-2025学年上学期成都高二数学期末典型卷1一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023秋•辽宁期末）直线l：ax+（a﹣1）y+1＝0，若直线l的一个法向量为，则a＝（）A．2 B．﹣1 C． D．2．（5分）下列命题中，真命题的个数是（）①“x＜2”是“x＜1”的充分不必要条件；②““是“a＞b”的充要条件；③“四边形的四条边相等”是“四边形为正方形”的必要不充分条件；④“x＝y”是“”的既不充分也不必要条件．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）（2021春•眉山期末）某班有学生48人，现将所有学生按1，2，3，…，48随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，抽得编号为6，x，22，30，y，46，则x+y＝（）A．52 B．50 C．62 D．544．（5分）直线2x﹣y﹣1＝0与圆x2+y2﹣2y＝0的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判定5．（5分）（2022秋•华安县校级期中）若正项数列{an}满足a1＝1，，则（）A．4n﹣1 B． C．2n﹣1 D．6．（5分）（2022秋•金水区校级月考）已知动圆C过定点P（0，1），且被x轴截得的弦长为2，则圆心C的轨迹方程为（）A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝2x D．x2＝2y7．（5分）（2012秋•武昌区期末）复数（i）3（i为虚数单位）的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i8．（5分）（2012•荆州区校级模拟）的值为（）A． B． C．2 D．4二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2023秋•南山区校级月考）已知全集U＝A∪B，集合A＝{1，3，4}，集合，则（）A．U中的元素个数为5 B．{1}∈U C．∁UA⊆B D．集合A的非空真子集有6个（多选）10．（5分）（2021秋•邢台期末）已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2x﹣2y＝0（a∈R），则（）A．曲线C可能是直线 B．当a＝1时，直线3x+y＝0与曲线C相切 C．曲线C经过定点 D．当a＝1时，直线x+2y＝0与曲线C相交（多选）11．（5分）（2023春•让胡路区校级期末）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A．事件M发生的概率为 B．事件M与事件N互斥 C．事件M与事件N相互独立 D．事件M+N发生的概率为（多选）12．（5分）（2024秋•三元区校级月考）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1上的动点，且A1F∥平面AD1E，则（）A．点F到直线AD1的距离为定值 B．线段A1F的长度最小值为 C．二面角F﹣AD1﹣E的余弦值为 D．直线D1B1与平面AD1F所成角的余弦值为三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023秋•江北区校级月考）函数的定义域为．14．（5分）（2023•斗门区校级开学）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，其中的面积为，且，则线段CD的长为．15．（5分）（2024•日照开学）已知扇形AOB的半径为10，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（10，0），B（8，6），则弧AB的中点C的坐标为．16．（5分）（2021秋•涟水县校级月考）已知椭圆C：1的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得0，且△PF1F2的面积等于6，则实数b的值为，椭圆离心率e的取值范围为．四．解答题（共5小题，满分70分，每小题14分）17．（14分）（2016秋•庄河市校级月考）已知抛物线C的方程x2＝2py，M（2，1）为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点．（Ⅰ）求|MF|；（Ⅱ）设直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．18．（12分）（2024秋•怀柔区校级月考）已知{an}是等比数列，满足a2＝﹣6，a5＝﹣162，数列{bn}满足b1＝2，且{2bn+an}是公差为2的等差数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．19．（16分）（2022秋•顺义区期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝3，AD＝AA1＝2，点E在AB上，且AE＝1．（Ⅰ）求直线A1E与直线BC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线BC1与平面A1EC所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A到平面A1EC的距离．20．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x＝0，圆C2：x2+y2﹣4x+2my+2m2＝0．（1）求m的取值范围并求出半径最大时圆C2的方程；（2）讨论圆C1和圆C2的位置关系，并说明理由．21．（16分）（2022秋•涪城区校级期中）已知双曲线的渐近线方程为，且经过点．（1）求双曲线C的方程；（2）直线l：y＝x﹣3与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．

2024-2025学年上学期成都高二数学期末典型卷1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023秋•辽宁期末）直线l：ax+（a﹣1）y+1＝0，若直线l的一个法向量为，则a＝（）A．2 B．﹣1 C． D．【考点】平面中直线的方向向量和法向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】若直线l的一个法向量为，则直线的斜率，由此结合直线方程算出答案．【解答】解：∵直线l的一个法向量为，∴直线l的斜率．∵直线l的方程为ax+（a﹣1）y+1＝0，∴直线l的斜率，解得a＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查直线的基本量与基本形式等知识，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）下列命题中，真命题的个数是（）①“x＜2”是“x＜1”的充分不必要条件；②““是“a＞b”的充要条件；③“四边形的四条边相等”是“四边形为正方形”的必要不充分条件；④“x＝y”是“”的既不充分也不必要条件．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】既不充分也不必要条件的判断．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义逐一对选项进行判断即可．【解答】解：“x＜1”可以推出“x＜2”，反之不成立，所以“x＜2”是“x＜1”的必要不充分条件，故①错误；由可推出a＞b，反之不成立，如a，b是负数，故②错误；“四边形的四条边相等”推不出“四边形为正方形”，也有可能是菱形，反之可以推出，所以“四边形的四条边相等”是“四边形为正方形”的必要不充分条件，故③正确；由x＝y＝0推不出，反之可以推出，所以“x＝y”是“”的必要不充分条件，故④错误；故选：B．【点评】本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．3．（5分）（2021春•眉山期末）某班有学生48人，现将所有学生按1，2，3，…，48随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，抽得编号为6，x，22，30，y，46，则x+y＝（）A．52 B．50 C．62 D．54【考点】系统抽样方法．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】先求出抽样间隔，由此能求出x，y，进而能求出x+y的值．【解答】解：采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，则抽样间隔为：8，∴x＝6+8＝14，y＝30+8＝38，∴x+y＝14+38＝52．故选：A．【点评】本题考查两数和的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）直线2x﹣y﹣1＝0与圆x2+y2﹣2y＝0的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判定【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】根据圆心到直线的距离与半径之间的关系即可求解．【解答】解：x2+y2﹣2y＝0可化为x2+（y﹣1）2＝1的圆心为（0，1），半径r＝1，∴圆心到直线的距离为1，∴直线2x﹣y﹣1＝0与圆x2+y2﹣2y＝0的位置关系为相交．故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，是基础题．5．（5分）（2022秋•华安县校级期中）若正项数列{an}满足a1＝1，，则（）A．4n﹣1 B． C．2n﹣1 D．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】B【分析】由递推公式推出数列{an}的通项公式，得到数列的通项公式，根据等比数列求和公式可得所求．【解答】解：由，得（an+1﹣2an）（an+1+3an）＝0，又{an}是正项数列，所以an+1﹣2an＝0，即，则数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，即有．，，，可得数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以．故选：B．【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．6．（5分）（2022秋•金水区校级月考）已知动圆C过定点P（0，1），且被x轴截得的弦长为2，则圆心C的轨迹方程为（）A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝2x D．x2＝2y【考点】轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】根据直线和圆的关系以及勾股定理得到关于x，y的方程，整理即可．【解答】解：设圆心C（x，y），动圆C过定点P（0，1），且被x轴截得的弦长为2，则y2+1＝x2+（y﹣1）2，整理得：x2＝2y；故选：D．【点评】本题考查了曲线的轨迹方程问题，考查直线和圆的关系，是基础题．7．（5分）（2012秋•武昌区期末）复数（i）3（i为虚数单位）的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】复数的乘法及乘方运算．【专题】数系的扩充和复数．【答案】A【分析】由条件利用个复数代数形式的乘法法则、虚数单位i的幂运算性质、平方差公式，计算求得结果．【解答】解：复数（i）3＝（i）•（i）2＝（i）•（i）＝（i）•（i）1，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．8．（5分）（2012•荆州区校级模拟）的值为（）A． B． C．2 D．4【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的积化和差公式；三角函数的和差化积公式．【专题】三角函数的求值．【答案】C【分析】利用诱导公式、和差化积公式、二倍角公式，把要求的式子化为，从而得出结论．【解答】解：2，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式、和差化积公式、二倍角公式的应用，属于中档题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2023秋•南山区校级月考）已知全集U＝A∪B，集合A＝{1，3，4}，集合，则（）A．U中的元素个数为5 B．{1}∈U C．∁UA⊆B D．集合A的非空真子集有6个【考点】元素与集合关系的判断；判断两个集合的包含关系．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】ACD【分析】用列举法表示集合B，再逐项求解判断即得．【解答】解：显然，而A＝{1，3，4}，因此U＝{1，2，3，4，8}，A正确；而{1}⊆U，B错误；∁UA＝{2，8}，则∁UA⊆B，C正确；集合A的非空真子集有23﹣2＝6个，D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．（多选）10．（5分）（2021秋•邢台期末）已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2x﹣2y＝0（a∈R），则（）A．曲线C可能是直线 B．当a＝1时，直线3x+y＝0与曲线C相切 C．曲线C经过定点 D．当a＝1时，直线x+2y＝0与曲线C相交【考点】曲线与方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】利用a的值，判断选项是正误即可．【解答】解：当a＝0时，曲线为：﹣2x﹣2y＝0，是直线方程，所以A正确；当a＝1时，曲线C的方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，表示圆，圆的圆心（1，1），半径为，圆心到直线3x+y＝0的距离：，所以B不正确；圆心到直线x+2y＝0的距离：，直线x+2y＝0与曲线C相交，所以D正确；曲线C的方程为ax2+ay2﹣2x﹣2y＝0恒过（0，0）点，所以C正确；故选：ACD．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，曲线与方程的应用，是中档题．（多选）11．（5分）（2023春•让胡路区校级期末）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A．事件M发生的概率为 B．事件M与事件N互斥 C．事件M与事件N相互独立 D．事件M+N发生的概率为【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及相互独立事件的概率公式，即可依次求解．【解答】解：由题意可得，P（M），故A正确，当两次抛掷的点数为（3，1）时，事件M与事件N同时发生，故事件M与事件N不互斥，故B错误，P（MN），P（M），P（N），P（MN）＝P（M）•P（N），故事件M与事件N相互独立，故C正确，P（M+N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN），故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查互斥事件的定义，以及相互独立事件的概率公式，属于基础题．（多选）12．（5分）（2024秋•三元区校级月考）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1上的动点，且A1F∥平面AD1E，则（）A．点F到直线AD1的距离为定值 B．线段A1F的长度最小值为 C．二面角F﹣AD1﹣E的余弦值为 D．直线D1B1与平面AD1F所成角的余弦值为【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；点、线、面间的距离计算；空间向量法求解直线与平面所成的角．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】ABC【分析】对于A，根据平行线的性质，可得其正误；对于B，根据等腰三角形的性质，根据勾股定理，可得其正误；对于C，求得平面的法向量，利用二面角的向量公式，可得其正误；对于D，根据线面角正弦值的向量公式，利用同角三角函数的平方式，可得答案．【解答】解：由题意，分别取BB1，B1C1，CC1的中点为M，N，P，连接D1P，PE，A1N，MN，A1M，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：易知EP∥AD1，由E∈平面AED1，则P∈平面AED1，因为A1N∥AE，A1N⊂平面AED1，AE⊄平面AED1，所以A1N∥平面AED1，同理可得MN∥平面AED1，因为A1N，MN⊂平面A1MN，A1N∩MN＝N，所以平面AED1∥平面A1MN，当F∈MN时，A1F⊂平面A1MN，则A1F∥平面AED1，对于A，由平行线的传递性知：MN∥AD1，故所求距离为定值，故A正确；对于B，在△B1MN中，设其高度为h，则MN•h＝B1N•B1M，解得，在△A1MN中，易知A1N＝A1M，F为MN的中点时，A1F取得最小值，，故B正确；对于C，由F∈MN，则二面角F﹣AD1﹣E与二面角N﹣AD1﹣E的大小相同，由图可知：N（1，2，2），A（2，0，0），D1（0，0，2），E（1，2，0），则，，，，设平面NAD1的法向量，则，令x1＝2，则y1＝﹣1，z1＝2，所以平面NAD1的一个法向量（2，﹣1，2），设平面AED1的法向量，则，令x2＝2，则y2＝1，z1＝2，所以平面AED1的一个法向量，设二面角N﹣AD1﹣E的大小为θ，则，故C正确；对于D，由F∈MN，则平面FAD1与平面NAD1为同一平面，由C可知平面NAD1的一个法向量（2，﹣1，2），由图可知B1＝（2，2，2），则，所以直线D1B1与平面AD1F所成角的正弦值为：，则余弦值为，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查立体几何综合问题，属于中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023秋•江北区校级月考）函数的定义域为．【考点】复合函数的定义域．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】．【分析】利用对数复合函数与根式函数的定义域，结合正弦不等式与二次不等式的解法即可得解【解答】解：因为，所以，对于2sinx﹣1＞0，即，解得，对于﹣x2+x+2≥0，即x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2，综上，，即函数的定义域为．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）（2023•斗门区校级开学）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，其中的面积为，且，则线段CD的长为．【考点】解三角形；平面向量的数乘与线性运算；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．【答案】．【分析】根据三角形的面积公式列方程，解得b＝4，根据推导出，两边平方，利用数量积的运算性质算出向量的模，可得答案．【解答】解：根据题意得，解得b＝4，因为，所以2（），整理得，所以，可得||，即线段CD的长为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角形的面积公式、平面向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．15．（5分）（2024•日照开学）已知扇形AOB的半径为10，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（10，0），B（8，6），则弧AB的中点C的坐标为．【考点】二倍角的三角函数的逆用；同角三角函数间的基本关系．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】．【分析】设∠AOC＝α，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案．【解答】解：令∠AOC＝α，则∠AOB＝2α，，解得，即，又sin2α+cos2α＝1，又，解得，，，即．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于中档题．16．（5分）（2021秋•涟水县校级月考）已知椭圆C：1的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得0，且△PF1F2的面积等于6，则实数b的值为，椭圆离心率e的取值范围为[2，+∞）．【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】；[2，+∞）．【分析】根据椭圆的定义及题意列方程，转化求解b；再由向量等式得1，即x2+y2＝c2，结合点P在椭圆上可得x2（c2﹣b2），即c2≥b2，可得a2＝b2+c2≥2b2，然后求解a的范围．【解答】解：由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|＝2a，又0，△PF1F2的面积等于6，∴|PF1|•|PF2|＝6，即|PF1|•|PF2|＝12，由（|PF1|+|PF2|）2＝4a2，|PF1|2+|PF2|2＝4c2，可得4c2﹣4a2＝﹣24，∴b．由1，得x2+y2＝c2，①而椭圆C：1，②由①②得x2（c2﹣b2），∴c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝12，故（舍去），或a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）．故答案为：；[2，+∞）．【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆中焦点三角形的解法，考查运算求解能力，是中档题．四．解答题（共5小题，满分70分，每小题14分）17．（14分）（2016秋•庄河市校级月考）已知抛物线C的方程x2＝2py，M（2，1）为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点．（Ⅰ）求|MF|；（Ⅱ）设直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【考点】直线与抛物线的综合．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】（I）求得p＝2，根据抛物线的定义，即可得到所求|MF|；（II）假设存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，由直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l2与抛物线C相切，利用导数求出直线l2的方程，进而求出Q点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，利用0，求出N点坐标．【解答】解：（I）由题可知2p＝4，即p＝2，由抛物线的定义可知|MF|＝1+1＝2…（4分）（II）由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点P（x0，），由直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l与抛物线C相切，由yx2得y′x，可得直线l2的斜率为x0，可得直线l的方程为yx0（x﹣x0），令y＝﹣1得xx0，可得Q点的坐标为（x0，﹣1），即有（x0，n），（x0，﹣1﹣n），由点N在以PQ为直径的圆上，可得（1+n）（n）＝（1﹣n）•n2+n﹣2＝0，（*）要使方程（*）对x0恒成立，必须有，解得n＝1，则在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．…（12分）【点评】本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，这类题目考查比较灵活，解决问题时注意几何关系向代数关系（即坐标关系）的转化．18．（12分）（2024秋•怀柔区校级月考）已知{an}是等比数列，满足a2＝﹣6，a5＝﹣162，数列{bn}满足b1＝2，且{2bn+an}是公差为2的等差数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）；．（2）．【分析】（1）设数列{an}的公比为q，推导出等比数列通项公式列出方程组，推导出a1＝﹣2，q＝3，由此能求出数列{an}的通项公式；令cn＝2bn+an，能求出数列{bn}的通项公式．（2）由数列{bn}的通项公式，利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和．【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，则，解得a1＝﹣2，q＝3．∴；令cn＝2bn+an，则c1＝2b1+a1＝2，∴cn＝2+（n﹣1）×2＝2n，则；（2）∵，∴数列{bn}的前n项和：Sn＝（1+2+3+…+n）+（30+3+32+...+3n﹣1）．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查分组求和，是中档题．19．（16分）（2022秋•顺义区期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝3，AD＝AA1＝2，点E在AB上，且AE＝1．（Ⅰ）求直线A1E与直线BC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线BC1与平面A1EC所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A到平面A1EC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；运算求解．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出，，利用空间向量的数量积求解直线A1E与BC1所成角的余弦值即可；（Ⅱ）求出平面A1EC的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角．（Ⅲ）利用向量法可求点A到平面A1EC的距离．【解答】解：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（2，0，2），C（0，3，0），B（2，3，0），C1（0，3，2），E（2，1，0），所以（0，1，﹣2），（﹣2，0，2），所以cos，，故直线A1E与直线BC1所成角的余弦值为．（Ⅱ）因为（﹣2，2，0），（0，1，﹣2），设平面A1EC的法向量为（x，y，z），则，令y＝2，则x＝2，z＝1，于是（2，2，1），设BC1与平面A1EC所成角为θ，则sinθ＝|cos，|＝||，所以BC1与平面A1EC所成角的正弦值为．（Ⅲ）又A（2，0，0），∴（0，﹣1，0），∴点A到平面A1EC的距离d．【点评】本题主要考查直线与直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查点到面和距离的求法，属中档题．20．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x＝0，圆C2：x2+y2﹣4x+2my+2m2＝0．（1）求m的取值范围并求出半径最大时圆C2的方程；（2）讨论圆C1和圆C2的位置关系，并说明理由．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）﹣2＜m＜2；（x﹣2）2+y2＝4；（2）当m＝0时，圆C1和圆C2外切；当﹣2＜m＜2且m≠0时，圆C1和圆C2外离．【分析】（1）圆的方程化为标准方程，进而求m的取值范围及半径最大时圆C2的方程；（2）注意到圆心距等于等于3，圆C2的半径最大为2，圆C1的半径为1，即可求解．【解答】解：（1）圆C2：x2+y2﹣4x+2my+2m2＝0化为标准方程为（x﹣2）2+（y+m）2＝4﹣m2，所以4﹣m2＞0，解得﹣2＜m＜2；m＝0时，圆C2的半径最大，方程为（x﹣2）2+y2＝4；（2）圆C1：x2+y2+2x＝0化为标准方程为（x+1）2+y2＝1，圆心坐标为C1（﹣1，0），半径为1，所以|C1C2|3．当m＝0时，圆C1和圆C2外切；当﹣2＜m＜2且m≠0时，圆C1和圆C2外离．【点评】本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（16分）（2022秋•涪城区校级期中）已知双曲线的渐近线方程为，且经过点．（1）求双曲线C的方程；（2）直线l：y＝x﹣3与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据渐近线方程和点代入方程得到方程组，解得答案；（2）联立方程消去y得到二次方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，再计算点到直线的距离得到面积．【解答】解：（1）根据题意，，解得，故双曲线的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，消去y得：x2+12x﹣22＝0，∴，则．又点O到直线y＝x﹣3的距离，∴．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．

考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故（14分）点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．判断两个集合的包含关系【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，则（）A．A＞BB．B∈AC．A⊆BD．B⊆A解：由题意可得，B⊆A．故选：D．3．既不充分也不必要条件的判断【知识点的认识】既不充分也不必要条件是指条件P和条件Q之间没有任何充分或必要的关系．即P成立与否对Q成立与否没有影响．用符号表示为P⇏Q且Q⇏P．这种条件在数学中表示两个条件之间是独立的，没有任何相互关系．例如，直线平行和直线垂直的关系．【解题方法点拨】要判断两个条件是否既不充分也不必要，可以分别验证P⇏Q和Q⇏P．找到P成立但Q不成立，以及Q成立但P不成立的反例．通过举反例，可以证明两个条件之间的独立性．逻辑推理和具体实例是验证这种条件的有效方法．【命题方向】既不充分也不必要条件的命题方向包括几何图形的独立性质、代数条件等．例如，两个不相交的直线的平行和垂直关系在几何题中常见．4．复合函数的定义域【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．【命题方向】涉及求复合函数的定义域，考查学生对函数嵌套关系及其定义域的理解和计算能力．函数的定义域为_____．解：由题意得，即，解得x＞2或x≤1，所以函数的定义域为（﹣∞，1]∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，1]∪（2，+∞）．5．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sinα．公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．6．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．7．二倍角的三角函数的逆用【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．【解题方法点拨】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α﹣将具有二倍角公式展开模式的表达式，改写成二倍角并求解．【命题方向】常见题型包括利用二倍角公式求解表达式，结合具体角度进行计算．求下列各式的值：（1）sinsin；（2）cos215°﹣cos275°；（3）2cos21；（4）．解：（1）sinsinsincossin．（2）cos215°﹣cos275°＝cos215°﹣sin215°＝cos30°．（3）2cos21＝coscos．（4）•tan60°．8．三角函数的积化和差公式【知识点的认识】三角函数的积化和差公式：（1）sinαsinβ[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]cosαcosβ[cos（α﹣β）+cos（α+β）]（2）sinαcosβ[sin（α+β）+sin（α﹣β）]cosαsinβ[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]（3）tanαtanβtanαcotβ．9．三角函数的和差化积公式【知识点的认识】三角函数的和差化积公式：（1）sinα+sinβ＝2sincossinα﹣sinβ＝2cossin（2）cosα+cosβ＝2coscoscosα﹣cosβ＝﹣2sinsin（3）cosα+sinαsin（α）cos（）cosα﹣sinαcos（α）sin（α）10．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．11．等差数列与等比数列的综合【知识点的认识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2、等比数列的性质．（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．12．平面向量的数乘与线性运算【知识点的认识】（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．当λ＝0时，λ与平行．对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥⇔λ（2）向量数乘运算的法则①1；（﹣1）；②（λμ）λ（μ）μ（λ）；③（λ+μ）λμ；④λ（）＝λλ．一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示．13．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）||cosθ；（2）⇔0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；特别地：||2或||（用于计算向量的模）（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•λ（）•（）；（3）分配律：（）••（）平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2•2．②（）（）22．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．14．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC；⑤S△ABC，（s（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosAcosBcosC正弦定理2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA，sinB，sinC射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△ahabhbchc②S△absinCacsinBbcsinA③S△④S△，（s（a+b+c））；⑤S△（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinAsinB＝sinC15．复数的乘法及乘方运算【知识点的认识】﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．【解题方法点拨】﹣直接计算：使用复数的分量进行乘法运算．﹣极坐标形式：利用极坐标形式进行复数乘方运算，简化计算过程．【命题方向】﹣复数乘法运算：考查复数乘法及其性质．﹣复数的乘方：如何使用复数的乘方运算解决问题，如幂运算和多项式根．（3i﹣2）（i+4）﹣i＝_____．解：依题意，（3i﹣2）（i+4）﹣i＝3i2+12i﹣2i﹣8﹣i＝﹣11+9i．16．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．2、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：17．直线与平面所成的角【知识点的认识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|．18．空间向量法求解直线与平面所成的角【知识点的认识】直线与平面所成角的求法：向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|．【解题方法点拨】﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．【命题方向】﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算直线与平面之间的夹角．19．空间向量法求解二面角及两平面的夹角【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．（2）当，π时，θ＝π，，cosθ＝﹣cos，．【解题方法点拨】﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．【命题方向】﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．20．点、线、面间的距离计算【知识点的认识】21．平面中直线的方向向量和法向量【知识点的认识】﹣方向向量：平面中的直线可以由方向向量表示．﹣法向量：平面上的法向量是平面中垂直于直线的向量，若直线方程为Ax+By+C＝0，则法向量为（A，B）．【解题方法点拨】﹣识别向量：确定直线的方向向量和直线的法向量．【命题方向】﹣向量识别：考查如何识别平面中直线的方向向量和直线的法向量．22．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系【知识点的认识】﹣位置关系：直线与圆的位置关系取决于直线到圆心的距离与圆半径的比较：﹣相交：距离小于半径﹣切线：距离等于半径﹣外离：距离大于半径【解题方法点拨】﹣确定位置关系：1．计算圆心到直线的距离．2．比较距离与半径，确定直线与圆的位置关系．【命题方向】﹣位置关系判断：考查如何根据直线到圆心的距离与圆半径的关系确定直线与圆的位置关系，涉及距离计算和几何解释．23．圆与圆的位置关系及其判定【知识点的认识】圆与圆的位置关系【解题方法点拨】圆与圆的位置关系的判定设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断①外离（4条公切线）：d＞r1+r2②外切（3条公切线）：d＝r1+r2③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．24．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．25．直线与抛物线的综合【知识点的认识】直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与抛物线相交⇔Δ＞0；直线与抛物线相切⇔Δ＝0；直线与抛物线相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组的解的个数．（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．【命题方向】掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往往是高考考试的热点．26．双曲线的几何特征【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±0±027．直线与双曲线的综合【知识点的认识】直线与双曲线的位置判断：将直线方程与双曲线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与双曲线相交⇔Δ＞0；直线与双曲线相切⇔Δ＝0；直线与双曲线相离⇔Δ＜0；直线与双曲线的位置关系只有三种，不可能出现有多个解，因为直线与双曲线的交点个数最多有2个．值得注意的是，当直线方程和双曲线方程联立后，如果得到一元一次方程，说明此时直线与双曲线的渐近线平行，那么直线与双曲线相交，且只有一个交点．【解题方法点拨】（1）直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：①直线平行渐近线；②直线与双曲线相切．（2）弦长的求法设直线与双曲线的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|（k为直线斜率）注意：利用公式计算直线被双曲线截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．【命题方向】双曲线知识通常与圆、椭圆、抛物线或数列、向量及不等式、三角函数相联系，综合考查数学知识及应用是高考的重点，应用中应注意对知识的综合及分析能力，双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．28．曲线与方程【知识点的认识】在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．【解题方法点拨】例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（）A：直线B：圆C：椭圆D：双曲线一支．解：对定点B分类讨论：①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．③若定点B与圆心A重合，如图3所示：设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆．④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．故选A．这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题．【命题方向】这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．29．轨迹方程【知识点的认识】1．曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．2．求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点【解题方法点拨】（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．（4）待定系数法（5）参数法（6）交轨法．30．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一．（2）对立事件的概率公式：P（）＝1﹣P（A）3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．例2：下列说法正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B．点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．2．互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且，，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则，，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）故答案为：点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．3．对立事件概率公式的应用例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（