新教材高考数学一轮复习课时规范练38直线的倾斜角斜率与直线的方程（含解析）新人教A版

课时规范练38直线的倾斜角、斜率与直线的方程基础巩固组1.如图,若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k22.倾斜角为120°,且在x轴上的截距为1的直线方程是()A.3xy+1=0 B.3xy3=0C.3x+y3=0 D.3x+y+3=03.方程y=ax+b和y=bx+a(a≠0,b≠0)表示的直线可能是()4.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1 B.2 C.4 D.85.(多选)若直线l过点A(1,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为()A.xy+1=0 B.x+y3=0C.2xy=0 D.xy1=06.已知点(1,2)和33,0在直线l:axy1=0(a≠0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.π4,πC.2π3,7.(2020河南郑州期末)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为()A.2x4y3=0 B.2x+4y+3=0C.4x2y3=0 D.2x+4y3=08.(2020山东德州高三模拟)已知实数x,y满足y=x22x+2(1≤x≤1),则y+3x+2的最大值为,最小值为9.过点1,14,且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为10.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(2,2)三点共线,则ab的最小值为.

11.根据所给条件求直线的方程.(1)直线过点(4,0),倾斜角的正弦值为1010(2)直线过点(5,10),原点到该直线的距离为5.综合提升组12.直线xsinπ5+ycos3π10+1=0的倾斜角α是A.π4 B.3π4 C.π13.(2020山东日照高三段考)已知直线l过点P(2,1),在x轴、y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l的方程为.

14.(2020海南琼州中学模拟)已知直线l:kxy+1+2k=0(k∈R).(1)求证:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.创新应用组15.(多选)已知集合S=直线l直线l的方程为sinθmx+cosθny=1,m,n为正整数,θ∈[0,2π),则下列结论错误的是(A.当θ=π4时,S中直线的斜率为B.S中所有直线均经过同一个定点C.当m>n时,S中的两条平行直线间的距离的最小值为2nD.S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面16.已知点A(2,0),点P(x,y)满足x+y=2sinθ+π4,xy=2sinθ-π4,则直线AP的斜率的取值范围为(A.-33,33C.-12,1参考答案课时规范练38直线的倾斜角、斜率与直线的方程1.D由题图知直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0,直线l2,l3的倾斜角α2,α3均为锐角,且α2>α3,故0<k3<k2.因此k1<k3<k2.故选D.2.D因为倾斜角为120°,所以斜率k=3.又所求直线过点(1,0),所以所求直线方程为y=3(x+1),即3x+y+3=03.D若a>0,b>0,则直线y=ax+b与y=bx+a均过第一、第二、第三象限,四个选项均不符合;若a>0,b<0,则直线y=ax+b过第一、第三、第四象限,直线y=bx+a过第一、第二、第四象限,只有D符合;若a<0,b>0,则直线y=ax+b过第一、第二、第四象限,直线y=bx+a过第一、第三、第四象限,只有D符合;若a<0,b<0,则直线y=ax+b与y=bx+a均过第二、第三、第四象限,四个选项均不符合.故选D.4.C由ax+by=ab,得xb+ya=1,故直线在x轴,y轴上的截距分别为因为直线过点(1,1),所以1a+1b=1,又a>0,b>0,所以a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.5.ABC当直线l过原点时,直线l的方程为y=2x,即2xy=0.当直线l不过原点时,若直线l在两坐标轴上的截距相等,则设直线l的方程为xa+ya=1(因为直线l过点A(1,2),所以1a+2a=1,解得a=3.所以直线l的方程为x3+y3若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,则设直线l的方程为xb+y-b=因为直线l过点A(1,2),所以1b+2-b=1,解得b=1,所以直线l的方程为x综上可知,直线l的方程为2xy=0,x+y3=0或xy+1=0.6.D设直线l的倾斜角为θ,θ∈[0,π),点A(1,2),B33,0.依题意,直线l:axy1=0(a≠0)经过点P(0,1),则kPA=-1-(-2)0-∵点(1,2)和33,0在直线l的两侧,∴kPA<a<kPB,a≠0,∴1<tanθ<3,tanθ≠0,解得0<θ<π3或3π4<θ<π7.D∵B(1,0),C(0,2),∴线段BC的中点的坐标为-12,1,线段BC所在直线的斜率kBC=2,∴线段BC的垂直平分线的方程为y1=12x+12,即2x+4y3=0.∵AB=AC,∴△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,∴△ABC的欧拉线方程为2x+8.843如图,作出y=x22x+2(1≤x≤1)的图象,即曲线段AB,则y+3x+2表示定点P(2,3)与曲线段AB上任意一点(x,y)的连线的斜率k.连接PA,PB,由图可知kPA≤k≤易得A(1,1),B(1,5),则kPA=1-(-3)1-(-2)=43,kPB=5-(-3)-9.x+4y2=0因为直线在两坐标轴上的截距互为倒数,所以可设直线方程为xa+ay=1(a≠又直线过点1,14,所以1a+14a=1,解得a=2,所以所求直线方程为12x+2y=1,10.16依题意,设过点A,B的直线的方程为xa+yb=1,又点C(2,2)在该直线上,所以-2a+-2b=1,所以2(a+b)=ab所以ab=2(a+b)≥4ab,从而ab≤0(舍去)或ab≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=4时,等号成立.故ab的最小值为11.解(1)由题意知,该直线的斜率存在,故设所求直线的倾斜角为α,则sinα=1010(0<α<π),从而cosα=±31010,则tanα=±13.故所求直线方程为y=13(x+4)即x3y+4=0或x+3y+4=0.(2)当斜率不存在时,直线方程为x5=0,满足题意;当斜率存在时,设斜率为k,则所求直线方程为y10=k(x5),即kxy+(105k)=0.因为原点到所求直线的距离为5,所以|10-5k|故所求直线方程为3x4y+25=0.综上可知,所求直线方程为x5=0或3x4y+25=0.12.B由已知得tanα=sin=sinπ5cosπ2-13.x+2y=0或x+3y+1=0若a=0,则直线l过原点(0,0),此时直线l的斜率k=12,故直线l的方程为x+2y=0若a≠0,则设直线l的方程为xa+yb=1,即因为点P(2,1)在直线l上,所以23b+-1从而直线l的方程为x+3y+1=0.综上可知,直线l的方程为x+2y=0或x+3y+1=0.14.(1)证明直线l的方程可化为k(x+2)+(1y)=0.由x+2=0,1-y=0,解得x=-2(2)解直线l的方程可化为y=kx+1+2k.当k≠0时,要使直线l不经过第四象限,则有k>0,1+2当k=0时,直线l的方程为y=1,显然符合题意.综上,k的取值范围是[0,+∞).(3)解依题意,A-1+2kk,0,B(0,1+2k),且所以S=12|OA|·|OB|=12·-1+2kk·|1+2k|=当且仅当4k=1k,即k=12时,等号成立.所以Smin此时直线l的方程为x2y+4=0.15.ABD当θ=π4时,sinθ=cosθ,S中直线的斜率为nm,故A根据sinθmx+cosθny=1,可知S中所有直线不可能经过同一个定点,当m