高考数学二轮总复习专题能力训练21不等式选讲(选修4-5)文

专题能力训练21不等式选讲(选修4—5)能力突破训练1.(2022广西南宁一模)已知函数f(x)=|2xm|,m∈R.(1)当m>0时,解不等式f(x)>|x+1|;(2)若对任意的x∈[1,2],不等式f(x)≥x1恒成立,求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=|xa|+|x+3|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若f(x)>a,求a的取值范围.3.已知函数f(x)=|2xa|,g(x)=|x+2|.(1)若f(x)+2g(x)的最小值为2,求实数a的值;(2)若关于x的不等式f(x)+g(x)<6的解集为A,且[1,2]⊆A,求实数a的取值范围.4.(2022全国乙,文23)已知a,b,c都是正数,且a32(1)abc≤19(2)ab5.已知f(x)=|x+1||ax1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.思维提升训练6.已知函数f(x)=|x+a|+|x+b|.(1)若a=b2+3b+2,证明:∀x∈R,b∈R,f(x)≥1;(2)若关于x的不等式f(x)≤7的解集为[6,1],求a,b的一组值,并说明你的理由.7.(2022广西桂林、河池、来宾、北海、崇左5月模拟)已知函数f(x)=|x+1||x2|.(1)画出f(x)的图象,若g(x)=x+m与f(x)的图象有三个交点,求实数m的取值范围;(2)已知函数f(x)的最大值为n,正实数a,b,c满足1a+c+2b+c=n8.已知实数a,b,c满足a+b+c=1.(1)若a>0,b>0,c=0,求证:a+(2)设a>b>c,a2+b2+c2=1,求证:a+b>1.答案：能力突破训练1.解:(1)依题意,f(x)=|2xm|>|x+1|.因为m>0,所以m2>1当x<1时,不等式可化为(2xm)>(x+1),即x<m+1,又m>0,所以x<1.当1≤x≤m2时,不等式可化为(2xm)>x+即x<m-13,又m>0,所以1≤当x>m2时,不等式可化为2xm>x+1,即x>m+1,又m>0,所以x>m+1综上所述,不等式f(x)>|x+1|的解集为xx(2)依题意,|2xm|≥x1在区间[1,2]上恒成立.如图,作出函数y=f(x)=|2xm|的图象与直线y=x1,函数y=f(x)=|2xm|与x轴交于点m2,0,直线y=x1与x由图可知,要使|2xm|≥x1在区间[1,2]上恒成立,只需m2≤1或m2≥2,|2.解:(1)当a=1时,由f(x)≥6可得|x1|+|x+3|≥6.当x≤3时,不等式可化为1xx3≥6,解得x≤4;当3<x<1时,不等式可化为1x+x+3≥6,解得x∈⌀;当x≥1时,不等式可化为x1+x+3≥6,解得x≥2.综上,原不等式的解集为(∞,4]∪[2,+∞).(2)若f(x)>a,则f(x)min>a.因为f(x)=|xa|+|x+3|≥|(xa)(x+3)|=|a+3|(当且仅当(xa)(x+3)≤0时,等号成立),所以f(x)min=|a+3|,所以|a+3|>a,即a+3<a或a+3>a,解得a∈-3故a的取值范围为-33.解:(1)f(x)+2g(x)=|2xa|+|2x+4|≥|2xa2x4|=|a+4|,所以|a+4|=2,解得a=2或a=6.(2)由f(x)+g(x)<6得|2xa|+|x+2|<6.当x∈[1,2]时,|2xa|+|x+2|=|2xa|+x+2<6,即|2xa|<4x,所以2x-a<4-由[1,2]⊆A,得a+43>2即a的取值范围为(2,5).4.证明:(1)∵a>0,b>0,c>0,∴a32+b32+c32≥3a1(2)∵a>0,b>0,c>0,∴b+c≥2bc,a+c≥2ac,a+b≥2ab,∴ab当且仅当a=b=c时,等号成立.∴ab5.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1||x1|,即f(x)=-故不等式f(x)>1的解集为xx(2)当x∈(0,1)时|x+1||ax1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax1|≥1;若a>0,|ax1|<1的解集为0<x<2a,所以2a≥1,故0<a综上,a的取值范围为(0,2].思维提升训练6.(1)证明:f(x)=|x+a|+|x+b|≥|x+a(x+b)|=|ab|.因为a=b2+3b+2,所以|ab|=|b2+2b+2|=(b+1)2+1≥1,当b=1时,|ab|取得最小值1.故∀x∈R,b∈R,f(x)≥1.(2)解:依题意可得f(6)=f(1)=7,即|a6|+|b6|=|1+a|+|1+b|=7,不妨取a=0,b=5.下面证明|x|+|x+5|≤7的解集为[6,1].证明:当x≤5时,2x5≤7,则x≥6,又x≤5,所以6≤x≤5.当5<x<0时,5≤7显然成立,所以5<x<0.当x≥0时,2x+5≤7,则x≤1,又x≥0,所以0≤x≤1.所以|x|+|x+5|≤7的解集为[6,1],故a,b的一组值为0,5.7.(1)解:当x≤1时,f(x)=x1+x2=3,当1<x<2时,f(x)=x+1+x2=2x1,当x≥2时,f(x)=x+1x+2=3,所以f(x)=3f(x)的图象如图所示.当g(x)=x+m的图象过点(2,3)时,m=32=1;当g(x)=x+m的图象过点(1,3)时,m=3(1)=2.作出g(x)=x+m的图象(图略)并平移,可知当g(x)与f(x)的图象有三个交点时,实数m的取值范围为(2,1).(2)证明:由(1)知函数f(x)的最大值为3,即n=3,则1a+c因为a,b,c均为正实数,所以由柯西不等式得a+2b+3c=131a+c+2b+c[(a+c当且仅当a+c=b+c,即a=b,a+c=1时,等号成立.故a+2b+3c≥3.8.证明:(1)由题意得,c=0时,a+b=1.因为a+1a所以a+1a2+因为a>0,b>0,a+b=1,所以1a+1b=1a+1b(a+b)所以1a+1当且仅当a即a=b=12时等号成立(2)假设a+b≤1