新教材适用2024-2025学年高中数学第10章概率综合测试新人教A版必修第二册

第十章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从5名男生和4名女生中任选3人去参与学校“献爱心，暖人心”下列各事务中，互斥不对立的是(C)A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至少有1名男生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名女生”与“至多有1名男生”[解析]“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事务，A错；“至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事务，B错；“至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事务，D错；“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事务，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种状况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事务，C正确．2．甲、乙两所学校实行了某次联考，甲校成果的优秀率为30%，乙校成果的优秀率为35%，现将两所学校的成果放到一起，已知甲校参与考试的人数占总数的40%，乙校参与考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成果，则取到优秀成果的概率为(D)A．0.165 B．0.16C．0.32 D．0.33[解析]由题意得：将两所学校的成果放到一起，从中任取一个学生成果，取到优秀成果的概率为30%×40%＋35%×60%＝0.33.3．如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq\f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率为(D)A.eq\f(1,16) B．eq\f(3,16)C．eq\f(1,4) D．eq\f(13,16)[解析]由题意，灯泡不亮包括：4个开关都断开；甲、丙、丁都断开，乙闭合；乙、丙、丁都断开，甲闭合，这三种状况是互斥的，每一种状况中的事务都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,16)，所以灯泡亮的概率为1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).4．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(D)A.eq\f(3,4) B．eq\f(1,3)C.eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)[解析]用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元．乙、丙、丁三人抢完6元钱的全部不同的可能结果有10种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙获得“手气最佳”的全部不同的可能结果有4种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2).依据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).5．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：购买A种医用口罩购买B种医用口罩购买C种医用口罩甲0.10.4乙0.30.2则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为(B)A．0.24 B．0.28C．0.30 D．0.32[解析]由表知：甲购买A口罩概率为0.5，乙购买B口罩概率为0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28.6．已知某运动员每次投篮命中的概率是40%.现采纳随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907966191925271431932458569683.该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(C)A.eq\f(1,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(9,10)[解析]由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,932,271共3组随机数，故所求概率为eq\f(3,10).7．某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业选购 ，利用如下方法进行抽检：从该企业产品随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则确定选购 该企业产品；否则，拒绝选购 ．假设该企业这批产品中，每包产品含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占10%，则小张确定选购 该企业产品的概率为(B)A.eq\f(1,30) B．eq\f(43,75)C．eq\f(3,50) D．eq\f(1,10)[解析]依据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占10%，则含1个二等品零件的包数占90%，在含1个二等品零件的产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率为P1＝eq\f(C\o\al(4,9),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,5)，在含2个二等品零件的产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率为P2＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,3)，则小张确定选购 该企业产品的概率为P＝eq\f(9,10)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,10)×eq\f(1,3)＝eq\f(43,75).8．排球竞赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球竞赛中，甲队在每局竞赛中获胜的概率都相等，均为eq\f(2,3)，前2局中乙队以2∶0领先，则最终乙队获胜的概率是(B)A.eq\f(4,9) B．eq\f(19,27)C．eq\f(11,27) D．eq\f(40,81)[解析]最终乙队获胜包含3种状况：第三局乙胜；第三局甲胜，第四局乙胜；第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最终乙队获胜的概率P＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(19,27).二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．分别抛掷两枚质地匀称的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)，设事务M＝“第一枚骰子的点数为奇数”，事务N＝“其次枚骰子的点数为偶数”，则(BCD)A．M与N互斥 B．P(M)＝eq\f(1,2)C．M与N相互独立 D．P(M∪N)＝eq\f(3,4)[解析]由题意，第一枚骰子的点数与其次枚骰子的点数互不影响，故事务M与事务N为相互独立事务，故A错误，C正确；P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故B正确；P(M∪N)＝1－P(eq\x\to(M)∩eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，故D正确．故选BCD.10．某社区开展“防疫学问竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为(AD)A．p(1－q)＋q(1－p)＋pqB．p＋qC．pqD．1－(1－p)(1－q)[解析]记事务A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”．则P(A)＝p，P(B)＝q，且A，B相互独立．从正面考虑，甲、乙两人中至少有一人获得一等奖为Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B＋AB，为三个互斥事务的并，所以P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B＋AB)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＋P(AB)＝P(1－q)＋q(1－p)＋pq，故A正确；从反面考虑，事务“甲、乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事务是“甲、乙两人都没获得一等奖”，即事务eq\x\to(A)eq\x\to(B)，易得P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝(1－p)(1－q)，所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－(1－p)(1－q)．故D正确．故选AD.11．如图，一个正八面体，八个面分别标有数字1到8，随意抛掷一次这个正八面体，视察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．事务A表示“数字为偶数”，事务B表示“数字大于4”，事务C表示“数字为3,4,5,6中的一个”，则以下结论正确的是(ACD)A．事务A与事务B独立B．事务A与事务C不独立C．事务B与事务C独立D．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)[解析]由题意得：事务A包含{2,4,6,8}，则P(A)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，事务B包含{5,6,7,8}，则P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，事务C包含{3,4,5,6}，则P(C)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，事务AB包含{6,8}，则P(AB)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，事务AC包含{4,6}，则P(AC)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，事务BC包含{5,6}，则P(BC)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，事务ABC包含{6}，则P(ABC)＝eq\f(1,8).明显，P(AB)＝P(A)P(B)，事务A与事务B独立，故A正确；P(AC)＝P(A)P(C)，事务A与事务C独立，故B错误；P(BC)＝P(B)P(C)，事务B与事务C独立，故C正确；P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，故D正确．故选ACD.12．一个质地匀称的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记事务M为“第一次向下的数字为3或4”，事务N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是(AD)A．事务M发生的概率为eq\f(1,2)B．事务M与事务N互斥C．事务eq\x\to(M)∩eq\x\to(N)发生的概率为eq\f(1,2)D．事务M与事务N相互独立[解析]抛掷该正四面体两次，基本领件有4×4＝16种，依题意：事务M为“第一次向下的数字为3或4”，事务N为“两次向下的数字之和为偶数”，所以P(M)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，A选项正确．若两次投掷向下的数字都为3,3＋3＝6，则事务M，N同时发生，所以M与N不互斥，B选项错误．事务eq\x\to(M)∩eq\x\to(N)表示：“第一次向下的数字为1或2，且两次向下的数字之和为奇数”，包含的事务为：(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，共4种，所以事务eq\x\to(M)∩eq\x\to(N)发生的概率为eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).事务M∩N表示：“第一次向下的数字为3或4，且两次向下的数字之和为偶数”，包含的事务为：(3,1)，(3,3)，(4,2)，(4,4)，共4种，所以事务M∩N发生的概率为eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).事务N包含的事务为(1,1)，(1,3)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(4,2)，(4,4)，共8种，所以P(N)＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2)，所以P(MN)＝P(M)P(N)，即事务M与事务N相互独立，所以D选项正确．故选AD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为eq\f(3,4).[解析]记“任取一球为白球”为事务A，“任取一球为黑球”为事务B，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(10,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).14．北京高校为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春幻想实现中华民族宏大复兴”新建立3个社团，若每位同学参与各个社团的可能性相同，每位同学必需参与社团且只能参与其中一个社团，则甲、乙两位同学参与同一社团的概率为eq\f(1,3).[解析]记3个社团分别为A，B，C，依题意甲参与A社团的概率为eq\f(1,3).乙参与A社团的概率为eq\f(1,3)，所以甲和乙都参与A社团的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，同理可得甲和乙都参与B社团的概率为eq\f(1,9)，甲和乙都参与C社团的概率为eq\f(1,9)，所以甲、乙两位同学参与同一社团的概率为eq\f(1,9)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,9)＝eq\f(1,3).15．如图，我国古代珠算算具——算盘的每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，每珠代表数值5，梁下面5颗叫下珠，每珠代表数值1，若从个位档与十位档靠梁拨3颗珠(每档至少拨一珠，同一档不行拨两颗上珠)，表示两位数，记所得的两位数为X，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X>30))＝eq\f(1,2).[解析]由已知随机试验从个位档与十位档靠梁拨3颗珠，表示两位数，可得下列结果：61,65,21,25,56,52,16,12，共8个结果，其中随机事务X>30包含下列结果，61,65,56,52，所以P(X>30)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).16．我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因确定的，每个人的血型由这三个等位基因中的随意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血．比如父亲和母亲的血型分别为AO，AB，则孩子的血型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果．已知小明的爷爷，奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是B型血的概率为eq\f(1,4).[解析]小明的父亲可能血型为AA，BB，AB，概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，eq\f(1,2).AA与AB的孩子血型可能为AA，AB，无B型血，BB与AB的孩子血型可能为AB，BB，概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，即B型血的概率为eq\f(1,2)，AB与AB的孩子血型可能为AA，BB，AB，概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，即B型血的概率为eq\f(1,4)，所以小明是B型血的概率为eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4).四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级状况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参与学问竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出全部可能的结果；(2)设M为事务“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事务M发生的概率．[解析](1)从6名同学中随机选出2人参与学问竞赛的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的全部可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事务M发生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).18．(本小题满分12分)已知A，B两种奖券的中奖率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3).(1)若甲购买了A，B两种奖券各一张，求恰有一张奖券中奖的概率；(2)若甲购买的A，B两种奖券数量相同，为了保证甲中奖的概率大于eq\f(99,100)，求甲至少要购买的奖券数量．[解析](1)恰有一张奖券中奖的概率为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).(2)设甲购买的奖券数量为2x，则A，B两种奖券的数量均为x.甲没中奖的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，所以甲中奖的概率为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x.由1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x>eq\f(99,100)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x<eq\f(1,100)，因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,81)>eq\f(1,100)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5＝eq\f(1,243)<eq\f(1,100)，且y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x为减函数，所以x≥5.故甲至少要购买的奖券数量为5×2＝10.19．(本小题满分12分)M公司从某高校招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成果(单位：分)如下：男：165166168172173174175176177182184185193194女：168177178185186192公司规定：成果在180分以上(包括180分)者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．(1)求男生成果的中位数及女生成果的平均数；(2)假如用分层随机抽样的方法从“甲部门”的人选和“乙部门”的人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一个是“甲部门”人选的概率是多少？[解析](1)男生共有14人，中间两个成果是175和176，因此男生成果的中位数是175.5.女生成果的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(168＋177＋178＋185＋186＋192,6)＝181.(2)用分层随机抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选共20人中抽取5人，每个人被抽中的概率是eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).由题意可知，“甲部门”的人选有8人，“乙部门”的人选有12人．所以选取的“甲部门”的人选有8×eq\f(1,4)＝2(人)，“乙部门”的人选有12×eq\f(1,4)＝3(人)．记选中的“甲部门”的人选为A1，A2，选中的“乙部门”的人选为B，C，D.从这5人中选2人的全部可能结果为(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．其中至少有一个是“甲部门”的人选的结果有7种．所以至少有一个是“甲部门”人选的概率为eq\f(7,10).20．(本小题满分12分)某偏远县政府为了帮助当地农夫实现脱贫致富，大力发展种植产业，依据当地土壤状况，选择了两种农作物A，B，激励每户选择其中一种种植．为了解当地农户对两种农作物的选择种植状况，从该县的甲村和乙村分别抽取了500户进行问卷调查，所得数据如下：全部农户对选择种植农作物A，B相互独立.村庄农作物甲村乙村A250150B250350(1)分别估计甲、乙两村选择种植农作物A的概率；(2)以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取2户，求至少有2户选择种植农作物B的概率；(3)经调研，农作物A的亩产量为800斤、900斤、1000斤的概率分别为eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(2,5)，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物A，求这两个农户中，甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村的概率．[解析](1)记“甲村选择种植农作物A”为事务A，“乙村选择种植农作物A”为事务B，则P(A)＝eq\f(250,500)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(150,500)＝eq\f(3,10).(2)因为甲村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，乙村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为eq\f(3,10)，eq\f(7,10).随机抽取的4户中有0户选择种植农作物B的概率为：P1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(9,400).有1户选择种植农作物B的概率为：P2＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2×eq\f(3,10)×eq\f(7,10)＝eq\f(60,400)＝eq\f(3,20).记“至少有2户选择种植农作物B”为事务C，则P(C)＝1－P1－P2＝1－eq\f(9,400)－eq\f(3,20)＝eq\f(331,400).(3)记“甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村”为事务D，则P(D)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋\f(2,5)))＝eq\f(8,25).21．(本小题满分12分)某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满足程度，相关部门从甲，乙两个社区各抽取了20人进行打分(分数为正整数，满分100分)．甲社区20名居民的打分记录如下：52,56,59,63,64,70,71,73,75,75,80,80,81,82,85,86,88,89,93,95.将乙社区20名居民的打分分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，并画出了其频率分布直方图(1)依据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；(2)估计乙社区20名居民打分的平均分(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；(3)现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率．[解析](1)因为20×75%＝15，所以这20个数据的第75百分位数是从小到大排列的第15和第16个数的平均数，即eq\f(85＋86,2)＝85.5，