2025年中考数学二轮复习《圆》解答题专项练习一（含答案）

2025年中考数学二轮复习《圆》解答题专项练习一LISTNUMOutlineDefault\l3如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连结DE.(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．LISTNUMOutlineDefault\l3如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是弧DE的中点.

（1）求证：直线l是⊙O的切线；

（2）若PA=6，求PB的长LISTNUMOutlineDefault\l3如图，AB是⊙O的直径，点E是弧AD上的一点，∠DBC＝∠BED.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知AD＝3，CD＝2，求BC的长.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．(1)求证：EF⊥AB；(2)若∠C＝30°，EF＝eq\r(6)，求EB的长．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.(1)求证：∠ADC=∠ABD；(2)求证：AD2=AM·AB；(3)若AM=eq\f(18,5)，sin∠ABD=eq\f(3,5)，求线段BN的长.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长.[LISTNUMOutlineDefault\l3如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PC：AP＝1：2，PF＝3，求AF的长.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC长.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3（1）证明：连接OB，如图所示：∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD，=，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC==10，∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，∴BE===4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．LISTNUMOutlineDefault\l3解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)证明：如图，连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB.∵DF⊥AB，∴OD⊥DF.∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切；(2)∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED＋∠ACD=180°.∵∠AED＋∠BED=180°，∴∠BED=∠ACD.又∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA.∴eq\f(BD,BA)=eq\f(BE,BC).∵OD∥AB，AO=CO，∴BD=CD=eq\f(1,2)BC=3，又∵AE=7，∴eq\f(3,7＋BE)=eq\f(BE,6)，解得BE=2.∴AC=AB=AE＋BE=7＋2=9.LISTNUMOutlineDefault\l3（1）证明：连接DE，OA.

∵PD是直径，∴∠DEP=90°，

∵PB⊥FB，∴∠DEP=∠FBP，∴DE∥BF，

∵，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，

∴直线l是⊙O的切线.

（2）作OH⊥PA于H.

∵OA=OP，OH⊥PA，∴AH=PH=3，

∵OA∥PB，∴∠OAH=∠APB，

∵∠AHO=∠ABP=90°，∴△AOH∽△PAB，

LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DBC＝∠BED，∠BED＝∠A，∴∠DBC＝∠A，∵∠A＋∠ABD＝90°，∴∠DBC＋∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°，∵OB⊙O是半径，∴BC是⊙O的切线；(2)∵∠BAD＝∠DBC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，∴BC2＝AC•CD＝(AD＋CD)•CD＝10，∴BC＝eq\r(10).LISTNUMOutlineDefault\l3证明：(1)连接AD、OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，又∵AB＝AC，∴CD＝DB，又CO＝AO，∴OD∥AB，∵FD是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴FE⊥AB；(2)∵∠C＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠F＝30°，∴OA＝OD＝eq\f(1,2)OF，∵∠AEF＝90°EF＝eq\r(6)，∴AE＝eq\r(2)，∵OD∥AB，OA＝OC＝AF，∴OD＝2AE＝2eq\r(2)，AB＝2OD＝4eq\r(2)，∴EB＝3eq\r(2)．LISTNUMOutlineDefault\l3(1)证明：连结OD.∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1＋∠2=∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠3.∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD.(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD=∠ADB=90°.又∵∠1=∠4，∴△ADM∽△ABD，∴eq\f(AM,AD)=eq\f(AD,AB)，∴AD2=AM·AB.(3)解：∵sin∠ABD=eq\f(3,5)，∴sin∠1=eq\f(3,5).∵AM=eq\f(18,5)，∴AD=6，∴AB=10，∴BD=eq\r(AB2－AD2)=8.∵BN⊥CD，∴∠BND=90°，∴∠DBN＋∠BDN=∠1＋∠BDN=90°，∴∠DBN=∠1，∴sin∠DBN=eq\f(3,5)，∴DN=eq\f(24,5)，∴BN=eq\r(BD2－DN2)=eq\f(32,5).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC＋∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC＋∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＋∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)∵DE∥AC，∵∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝eq\f(1,2)AC，∵∠CDE＋∠BDC＝90°，∠BDC＋∠CBD＝90°，∴∠CDE＝∠CBD，∵∠DCE＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD＝4，在Rt△BCD中，BD＝4eq\r(5)同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF＝eq\f(8\r(5),5)，∴AC＝2AF＝eq\f(16,5)eq\r(5).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)AB是⊙O切线.理由：连接DE、CF.∵CD是直径，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＋∠ACE＝180°，∴DE∥AC，∴∠DEA＝∠EAC＝∠DCF，∵∠DFC＝90°，∴∠FCD＋∠CDF＝90°，∵∠ADF＝∠EAC＝∠DCF，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O切线.(2)∵∠CPF＝∠CPA，∠PCF＝∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴＝，∴PC2＝PF•PA，设PC＝a.则PA＝2a，∴a2＝3×2a，∴a＝6，∴PA＝2a＝12，则AF＝12﹣3＝9.LISTNUMOutlineDefault\l3(1)证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠O