2024-2025学年上学期福建高一数学期末典型卷1

第1页（共1页）2024-2025学年上学期福建高一数学期末典型卷1一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023秋•武汉月考）设集合A＝{x|cosx＝0}，B＝{y|y2﹣8y﹣20≤0}，则A∩B的元素个数为（）A．4 B．5 C．2 D．02．（5分）（2019秋•武汉期末）已知，则下列结论成立的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b3．（5分）（2023秋•玉州区校级月考）函数y＝﹣x2+x+2的零点是（）A．x＝﹣1或x＝2 B．﹣1，2 C．x＝1或x＝﹣2 D．1，﹣24．（5分）（2020•江西模拟）函数，若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过P（﹣5，12），则f（cosα）＝（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）（2024•吉林三模）已知f（x）若f（a）＝1，则实数a的值为（）A．1 B．4 C．1或4 D．26．（5分）（2023秋•建湖县期末）函数的部分图像大致是（）A． B． C． D．7．（5分）现有某种细胞1000个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为10001000×21000，2小时后，细胞总数为10001000×21000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为（参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301）（）A．38小时 B．39小时 C．40小时 D．41小时8．（5分）（2021秋•西城区校级期中）对于定义在R上的函数y＝f（x），若存在非零实数x0，使y＝f（x）在（﹣∞，x0）和（x0，+∞）上均有零点，则称x0为y＝f（x）的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（）A．f（x）＝3|x﹣1|+2 B． C． D．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2022秋•宁德期中）已知a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的有（）A．ab＞0 B．ac＞bc C． D．a2＞b2（多选）10．（5分）（2020春•济宁期末）如果∀x∈（0，+∞），不等式ex﹣1恒成立，则实数a的取值可以是（）A．2 B．e﹣1 C．1 D．（多选）11．（5分）（2024秋•新蔡县校级月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如[3.2]＝3，[﹣1.6]＝﹣2．若f（x）＝x﹣[x]，则下列说法正确的是（）A．当2023≤x＜2024时，f（x）＝x﹣2023 B．f（x+1）﹣f（x）＝1 C．函数f（x）的值域为[0，1） D．当x≥1时，函数g（x）的值域为（1，2]（多选）12．（5分）（2023秋•湖南月考）已知函数f（x）＝sinx+asin2x（a∈R），则下列说法中正确的是（）A．f（x）的最小正周期为π B．y＝f（x）的图象关于点（π，0）对称 C．若f（x）在上单调递增，则 D．当时，三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021秋•天山区校级期末）已知幂函数f（x）的图象过点，则．14．（5分）（2022春•杭州期末）已知函数f（x），则f（1）＝；f（x）的定义域是．15．（5分）第40届中国国际体育用品博览会在厦门国际会展中心举办．某商家在博览会前设计展台时计划在如图所示圆心角为，半径为3的扇形区内设置一动画光影装置（阴影部分）．已知B，C分别在半径OA，OD上，且OB＝OC，则该阴影部分面积的最大值为．16．（5分）（2023秋•衡阳县校级期中）已知函数，则函数的零点个数为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022秋•黔西南州期末）已知A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记∠AOB＝α且．（1）求的值；（2）求的值．18．（12分）（2024秋•崂山区校级月考）设p：实数x满足x2﹣5ax+6a2＜0（a≤0），q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．19．（12分）（2023春•长宁区校级期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：xωx+φ0π2πsin（ωx+φ）010﹣10f（x）000（1）请写出表格中空格处的值，写出函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的大致图像；（2）将函数f（x）的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，求的单调减区间．20．（12分）（2024秋•广州期中）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导、全科辅学功能、多国语言学习、标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能．根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万元，且当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．21．（12分）（2022春•辽宁月考）设函数fk（x）＝2x+（k﹣1）•2﹣x（x∈R，k∈Z）．（1）若fk（x）是偶函数，求实数k的值；（2）若存在x∈[1，2]，使得f0（x）+mf1（x）≤4成立，求实数m的取值范围．22．（12分）（2024春•延庆区校级月考）设a为常数，且a＞1，函数f（x）＝cos2x+2asinx﹣1，若对任意的实数x，都有f（x）≤a2﹣4成立，求实数a的取值范围．

2024-2025学年上学期福建高一数学期末典型卷1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023秋•武汉月考）设集合A＝{x|cosx＝0}，B＝{y|y2﹣8y﹣20≤0}，则A∩B的元素个数为（）A．4 B．5 C．2 D．0【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算．【专题】函数思想；集合思想；综合法；三角函数的图象与性质；不等式的解法及应用；集合；运算求解．【答案】A【分析】先求出集合A，B，再利用集合的交集运算求解．【解答】解：集合A＝{x|cosx＝0}＝{x|x，k∈Z}，B＝{y|y2﹣8y﹣20≤0}＝{y|﹣2≤y≤10}，∴A∩B＝{，，，}，∴A∩B的元素个数为4个．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了余弦函数的性质，以及集合的基本运算，属于基础题．2．（5分）（2019秋•武汉期末）已知，则下列结论成立的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵，∴2＜ab3，c＝e2＞22＝4，∴a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）（2023秋•玉州区校级月考）函数y＝﹣x2+x+2的零点是（）A．x＝﹣1或x＝2 B．﹣1，2 C．x＝1或x＝﹣2 D．1，﹣2【考点】求解函数零点所在区间．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】令y＝0，即﹣x2+x+2＝0，解方程即可．【解答】解：令y＝0，即﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝2．故选：B．【点评】本题考查函数的零点的求法，是基础题．4．（5分）（2020•江西模拟）函数，若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过P（﹣5，12），则f（cosα）＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】A【分析】先利用任意角的三角函数的定义，求出cosα，再代入函数f（x）的解析式即可算出结果．【解答】解：∵角α终边经过P（﹣5，12），∴cosα，∴f（cosα）＝13×（）+6＝1，故选：A．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，以及求分段函数的函数值，是基础题．5．（5分）（2024•吉林三模）已知f（x）若f（a）＝1，则实数a的值为（）A．1 B．4 C．1或4 D．2【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】结合函数的解析式，分类讨论，即可求解．【解答】解：当a＜1时，2a﹣1＝1，解得a＝1，不符合题意，舍去，当a≥1时，，解得a＝4．故选：B．【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．6．（5分）（2023秋•建湖县期末）函数的部分图像大致是（）A． B． C． D．【考点】由函数解析式求解函数图象；余弦函数的对称性．【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】D【分析】根据题意，分析函数的奇偶性排除A、C，由函数值的符号排除B，综合可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）f（x），则f（x）为奇函数，排除A、C，在区间（0，π）上，sinx＞0，有f（x）0，排除B．故选：D．【点评】本题考查函数的图象分析，涉及三角函数的图象性质，属于基础题．7．（5分）现有某种细胞1000个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为10001000×21000，2小时后，细胞总数为10001000×21000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为（参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301）（）A．38小时 B．39小时 C．40小时 D．41小时【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据题意可得t小时后，细胞总数约为n＝（）t×1000，再结合指数和对数的运算法则，解不等式n＞1010，得解．【解答】解：由题意知，t小时后，细胞总数约为n＝（）t×1000，当n＞1010时，有（）t×1000＞1010，即t107＝710＝7•739.8小时，所以当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为40小时．故选：C．【点评】本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数和对数的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．（5分）（2021秋•西城区校级期中）对于定义在R上的函数y＝f（x），若存在非零实数x0，使y＝f（x）在（﹣∞，x0）和（x0，+∞）上均有零点，则称x0为y＝f（x）的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（）A．f（x）＝3|x﹣1|+2 B． C． D．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据折点的定义，结合函数单调性，奇偶性依次对选项进行判断即可．【解答】解：对于A，f（x）＝3|x﹣1|+2≥30+2＝3，所以函数f（x）没有零点，故A错误；对于B，当x＞0时，f（x）＝lg（x+3），此时f（x）为单调递增函数，当x3时，f（x）＝0，即（0，+∞）时f（x）有零点，因为f（x）定义域为R，f（﹣x）＝f（x），所以函数为偶函数，根据偶函数的对称性可知，在（﹣∞，0）上也有零点，故B正确；对于C，因为f（x）x﹣1，f′（x）＝x2﹣1，当x＜﹣1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝﹣1处取得极大值f（﹣1），在x＝1处取得极小值f（1）0，其图象为，而f（3）＝5＞0，所以f（x）在R上有且只有一个零点，从而f（x）没有“折点”故C不符合题意；对于D选项，因为，令f（x）＝0解得x＝﹣1，f（x）只有一个零点，故D选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了函数的零点的存在性，属于中档题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2022秋•宁德期中）已知a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的有（）A．ab＞0 B．ac＞bc C． D．a2＞b2【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】ACD【分析】对选项进行逐个分析，即可解出．【解答】解：根据不等式的性质，选项A，两个正数的积是正数，故正确；选项B，c＝0时，ac＝bc，故错误，选项C，∵a＞b＞0，∴0，故正确；选项D，∵a＞b＞0，∴a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＞0，故正确；故选：ACD．【点评】本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．（多选）10．（5分）（2020春•济宁期末）如果∀x∈（0，+∞），不等式ex﹣1恒成立，则实数a的取值可以是（）A．2 B．e﹣1 C．1 D．【考点】不等式恒成立的问题．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】CD【分析】由题意可得a≤x（ex﹣1）﹣lnx恒成立，设f（x）＝x（ex﹣1）﹣lnx，求得导数和单调性、极值和最值，可得所求a的范围．【解答】解：∀x∈（0，+∞），不等式ex﹣1恒成立，可得a≤x（ex﹣1）﹣lnx恒成立，设f（x）＝x（ex﹣1）﹣lnx，则f′（x）＝ex﹣1+xex（x+1）（ex），由x＞0，设ex0的实根为m，即mem＝1，可得lnm+m＝0，可得0＜x＜m，f′（x）＜0，f（x）递减；x＞m，f′（x）＞0，f（x）递增，即f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值f（m）＝m（em﹣1）﹣lnm＝1﹣m﹣lnm＝1，则a≤1，故选：CD．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和导数的运用：求单调性和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．（多选）11．（5分）（2024秋•新蔡县校级月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如[3.2]＝3，[﹣1.6]＝﹣2．若f（x）＝x﹣[x]，则下列说法正确的是（）A．当2023≤x＜2024时，f（x）＝x﹣2023 B．f（x+1）﹣f（x）＝1 C．函数f（x）的值域为[0，1） D．当x≥1时，函数g（x）的值域为（1，2]【考点】复合函数的值域．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】对于A，直接由高斯函数定义来验证即可；对于B，注意到∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x＜k+1，即可作出判断；对于C，由B选项可得f（x）的周期，然后求出f（x）在[0，1）上的值域即可；对于D，根据高斯函数的性质与g（x）的表达式，求出g（x）的值域，即可作出判断．【解答】解：对于A，当2023≤x＜2024时，由[x]＝2023，可得f（x）＝x﹣[x]＝x﹣2023，故A项正确；对于B，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x＜k+1，此时k+1≤x+1＜k+2，从而f（x+1）﹣f（x）＝x+1﹣（k+1）﹣（x﹣k）＝0，故B项错误；对于C，由B项的分析，可知函数f（x）是以1为周期的周期函数，故只需讨论f（x）在[0，1）上的值域即可，当x∈[0，1）时，f（x）＝x﹣[x]＝x﹣0＝x∈[0，1），所以函数f（x）的值域为[0，1），故C项正确；对于D，当x≥1时，若x＝1，则2，达最大值．若x＞1，则∈（1，2），所以g（x）的值域为（1，2]，故D项正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查高斯函数的性质、函数的周期性、值域与最值等知识，属于中档题．（多选）12．（5分）（2023秋•湖南月考）已知函数f（x）＝sinx+asin2x（a∈R），则下列说法中正确的是（）A．f（x）的最小正周期为π B．y＝f（x）的图象关于点（π，0）对称 C．若f（x）在上单调递增，则 D．当时，【考点】三角函数的周期性；正弦函数的单调性．【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】BC【分析】利用正弦函数的单调性、对称性、利用导数判断单调性以及求极值最值的方法和特殊值法分析运算判断即可得解．【解答】解：对于选项A：∵f（x）＝sinx+asin2x（a∈R），又f（x+π）＝sin（x+π）+asin2（x+π）＝﹣sinx+asin2x≠f（x），∴π不是f（x）的周期，故错误；对于选项B：∵f（2π﹣x）+f（x）＝sin（2π﹣x）+asin2（2π﹣x）+sinx+asin2x＝﹣sinx﹣asin2x+sinx+asin2x＝0，∴y＝f（x）的图象关于点（π，0）对称，故正确；对于选项C：∵f′（x）＝cosx+2acos2x，当a＝0时，f′（x）＞0在上恒成立；当a＞0时，f′（x）≥0在上恒成立，可得，令，∴，当时，g′（x）＜0，∴在上为减函数，∴当时，﹣1＜g（x）＜1，从而有，即；当a＜0时，f′（x）≥0在上恒成立，可得，∴有，即；综上知，，故正确；对于选项D：∵当时，f（x）＝sinx+sinxcosx＝sinx（1+cosx），取，，∴，，此时，|f（x1）﹣f（x2）|，故错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性、对称性，利用导数判断单调性以及求极值最值的方法，考查了函数思想，属于中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021秋•天山区校级期末）已知幂函数f（x）的图象过点，则3．【考点】幂函数的概念．【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】3．【分析】设幂函数的解析式为f（x）＝xα，由f（x）过点（8，），利用待定系数法求出α，再求出f（）即可．【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（8，），∴8α，解得α，∴f（x），∴f（）3，故答案为：3．【点评】本题主要考查幂函数的定义，幂函数解析式的求法和函数的值，是基础题．14．（5分）（2022春•杭州期末）已知函数f（x），则f（1）＝3；f（x）的定义域是（﹣1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】3；（﹣1，+∞）．【分析】将x＝1直接代入函数f（x）即可求解，再结合二次根式被开方数非负和对数的真数大于0，列出不等式，即可求解．【解答】解：（1）∵f（x），∴，f（x）的定义域为，解得x＞﹣1，故函数的定义域为（﹣1，+∞）．故答案为：3；（﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．15．（5分）第40届中国国际体育用品博览会在厦门国际会展中心举办．某商家在博览会前设计展台时计划在如图所示圆心角为，半径为3的扇形区内设置一动画光影装置（阴影部分）．已知B，C分别在半径OA，OD上，且OB＝OC，则该阴影部分面积的最大值为．【考点】扇形面积公式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】．【分析】由题意可得△OBC为等边三角形，进而可得，【解答】解：因为OB＝OC，，所以△OBC为等边三角形，所以，设AB＝a，0＜a＜3，BC＝b，0＜b＜3，连接AD，△OAD为等边三角形，则AD＝a+b＝3，所以，当且仅当a＝b时等号成立．故该阴影部分面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形面积的求法，基本不等式的性质的应用，属于中档题．16．（5分）（2023秋•衡阳县校级期中）已知函数，则函数的零点个数为3．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】3．【分析】令g（x）＝0，得，将问题转化为函数y＝f（x）与的图象的交点个数，作出两函数的图象即可得答案．【解答】解：令g（x）＝0，得f（x），在同一直角坐标系中作出y＝f（x），的大致图象如下：由图象可知，函数y＝f（x）与y的图象有3个交点，即函数g（x）有3个零点．故答案为：3．【点评】本题考查了函数的零点、转化思想和数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022秋•黔西南州期末）已知A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记∠AOB＝α且．（1）求的值；（2）求的值．【考点】运用诱导公式化简求值；两角和与差的三角函数．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用三角函数的基本关系式求得，再结合两角和的余弦公式，即可求解；（2）利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式求得和，结合诱导公式，即可求解．【解答】（1）解：由题意知，可得，因为点B在第二象限，即，所以，又由．（2）解：由，因为，，所以，，所以，即．【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．18．（12分）（2024秋•崂山区校级月考）设p：实数x满足x2﹣5ax+6a2＜0（a≤0），q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【考点】充分不必要条件的应用；解一元二次不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；集合；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．【答案】．【分析】先求解p，q中二次不等式，再根据充分不必要条件列出区间端点满足的不等式求解即可．【解答】解：对于命题q，由于x2+2x﹣8＞0即（x+4）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜﹣4，由于x2﹣x﹣6≤0可得（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤3；故q表示的集合为：x≥﹣2或x＜﹣4．对命题p，x2﹣5ax+6a2＜0（a≤0）即（x﹣2a）（x﹣3a）＜0（a≤0），当a＝0时，x解集为空，满足p是q的充分不必要条件，当a＜0时，有p：3a＜x＜2a．若p是q的充分不必要条件，则2a≤﹣4或3a≥﹣2，解得a≤﹣2或，此时a≤﹣2或．又当a＝0时满足，综上有a的取值范围为．【点评】本题考查的知识点：集合间的关系，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．19．（12分）（2023春•长宁区校级期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：xωx+φ0π2πsin（ωx+φ）010﹣10f（x）000（1）请写出表格中空格处的值，写出函数f（x）的解析式，并画出函数f（x）的大致图像；（2）将函数f（x）的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，求的单调减区间．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】（1），，，函数图象为：（2）（2kπ，2kπ]（k∈Z）．【分析】（1）由题意，根据五点法作图，求出函数的解析式．（2）由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求出y[g（x）]的单调递减区间．【解答】解：（1）由题意可知，求得，又，故函数解析式为f（x）sin（x），设第一行两个数分别为x1，x2，第四行待求数为y2，故由，，解得，所以，综上：，，，函数图象为：（2）将函数f（x）的图像向右平移个单位，可得ysinx的图象，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）sinx的图像，由于函数y[g（x）][sinx]，∴sinx0，即sinx．要使函数y[g（x）][sinx]单调递减，需sinx，且t＝sinx单调递增，令2kπx≤2kπ，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为（2kπ，2kπ]（k∈Z）．【点评】本题主要考查用五点法作图，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．20．（12分）（2024秋•广州期中）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导、全科辅学功能、多国语言学习、标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能．根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万元，且当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由生产该款学习机8万部并全部销售完时的年利润，列方程求出a，生产该款学习机20万部并全部销售完的年利润，列方程求出b，再利用分段函数求出利润W；（2）分别求出0＜x≤10和x＞10时的利润最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元，得（a﹣4×8）×8﹣20﹣8×16＝1196，解得a＝200；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，所以，解得b＝40000．当0＜x≤10时，W＝xR（x）﹣（16x+20）＝x（200﹣4x）﹣（16x+20）＝﹣4x2+184x﹣20；当x＞10时，；综上，利润函数为W．（2）①当0＜x≤10时，W＝﹣4（x﹣23）2+2096单调递增，所以Wmax＝W（10）＝1420；②当x＞10时，，由于，当且仅当，即x＝50∈（10，+∞）时取等号，所以此时W的最大值为3680．由1420＜3680知，当x＝50时，W取得最大值为3680万元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了分类讨论思想及运算求解能力，是中档题．21．（12分）（2022春•辽宁月考）设函数fk（x）＝2x+（k﹣1）•2﹣x（x∈R，k∈Z）．（1）若fk（x）是偶函数，求实数k的值；（2）若存在x∈[1，2]，使得f0（x）+mf1（x）≤4成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的奇偶性．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）k＝2；（2）实数m的取值范围为（﹣∞，]．【分析】（1）由fk（﹣x）＝fk（x），可求得实数k的值；（2）依题意，得当x∈[1，2]时，m4•2﹣x+（2﹣x）2﹣1的最大值，设t＝2﹣x，利用二次函数的性质可求得y＝t2+4t﹣1＝（t+2）2﹣5的最大值，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）若fk（x）是偶函数，则fk（﹣x）＝fk（x），即2﹣x+（k﹣1）•2x＝2x+（k﹣1）•2﹣x，即2﹣x﹣2x＝（k﹣1）（2﹣x﹣2x），则k﹣1＝1，即k＝2；（2）若存在x∈[1，2]，使得f0（x）+mf1（x）≤4成立，即m•2x≤4﹣2x+2﹣x，则m4•2﹣x+（2﹣x）2﹣1，设t＝2﹣x，∵1≤x≤2，∴t，∴4•2﹣x+（2﹣x）2﹣1＝t2+4t﹣1，令y＝t2+4t﹣1＝（t+2）2﹣5，∵t，∴当t时，函数取得最大值y2﹣1．则m，所以实数m的取值范围为（﹣∞，]．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化与化归思想及分离参数法与二次函数配方法的应用，考查运算求解能力，属于难题．22．（12分）（2024春•延庆区校级月考）设a为常数，且a＞1，函数f（x）＝cos2x+2asinx﹣1，若对任意的实数x，都有f（x）≤a2﹣4成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；三角函数的最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】[3，+∞）．【分析】由题意，转化为sin2x﹣2asinx+a2﹣4≥0，令t＝sinx∈[﹣1，1]，即t2﹣2at+a2﹣4≥0，设f（t）＝t2﹣2at+a2﹣4，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解．【解答】解：由函数f（x）＝cos2x+2asinx﹣1，则对任意的实数x，都有f（x）≤a2﹣4，即为cos2x+2asinx﹣1≤a2﹣4成立，即sin2x﹣2asinx+a2﹣4≥0，令t＝sinx∈[﹣1，1]，即t2﹣2at+a2﹣4≥0，设f（t）＝t2﹣2at+a2﹣4，可得函数y＝f（t）开口向上，且对称轴为x＝a，因为a＞1，所以x＝a＞1，所以函数y＝f（t）在t∈[﹣1，1]上单调递减，要使得f（t）≥0，只需f（1）＝1﹣2a+a2﹣4≥0，即a2﹣2a﹣3≥0，解得a≤﹣1或a≥3，综上可得，实数a的取值范围为[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，三角函数的最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．

考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．充分不必要条件的应用【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．集合A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤3}B．{a|﹣1≤a＜2或2＜a≤3}C．{a|2＜a≤3}D．{a|a≥2}解：因为A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}＝{x|（x+2）（x+a）＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B且A≠∅，当﹣a＜﹣2时，A＝{x|﹣a＜x＜﹣2}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≥﹣3，解得2＜a≤3，当﹣a＞﹣2时，A＝{x|﹣2＜x＜﹣a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≤1，解得﹣1≤a＜2，所以﹣1≤a＜2或2＜a≤3．故选：B．3．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒（n∈N，且n＞1）．4．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx．解：∵sinx，∴2kπx≤2kπ（k∈Z），∴不等式sinx的解集为{x|2kπx≤2kπ，k∈Z}．这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔．证明：由ab＞0，知0．又∵a＞b，∴ab，即；若，则∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．5．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：0⇔f（x）•g（x）＞0；0⇔f（x）•g（x）＜0；0⇔；0⇔．6．解一元二次不等式【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣将不等式转化为ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根据根的位置，将数轴分为多个区间．﹣在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．﹣综合各区间的解，写出最终解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}7．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．8．复合函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】复合函数的值域是内层函数和外层函数值域的共同部分．复合函数形式如f（g（x））．﹣分析内层函数g（x）的值域．﹣将内层函数的值域代入外层函数，求出外层函数的值域．﹣综合内层和外层函数的值域，确定复合函数的值域．求函数y＝2|3﹣x|的值域．解：|x﹣3|≥0，则y＝2|3﹣x|≥20＝1，故函数y的值域为[1，+∞）．9．由函数解析式求解函数图象【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．【命题方向】识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．函数的图象大致是（）A.B.C.D.解：∵函数的定义域为R，且对于任意x∈R，有，∴函数为奇函数，故排除C，D，又，∴排除B．故选：A．10．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．11．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m恒成立，∵x2+x+1＝（x）2，∴0，∴m≤0．12．函数的值【知识点的认识】函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．【解题方法点拨】﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．﹣利用函数的值分析其性质和应用．【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．已知函数f（x）．求f（f（f（）））的值；解：，，，故f（f（f（）））．13．幂函数的概念【知识点的认识】幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．解析式：y＝xa定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．14．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；logalogaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；logalogaM．15．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）16．扇形面积公式【知识点的认识】弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slr＝r2α．【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③SαR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．【命题方向】扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1B．4C．1或4D．2或4分析：设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6cm，面积是2cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α＝1或α＝4．选C．点评：本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．17．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．D．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r5．∴cosα，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．18．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．19．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．20．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．21．余弦函数的对称性【知识点的认识】余弦函数的对称性余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．【解题方法点拨】例：（中，三角函数的对称性）若函数（ω＞0）的图象相邻两条对称轴间距离为，则ω等于解：因为y＝cosx的图象相邻两条对称轴距离为π，要使的图象相邻两条对称轴的距离为，则其周期缩小为原来的一半，所以ω＝2．这里面应用了余弦函数的对称轴之间的间隔为半个周期的性质，从而转化为求周期的问题．【命题方向】这是个很基本的考点，也比较容易，但也非常重要，希望大家能够掌握．22．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象【知识点的认识】1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：（1）先确定周期T，在一个周期内作出图象；（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下：xωx+φ0π2πy＝Asin（ωx+φ）0A0﹣A0由此可得五个关键点；（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．2．振幅、周期、相位、初相当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan（ωx+φ）的最小正周期为．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．23．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的认识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．24．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【知识点的认识】根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．25．三角函数的最值【知识点的认识】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【解题方法点拨】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝cos（2x）．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x2•（cos2x﹣sin2x）cos（2x）．故答案为：cos（2x）．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t∴当t时函数有最小值，而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【命题方向】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．26．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．27．求解函数零点所在区间【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．函数的零点所在区间为（）A.B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）解：因为函数，在（0，+∞）上为单调递增函数，又因为f（e）＝10，f（e2）＝20，所以f（x）的零点位于（e，e2）．故选：C．28．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．29．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．【解题方法点拨】﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．【命题方向】常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．30．分段函数的应用【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为（11.8﹣p）万元，政府对该商品征收的税收y（11.8﹣p）p%（万元）故所求函数为y（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是减函数∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【命题方向】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．31．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通