上海市浦东区2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题（含答案解析）

2024学年第一学期期中质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.函数的定义域________.【答案】【解析】【分析】根据对数函数有意义的条件得到不等式求解.【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为，故答案为:.2.设全集，集合，集合，则______．【答案】.【解析】【分析】由已知得，结合全集即可求.【详解】由题意有，，而，∴，故答案为：.【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于简单题.3.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因为故，故答案为：.4.若点在幂函数的图象上，则该幂函数的表达式为_____.【答案】【解析】【分析】将的坐标代入幂函数的解析式易得结果.【详解】将代入，得，解得.所以该幂函数的表达式为.故答案为：.5.若角满足，且，则角属于第_______象限.【答案】二【解析】【分析】根据正弦值、正切值符号判断角所在的象限即可.【详解】由且，根据各象限对应正弦、正切的函数值符号，知属于第二象限.故答案为：二6.不等式的解集为____________．【答案】【解析】【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果.详解】由，得到，等价于，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.7.已知，．则________．（用及表示）【答案】##【解析】【分析】利用对数的运算法则计算即可.【详解】由可知，所以.故答案为：8.已知集合，且，则实数的值为___________.【答案】或0.【解析】【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案.【详解】若，则或当时，，符合元素的互异性；当时，，不符合元素的互异性，舍去若，则或当时，，符合元素的互异性；当时，，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：或0.【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题.9.展开式中的系数为______.【答案】15【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.【详解】展开式中令的项为，所以展开式中的系数为15.故答案为：1510.将5个人排成一排，则甲和乙须排在一起的概率是________.（用数字作答）【答案】##0.4【解析】【分析】应用排列数求5个人排成一排、甲和乙须排在一起的排法数，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】由题设，5个人排成一排有种，甲和乙须排在一起有种，所以甲和乙须排在一起的概率是.故答案为：11.若关于的一元二次方程有两个同号实根，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围.【详解】由题设，即实数的取值范围是.故答案为：12.下面有四个命题：①若点为角的终边上一点，则；②同时满足，的角有且只有一个；③如果角满足，那么角是第二象限的角；④满足条件的角的集合为.其中真命题的序号为________.【答案】④【解析】【分析】①根据正弦函数定义求正弦值判断；②注意任意角定义即可判断；③直接判断角所在象限即可；④根据正切值及任意角定义求角即可判断.【详解】①若点为角的终边上一点，（注意参数a的符号不确定），假命题；②同时满足，，只要终边与相同的角都满足，假命题；③如果角满足，那么角是第三象限的角，假命题；④满足条件的角，，真命题.故答案为：④二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.下列函数中为偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】对四个选项一一验证：对于A：利用奇偶性的定义进行证明；对于B：取特殊值否定结论；对于C：取特殊值否定结论；对于D：取特殊值否定结论.【详解】对于A：的定义域为R.因为，所以为偶函数.故A正确；对于B：对于，，不满足，故不是偶函数.故B错误；对于C：对于，，不满足，故不是偶函数.故C错误；对于D：对于，，不满足，故不是偶函数.故D错误；故选：A.14.“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】化简分式不等式，即可根据充分不必要条件的定义判断.【详解】由可得，解得或，“”可以推出“或”，“或”不能推出“”，例如，故“”是“”的充分非必要条件，故选：A15.已知陈述句是的充分非必要条件.若集合满足，满足，则与的关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据充要条件和集合包含关系可得.【详解】因为是的充分非必要条件，所以成立时一定成立所以x满足时，x一定满足，所以，又成立时推不出成立，即x满足时x不一定满足，所以N不是M的子集.故选：A16.对于函数：①；②；③；有如下两个命题：命题：是偶函数；命题：在上是单调递减函数，在上是单调递增函数.能使命题、均为真所有函数的序号是（）A.①② B.①③ C.② D.③【答案】C【解析】【分析】根据常见函数奇偶性的定义，结合单调性的判断，对函数进行逐一分析，即可容易判断.【详解】①是非奇非偶函数，在上是减函数，在上是增函数，与题意不符；②是偶函数，对称轴为，在上减，在上增，符合，③是偶函数，但在上不是减函数，在上不是增函数，不符，故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断和求解，属综合基础题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（1）设、为实数，比较与的值的大小；（2）已知，求曲线在点处的切线方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）应用作差法比较大小；（2）利用导数几何意义求切线方程.【详解】（1），当且仅当时等号成立，所以；（2），则，因此，曲线在点处的切线斜率为，于是，所求切线方程为，即.18.已知函数的最小正周期为.（1）求与单调递增区间；（2）在中，若，求的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据函数的最小正周期为，可求，并写出函数式进而求的单调递增区间；（2）由（1）结论，求角，根据三角形内角和的性质可知角B、C的关系，进而求B的范围，即可求的取值范围.【详解】（1）因为的最小正周期为，即∴，令解得∴的单调递增区间是（2）在中，若，由（1）得，，所以因为所以，即因为，所以；所以所以的取值范围【点睛】关键点点睛：（1）由最小正周期求参数，利用整体代入法求的单调递增区间；（2）应用三角形内角和性质可得内角B、C的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.19.已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒（1）若，求b、c；（2）若，求c．【答案】（1）1，；（2）﹒【解析】【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．(2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得、的值，进而根据正弦定理可得的值．【小问1详解】∵，由正弦定理得，又，可得，由于，可得．【小问2详解】∵，0＜C＜π，∴，C＞＞A，.∵，∴，又，可解得或(舍)，由正弦定理，可得．20.已知函数.（1）判断函数的奇偶性（不需要说明理由）；（2）若在上恒成立，求a的取值范围；（3）若在上的值域是()，求a的取值范围.【答案】（1）非奇非偶；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据函数定义域是否关于原点对称即可判断；（2）问题化为在上恒成立，求右侧最大值，即可得参数范围；（3）根据函数单调性，将问题化为方程有两个不相等的正根，结合判别式求参数范围.【小问1详解】由于，即定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数；【小问2详解】∵在上恒成立，且，∴在上恒成立，令（当且仅当时取等号），则.故a的取值范围是.【小问3详解】函数在定义域上是增函数.所以，即，故方程有两个不相等的正根，注意到，故只需要且，则.21.已知函数，其中，．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）在内是增函数，在，内是减函数．（2）（3）【解析】【分析】（1）先求得导函数,代入的值,根据零点及自变量、、的变化情况即可求得单调区间．（2）根据极值点的，即可判断出成立，进而利用判别式求得的取值范围．（3）根据条件，可知，从而判断出在上的最大值，进而可得关于的不等式组，根据的范围即可求得的取值范围．【详解】（1）先求得导函数为当时，．令，解得，当变化时，