四川省攀枝花市仁和区2024-2025学年高三上学期第三次联考数学检测试题（含解析）

四川省攀枝花市仁和区2024-2025学年高三上学期第三次联考数学检测试题第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知空间向量，，若，则（）A. B. C.32 D.4.若，则（）A. B.1 C. D.或5.“”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（）A B.C. D.7.已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A B.C. D.8.已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中，若此圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知平面向量均为单位向量，且，则（）A. B.C. D.在上的投影向量为11.已知函数有2个零点，则（）A. B.C D.第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知正数满足，则的最小值为________.13.已知数列满足，，记数列的前项和为，则________.14.已知曲线在点处的切线方程为，且函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，函数是奇函数，.（1）求实数的值；（2）若，使得，求实数的取值范围.16.在△中，内角的对边分别是，且.（1）求证：；（2）若，且是边的中点，求的最小值.17.已知四棱锥中，°，平面平面，.点分别在线段上，且四点共面，.（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值.18.已知数列的前项和分别为，其中为等比数列，且.（1）求数列的前项和；（2）在（1）的条件下，比较与0.7的大小关系，并说明理由.19.定义：记函数导函数为f'x，若f'x在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若f'x在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数.（1）求证：为区间上的凹函数；（2）若为区间的凸函数，求实数的取值范围；（3）求证：当时，.四川省攀枝花市仁和区2024-2025学年高三上学期第三次联考数学检测试题第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求出结果.【详解】依题意，，则.故选：D.2.若，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正确答案】A【分析】由复数的乘除法运算化简复数，再由复数的几何意义可得出答案.【详解】由题意得，，故复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故选.3.已知空间向量，，若，则（）A B. C.32 D.【正确答案】D【分析】由向量平行的坐标表示代入计算，即可得到结果.【详解】由可得，解得，则.故选.4.若，则（）A. B.1 C. D.或【正确答案】C【分析】根据诱导公式可得，化弦为切即可求解.【详解】由题意得，，则.故选:.5.“”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据数列为递增数列的定义求得的范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由“数列为递增数列”，得，所以恒成立，所以，由得，由不一定有，故“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.故选.6.在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据“费马点”的定义以及正余弦定理可求得结果.【详解】设的内角所对的边分别为，因为，所以由正弦定所得，又，所以，由余弦定理得，所以，所以顶点为费马点，故点到各顶点的距离之和为，故选.7.已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，再结合二次函数的性质求解即可；【详解】作出图像，令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且，则，解得，故选.8.已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中，若此圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由对应关系可得圆台上、下底面圆半径分别为，进而计算出圆台的高，设球心到点所在的底面的距离为，表示到点所在底面的距离，利用球半径相等建立等量关系，解方程即可得到结果.【详解】设圆台的上、下底面圆半径分别为，由题意得，，，解得.如图，设圆台的上、下底面圆心分别为，则圆台的高为.设球的半径为，球心到点所在的底面的距离为，则到点所在的底面的距离为，由题意得，，解得，所以球的表面积为.故选:.思路点睛：本题考查圆台外接球综合问题，具体思路如下：（1）利用侧面展开图和圆台对应关系可确定上、下底面圆半径和圆台母线长，进而求出圆台的高度.（2）分别利用上、下底面圆半径结合勾股定理表示球的半径，建立等量关系即可得到结果.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】AD【分析】根据线面、面面关系可判断AD；举反例可判断BC.【详解】对于A，，，所以或，而，故，故正确；对于B，如图，长方体中，，则，故B错误；对于C，如图，长方体中，，则，故C错误；对于D，若α//β，，则，而，故，故正确.故选：AD.10.已知平面向量均为单位向量，且，则（）A. B.C. D.在上的投影向量为【正确答案】BCD【分析】对两边平方可判断；对两边平方可判断；求出，，由向量的夹角公式计算可判断出C；由投影向量定义可判断D.【详解】对于A，因为，所以，则，故错误；对于B，因为，所以，故正确；对于C，因为，所以，所以，则，故C正确；对于D，因为，，所以在上的投影向量为，故正确.故选：BCD.11.已知函数有2个零点，则（）A. B.C. D.【正确答案】AD【分析】令可将题意转化为，设，求出的单调性，奇偶性和对称性，求出的最小值可判断A，B；由可得可判断C；由题意可得出，令，求出φx的单调性可得可判断D.【详解】，令，，则，即为偶函数，当时，，且，即函数在上单调递增，所以关于x=1对称，且在上单调递减，在上单调递增，则，所以，解得，故正确，故错误；由知，，故C错误；由知，，令，，即φx在上单调递减，所以，所以，故正确.故选.方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数y=gx的图象的交点问题.第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知正数满足，则的最小值为________.【正确答案】20【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可；【详解】由题意得，，当且仅当，即，时等号成立.故20.13.已知数列满足，，记数列的前项和为，则________.【正确答案】【分析】分别求得，即可得到数列的周期，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意得，，，，，所以为周期数列，所以.故14.已知曲线在点处的切线方程为，且函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_________．【正确答案】【分析】结合题意求出，由在区间上没有零点，可得（），结合解不等式即可求解.【详解】由题意得，，因为，所以，则，所以，所以，解得，故，则，令，，解得，因为在区间上没有零点，所以（），解得，因为，所以，解得，由，得，所以，因为，所以或，当时，；当时，.综上所述，实数的取值范围是.故方法点睛：三角函数中的求法：函数在内无零点，可知.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，函数是奇函数，.（1）求实数的值；（2）若，使得，求实数的取值范围.【正确答案】（1）3（2）【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的值域可得，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为函数奇函数，所以，即，即，解得，因为，所以.当时，，此时的定义域为，关于原点对称，满足题意.综上，.【小问2详解】由题意得，，由（1）知，，易得上单调递增，故.，当时，，所以，所以，解得，即实数的取值范围为.16.在△中，内角的对边分别是，且.（1）求证：；（2）若，且是边的中点，求的最小值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由同角三角函数的商数关系，两角和的正弦定理可得，最后由正弦定理即可证明；（2）由余弦定理得可得，再将代入结合基本不等式可求出的最小值.【小问1详解】设△内角，、、的对边分别是、、∵，∴，整理得，由正弦定理得.【小问2详解】∵，且是边的中点，∴，由余弦定理得，，则.∵，∴，由，得（当且仅当时等号成立.），∴，∴，故的最小值为.17.已知四棱锥中，°，平面平面，.点分别在线段上，且四点共面，.（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面.进而说明，得到//.再结合//，即可求证；（2）建系，由面面夹角的向量法即可求解.【小问1详解】因为平面平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，平面，所以.在△中，，由，可得，所以，因为.所以为的中点.因为°，故//.因为平面，所以//平面.因为平面平面，所以//.所以//，所以为的中点.又，所以.【小问2详解】分别以直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的向量为，则，即令，则，于是.因为平面，且∥，所以平面，所以.由（1）可知，而，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量.则.故平面与平面所成角的余弦值为.18.已知数列的前项和分别为，其中为等比数列，且.（1）求数列的前项和；（2）在（1）的条件下，比较与0.7的大小关系，并说明理由.【正确答案】（1）（2），理由见解析【分析】（1）利用得到，累加法计算的通项公式，利用等比数列前项和公式计算的通项公式，错位相减法求结果.（2）通过分析得到，得到中各项与的关系，即可比较与0.7的大小关系.【小问1详解】当时，，则；当时，；当时，，相减得，，整理得，即，累加可得，，即，故.综上所述，.由可知等比数列的公比不为1，则，解得，故，解得，则.由题意得，，故，，故，故.【小问2详解】因为，所以，当时，因为，所以，当时，.综上所述，.19.定义：记函数的导函数为f'x，若f'x在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若f'x在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数.（1）求证：为区间上的凹函数；（2）若为区间的凸函数，求实数的取值范围；（3）求证：当时，.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，利用为区间0,+∞上的凹函数的定义证明；（2）求出函数的导函数，利用为区间0,+∞上的凹函数的定义求解；（3）由题意得到，分，，讨论证明；【小问1详解】由题意得，，记f'x的导函数为f则，所以f'x在区间0,+所以为区间0,+∞上的凹函数.【小问2详解】由题意得，，