初升高数学最值专题轨迹圆问题【学生版】

第6节轨迹为圆（弧）的动点最值问题

目标层级图

课中讲解

一.动点到定点等于定长

动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。

1、沿定点翻折轨迹是圆

例1.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11,0）,点B

（0,6）,点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片,

则CB，的最小值为o

例2.如图在RSABC中，ZB=90°,NC=30。，AB=1,D为线段AC上一动点，将ABDC

沿着BD翻折，点C的对应点为F,E为AC的中点，在D从C到A的运动过程中，当EF

最短时，CD=。

2

例3.如图，在矩形ABC。中，AB=6,4）=3,M是4）边的中点，N是AB边上的一

动点，将A4MV沿MN所在直线翻折得到△4MN,连接AC.在MN上存在一动点尸.连

接A'?、CP,则△A'PC周长的最小值是.

过关检测

1.如图，在AABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点（不与点B

重合），将ABCP沿CP所在的直线翻折，得到△BCP,连接BA,则B，A长度的最

小值是o

2.如图，四边形ABCD中，AD//BC,/3_L8C,点尸是边4。上一动点，将AAB尸沿成

折叠得到反5EP,连接DE,CE,已知/$=4,4）=3,BC=6,则△CDE面积的最小

值为

3

2、有公共端点的线段等长，等同于圆上点与圆心的连线

方法：往往需要画出圆轨迹，利用圆的性质解决问题，类似于四点共圆。

例1.如图，四边形A3CD中，AB=AC=AD,若NC4D=80°,贝jlNCB£>=度.

例2.如图，边长为&的正方形旗CD的顶点A、3在一个半径为灰的圆上，顶点C、D

在圆内，将正方形48C。沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动.当点C第一次落在圆上

时，点。运动的路径长为.

过关检测

1.如图，O。的半径为2,AB,CD是互相垂直的两条直径，点P是OO上任意一点（P与

A,B,C,。不重合），过点尸作EM_L反于点M,PN1CD千点、N,点Q是MN的

中点，当点F沿着圆周转过45。时，点Q走过的路径长为一.

4

2.如图，已知0。的半径为3,圆外一定点。满足OC-5,点尸为8上一动点，经过点。

的直线/上有两点A、B,且。4=08,NA尸8=90°，/不经过点C,则的最小值

二.定弦定角（包括直角所对的是直径）

当某条边与该边所时的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧.

见直角T找斜边（定长）一想直径T定外心一现“I员I”形；

见定角一找对边（定长）T想周角一转心角一现“圆''形；

【一般解题步骤】

①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45。、60。或者一个确

定的三角函数的对角等）

③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

5

（一）见直角

例1.如图，RtAABC中，AB工BC,AB-6,BC-4,P是A4BC内部的一个动点，且

满足NR$=NPBC，则线段CP长的最小值为o

例2.（2020•青羊区模拟）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=6O°,AC=2x/5,点尸

为A8边上的一个动点，连接PC,过点P作PQ_LPC交8C边于点。，则8Q的最大值

为一.

例3.如图，半径为4的0。中，CZ）为直径，弦A8_L8且过半径OZ）的中点，点E为QO

上一动点，于点尸.当点石从点8出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径

长为o

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过关检测

1.如图，已知RtAABC中，AC=5,3c=12,NACB=90。，尸是边AB上的动点，Q是

边8C上的动点，且NCPQ=90。，则线段CQ的取值范围是.

（二）见定弦定角

例1.如图，点A是直线y=T上的动点，点B是x轴上的动点，若A6=2,则A4OB面积

过关检测

1.如图，A4BC为等边三角形，AB=2,若尸为AABC内一动点，且满足NRW=NACP,

则线段依长度的最小值为一.

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学习任务

I.平行四边形458中，NA=60>,AB=BC=2,M是4)边的中点，N是AB边上的一

动点，将A4A/N沿用N所在直线翻折得到△HMV,连接4C,则AC长度的最小值是

()

A.7577-1

2.如图，在RSABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点尸在边AC上，并且b=2,点

E为边8c上的动点，将ACE尸沿直线所翻折，点C落在点尸处，则点尸到边距离的

最小值是.

CE

3.如图，E,尸是正方形ABCO的边AD上的两个动点，满足A£=O/"连接C尸交班>于

点G,连接BE交AG于点”.若正方形的边长为4,则线段。“长度的最小值是—.

4.如图，4ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，BE_LAD于E,则CE的

最小值为___________

R