新高考2025届高考数学二轮复习专题突破精练第1讲函数的旋转两函数的对称问题教师版

第1讲函数的旋转、两函数的对称问题一．选择题（共9小题）1．（2024•青岛开学）将函数的图象绕点逆时针旌转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为A． B． C．1 D．【解答】解：由，得，原函数的图象是以为圆心，以为半径的圆的部分，如图：设过与圆相切的直线的斜率为，则直线方程为，即．由，解得．要使对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大角满意，，可得．最大时的正切值为．故选：．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数的概念，考查化归与转化、数形结合思想，属难题．2．（2024春•池州期末）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中（1）的取值只可能是A． B．1 C． D．0【解答】解：由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．设处的点为，的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，旋转后的对应点也在的图象上，同理的对应点也在图象上，以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当（1）时，即，此时，不满意函数定义；当（1）时，即，此时，不满意函数定义；当（1）时，即，此时，，，，不满意函数定义；故选：．【点评】本题考查函数值的求法，考查学生分析解决问题的实力，考查函数定义等基础学问，考查数形结合思想，是中档题3．（2017春•新华区校级期末）将函数图象绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为A． B． C． D．【解答】解：由题意，函数图象如图所示，函数在，上为增函数，在，上为减函数．设函数在处，切线斜率为，则（1），（1），可得切线的倾斜角为，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为，也就是说，最大旋转角为，即的最大值为即．故选：．【点评】本题考查了导数的几何意义和函数的图象与图象改变等学问点，将函数图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是一个函数的图象，求角的最大值，属于中档题．4．（2024春•徐汇区校级期中）2024年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图①，而奇妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界．数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点，，两动点，，且，绕点逆时针旋转到所形成的角记为．设函数，，其中，，随着的改变，就得到了的轨迹，其形似“蝴蝶”．则以下4幅图中，点的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为A． B． C． D．【解答】解：本题比较抽象，考虑特别状况．先考虑与共线的蝴蝶身方向，令，，要满意，故解除，；再考虑与垂直的方向，令，要满意，故解除，故选：．【点评】本题考查的学问要点：信息题，实际问题的处理，赋值法，主要考查学生的运算实力和数学思维实力，属于基础题．5．（2024秋•上高县校级月考）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”．经探讨发觉全部的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则A． B． C．8084 D．8088【解答】解：因为函数，则，，令，解得，且（1），由题意可知，的拐点为，故的对称中心为，所以，所以．故选：．【点评】本题考查了函数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，考查了逻辑推理实力与转化化归实力，属于中档题．6．（2024春•齐齐哈尔期末）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”．经过探究发觉：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：，，，令，得，又（1），所以的对称中心为，所以，所以，故选：．【点评】本题考查函数新定义，解题中须要理清思路，属于中档题．7．（2024•武侯区校级模拟）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：由已知可得，方程在上有两解，即在上有解．设，则，令，得，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增．当时，取得最小值（1），时，，时，，实数的取值范围是．故选：．【点评】本题考查了导数的应用，函数零点与方程根的关系，属于中档题．8．（2024春•海淀区校级期末）若函数，，为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是A． B．， C． D．【解答】解：依据题意，若函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则方程，即方程在区间上有两组解，设函数，其导数，又由，在有唯一的极值点．分析可得：当时，，为减函数；当时，，为增函数，故函数有最小值（1），又由，（e），比较可得（e），故函数有最大值（e）．故函数在区间上的值域为，；若方程在区间上有两组解，必有，则有，则的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查利用导数探讨函数的单调性，属于较难题型．9．函数定义在上，已知的图象绕原点旋转后不变，则关于方程的根，下列说法正确的是A．没有实根 B．有且仅有一个实根 C．有两个实根 D．有两个以上的实根【解答】解：函数定义在上，的图象绕原点旋转后不变，与其反函数是同一个函数，关于对称，原点是它的对称点，当时，，，解得，是唯一解．方程有且仅有一个实数根．故选：．【点评】本题考查实数的根的推断，考查函数性质等基础学问，考查运算求解实力，考查函数与方程思想，是基础题．二．多选题（共3小题）10．（2024•沈河区校级四模）将函数的图象绕坐标原点顺时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍旧是一个函数的图象，则的可能取值为A． B． C． D．【解答】解：要使曲线仍旧是一个函数的图象，则需满意在旋转过程中，曲线的随意切线的倾斜角小于等于，由，则，，当且仅当时，取得最小值，即在时出的切线的斜率最小，此时倾斜角为，故，，故选：．【点评】本题考查了导数的几何意义，考查了转化与化归思想，属于中档题．11．（2024秋•苍南县校级月考）取整函数：不超过的最大整数，如，，，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是依据“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有A．， B．， C．，，，则 D．，，【解答】解：依据题意：对于选项：当时，，，故选项错误．对于选项：当时，．故选项正确．对于选项：只要满意的整数或所取的整数相同，则，故选项正确．对于选项：当，，所以，，故选项错误．故选：．【点评】本题考查的学问要点：数的取整问题，赋值法的应用，主要考查学生的运算实力和转换实力及思维实力，属于基础题．12．（2024•雨花区校级模拟）已知函数，，且，函数，的图象绕坐标原点顺时针旋转所得新的函数图象与原函数图象重合，其中可以取随意正整数，则的值不行能为A．0 B． C． D．【解答】解：若，则通过连续顺时针旋转，依次可得,，此时对应,不符合函数概念，所以选项不行能对，同理选项也不行能对，而有可能成立，故选：．【点评】本题考查函数的概念，一个只能对应一个，考查的方式比较创新，属于难题．三．填空题（共8小题）13．（2024秋•天心区校级月考）设函数．（1）该函数的最小值为2；（2）将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的取值范围是．【解答】解：（1）先画出函数的图象由图可知，该函数的最小值为2．（2）由图可知，当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于时，曲线都不是一个函数的图象则的取值范围是：，．故答案为：2；，．【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的实力，属于基础题．14．（2024秋•岳麓区校级期中）设，，为实数，，．记集合，，，，若，分别为集合元素，的元素个数，则下列结论可能的是①②③①且②且③且④且．【解答】解：方程若有实数根，则方程也有实数根，且相应的互为倒数，且若，则方程与方程的根也互为倒数．若，则满意且，故①正确；若，，，则满意且，故②正确；若，，，则满意且，故③正确；若．则方程有三个不同的实根，则他们的倒数也不同，故，则④错误．故答案为①②③．【点评】本题考查了集合中元素的个数及集合元素的特征，同时考查了二次方程的解，属于中档题．15．（2024秋•西城区校级期中）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数．（1）若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则（1）是（填是或否）可能为1．（2）若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则（1）可能取值只能是．①②③④0【解答】解：（1）由题意得到：问题相当于圆上由4个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当（1）（2）通过代入，当（1），，0时此时得到的圆心角为，，0，然而此时或者时，都有2个与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个只能对应一个，因此只有当，此时旋转，此时满意一个只会对应一个，因此答案就选：②．故答案为：1；②．【点评】本题考查的学问要点：定义性函数的应用．16．（2024•香洲区校级模拟）已知函数的图象关于直线对称，则8；的最大值为．【解答】解：由题意，函数的图象关于直线对称，则且（1），所以，解得，，所以，则，令，可得，当或时，，则单调递增，当或时，，则单调递减，因为，所以函数的最大值为16．故答案为：8；16．【点评】本题考查了函数对称性的应用，利用导数探讨函数的单调性，利用导数求解函数的最值，考查了学生逻辑思维实力与转化化归实力，属于中档题．17．（2024•云南模拟）已知函数，，若函数与，的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是，．【解答】解：函数与，的图象上至少存在一对关于轴对称的点，等价于在，有零点，令，则，所以在，上，，单调递增，在，上，，单调递减，则（1），又（1），，（4），因为（4），所以（4），则（4），所以（4）①，（1）②，解得，即的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题主要考查函数图象的应用，函数的零点与方程根的关系，利用导数探讨闭区间上函数的最值，综合性很强，考查逻辑思维实力和运算实力，属于中档题．18．（2024春•大同期中）已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为，．【解答】解：函数关于轴对称的函数为，若函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，只须要方程有解，方程可化为，令，有，由函数单调递增，且（1），可得函数的减区间为，增区间为，可得，当时，，，，可得函数的值域为，，故实数的取值范围为，．故答案为：，．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数与方程的应用，考查构造法的应用，是难题．19．（2024•景德镇模拟）对于定义域为的函数，若满意（1）；（2）当，且时，都有；（3）当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：①；②；③；④，则“偏对称函数”有1个．【解答】解：由（2）可知，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以在上不单调，故不满意条件（2），所以不是“偏对称函数”；，由复合函数的单调性可知在上单调递减，故不满意条件（2），所以不是“偏对称函数”；对于，，所以函数为偶函数，取，，则，但，不满意条件（3），故不满意条件（3），所以不是“偏对称函数”；对于，，满意条件（1），在上，为减函数，在上，为增函