第2课时基本不等式的综合应用（学案）-2021-2022学年高一数学教材配套学案（人教A版2019必修第一册）含答案及解析

2.2基本不等式第2课时基本不等式的综合应用【学习目标】课程标准学科素养1.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题(难点)；2.能够对式子进行变形，构造定值；3.会用基本不等式解决恒成立问题(重点)。1、逻辑推理2、数学运算3、数学建模【自主学习】一．基本不等式与最值已知x、y都是正数，1.若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____．2.若和x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____．二．运用基本不等式求最值的三个条件：1.“一正”：x，y必须是；2.“二定”：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为.3.“三相等”：当且仅当x=y时，等号成立。三．通过变形构造定值的方法如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值。需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常值代换法“1”的代换。【小试牛刀】思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.()(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2eq\r(2).()(3)当x>1时，函数y＝x＋eq\f(1,x－1)≥2eq\r(\f(x,x－1))，所以函数y的最小值是2eq\r(\f(x,x－1)).()(4)若x∈R，则x2＋2＋eq\f(1,x2＋2)≥2.()【经典例题】题型一利用基本不等式求最值例1当x>0时，y＝eq\f(12,x)＋4x的最小值为()A．4B．8C．8eq\r(3) D．16【跟踪训练】1已知x<0，求最大值。思路点拨：利用基本不等式求最值要满足“一正”、“二定”、“三相等”，现在x<0，通过变形再利用基本不等式求最值。题型二变形构造定值—配项法点拨：求和的最小值时，可以通过配项，使两个因式的积为定值。一般情况下，两个因式会为整式和分式，将整式部分配成分式分母的形式。变形的过程中要保证恒等变形。例2当x>1时，求函数y＝x＋eq\f(1,x－1)最小值。【跟踪训练】2若x<3，则实数f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值为________．题型三变形构造定值—配系数法点拨：求积的最大值时，通过因式中的系数变形，使两个因式的和为定值。变形的过程中要保证恒等变形。例3已知0＜x＜eq\f(1,2)，求f(x)＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值。【跟踪训练】3若0＜x＜eq\f(1,2)，则函数y＝xeq\r(1－4x2)的最大值为()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)题型四变形构造定值—分式型基本不等式点拨：分式型基本不等式有两种形式当分子次数高于分母次数时，将分母当成整体，将分子改写成含有分母整体的形式，便可构造出积为定值的形式，利用基本不等式求解。当分子次数低于分母次数时，分子分母同时除以分子，将分子化为常数，分母利用基本不等式求解。例4已知x>0，则函数的最小值为_______.【跟踪训练】4已知x＞0，求y＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值．题型五变形构造定值—常值代换法“1”的代换点拨：对于已知题型，通常采用这种方法。（其中a，b均为正数）例5。【跟踪训练】5已知x＞0，y＞0且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，则x＋y的最小值为________.题型六利用基本不等式解决实际问题例6如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【跟踪训练】6某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？【当堂达标】1.设x，y为正数，则(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值为()A．6B．9C．12 D．152.若－4<x<1，则y＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)()A．有最小值1B．有最大值1C．有最小值－1 D．有最大值－13.已知a＞0，b＞0，若不等式eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，则m的最大值等于()A.10B.9C.8 D.74.已知x，y>0，且满足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．5.已知正数x，y满足x＋y＝1，则eq\f(4,x＋2)＋eq\f(1,y＋1)的最小值为________.6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．7.(1)已知x<3，求f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值；(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

【参考答案】【自主学习】2PS24【小试牛刀】(1)√(2)×(3)×(4)×【经典例题】例1C解析：∵x>0，∴eq\f(12,x)>0,4x>0.∴y＝eq\f(12,x)＋4x≥2eq\r(\f(12,x)·4x)＝8eq\r(3).当且仅当eq\f(12,x)＝4x，即x＝eq\r(3)时取最小值8eq\r(3)，∴当x>0时，y的最小值为8eq\r(3).【跟踪训练】1解：∵x<0，∴通过变形，∵∴当且仅当，即时，等号成立，取得最大值。例2解：通过配项得；当且仅当＝，即x＝2时，等号成立，取得最小值3.【跟踪训练】2－1解析：∵x<3，∴x－3<0，∴f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x＝eq\f(4,x－3)＋(x－3)＋3＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3≤－2eq\r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，当且仅当eq\f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时取“＝”号．∴f(x)的最大值为－1.例3解：因为0＜x＜eq\f(1,2)，所以1－2x＞0，f(x)＝eq\f(1,2)x(1－2x)＝eq\f(1,4)·2x(1－2x)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋（1－2x）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)，当且仅当2x＝1－2x，即x＝eq\f(1,4)时等号成立，所以f(x)的最大值为eq\f(1,16).【跟踪训练】3C解析：∵0＜x＜eq\f(1,2)，∴1－4x2＞0，∴xeq\r(1－4x2)＝eq\f(1,2)×2xeq\r(1－4x2)≤eq\f(1,2)×eq\f(4x2＋1－4x2,2)＝eq\f(1,4)，当且仅当2x＝eq\r(1－4x2)，即x＝eq\f(\r(2),4)时等号成立.例4-2解析：∵x>0，∴当且仅当x=1时，等号成立。【跟踪训练】4解：y＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x)).∵x＞0，∴x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，∴0＜y≤eq\f(2,2)＝1，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时，等号成立．故y的最大值为1.例5解：当且仅当【跟踪训练】516解析：法一(1的代换)：因为eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，所以x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y).因为x＞0，y＞0，所以eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝6，当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，即y＝3x①时，取“＝”.又eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，②解①②可得x＝4，y＝12.所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.法二(消元法)：由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，得x＝eq\f(y,y－9).因为x＞0，y＞0，所以y＞9.所以x＋y＝eq\f(y,y－9)＋y＝y＋eq\f(y－9＋9,y－9)＝y＋eq\f(9,y－9)＋1＝(y－9)＋eq\f(9,y－9)＋10.因为y＞9，所以y－9＞0，所以(y－9)＋eq\f(9,y－9)≥2eq\r(（y－9）·\f(9,y－9))＝6.当且仅当y－9＝eq\f(9,y－9)，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4，所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.例6解：(1)设每间虎笼长xm，宽为ym，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.由于2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，∴2eq\r(6xy)≤18，得xy≤eq\f(27,2)，即S≤eq\f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4.5，,y＝3.))故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.∵2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4.))故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．【跟踪训练】6解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1＝eq\f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝9x＋eq\f(900,x)＋10809≥2eq\r(9x·\f(900,x))＋10809＝10989(元)，当且仅当9x＝eq\f(900,x)，即x＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.【当堂达标】1.B解析：(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝x·eq\f(1,x)＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)＋y·eq\f(4,y)＝1＋4＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)≥5＋2eq\r(\f(4x,y)·\f(y,x))＝9.2.D解析：∵－4<x<1，∴x-1>0,∴当且仅当x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝0时等号成立．3.B解析：因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，只需m≤(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))恒成立，而(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝4＋eq\f(2a,b)＋eq\f(2b,a)＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.4.3解析：∵x，y>0，∴eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1≥2eq\r(\f(xy,12))，得xy≤3，当且仅当eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)即x＝eq\f(3,2)，y＝2时，取“＝”号，∴xy的最大值为3.5.eq\f(9,4)解析：正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，则eq\f(4,x＋2)＋eq\f(1,y＋1)＝eq\f(1,4)[(x＋2)＋(y＋1)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋2)＋\f(1,y＋1)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\f(x＋2,y＋1)＋\f(4（y＋1）,x＋2)))≥eq\f(1,