山东省青岛即墨区2024-2025学年高三上学期期中考试 数学 含解析

2024—2025学年度第一学期教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷分选择题和第非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回．注意事项：1．答第I卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．2．选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，为虚数单位，则等于（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据复数代数形式的除法法则计算可得；【详解】解：因为，所以故选：A【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.2.已知向量，且，则m=A.−8 B.−6C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．3.设是等差数列的前项和，若，则（）A.8 B.10 C.12 D.15【答案】B【解析】【分析】由下标和性质先求得的值，然后根据等差数列前项和公式化简计算即可.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B4.已知函数的最小正周期为，则的图象（）A.关于点对称 B.关于对称C.关于直线对称 D.关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据周期求出，代入，计算检验即可判断各选项.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，因为，所以AC错误；，所以B错误，D正确.故选：D5.将0，1，2，10四个数字排成一行，可以组成不同的5位数的个数是（）A.6 B.12 C.15 D.18【答案】C【解析】【分析】首先求出数字0不在首位，再求出数字1和0相邻且1在0之前的排法，即可得解.【详解】将0，1，2，10四个数字排成一行，且数字0不在首位，则有种，数字1和0相邻且1在0之前的排法有种，去掉重复的（类似10102这样的数），满足题意的不同的5位数的个数为，故选：C6.已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义及二倍角的余弦公式得解.【详解】由三角函数定义，，所以，解得或（由为锐角知，舍），故选：D7.已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据向量共线定理设(t∈R)，得，两边平方根据二次函数知识可得结果.【详解】因为向量与共线，所以可设(t∈R)，所以，所以，因为向量，为单位向量，且，所以，所以，所以的最小值为.故选：A8.已知成等比数列，且，为自然对数的底数．若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等式的形式，构造函数，利用导数的性质，结合等比数列的性质逐一判断即可.【详解】由不等式，可得，则，所以．当时，，矛盾，则，所以，综上，．故选：B【点睛】关键点睛：根据已知等式运用不等式是解题的关键.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数在复平面内对应的点为，则（）A.在第一象限 B. C. D.的虚部为【答案】BC【解析】【分析】确定，进而根据复数概念及几何意义、模的运算逐项判断即可.【详解】由，可得：在第二象限，，，的虚部为3.故选：BC10.已知，则（）A.为偶函数 B.是的最小正周期C.在区间上单调递增 D.的值域为【答案】ACD【解析】【分析】根据奇偶函数定义判断A，取特值判断B，根据符合函数单调性判断C，根据偶函数及在时的值域判断D.【详解】由可知，，定义域为，故定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，故A正确；取，则，，即，所以不是函数的周期，故B错误；当时，，令且为减函数，而在时单调递减，所以由复合函数的单调性知，单调递增，故C正确；由为偶函数，只需研究时的值域，当时，，因为，即时，是函数的一个周期，当时，，当且仅当，即时取等号，当时，，令，则在上是增函数，所以，当时，，所以，综上的值域为，故D正确.故选：ACD11.如图，平面四边形中，对角线的交点为，△的面积是△面积的两倍，又数列满足，当时，，为数列的前项和，则（）A. B.C.是等差数列 D.【答案】ACD【解析】【分析】根据面积比可得线段长之比判断A，由向量的线性运算判断哪B，根据三点共线消元后得出可判断C，由错位相减法求和可判断D.【详解】过A作，垂足为，过作，垂足为，连接，交于点，如图所示，由题意可得：，则，且，则，故，故A正确；，故B错误；∵三点共线，则，可得，则，，整理得：，故数列是以首项，公差为2的等差数列，故C正确；则，即，所以,，两式相减得：，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：根据三角形面积的关系，得出线段长之比，再由向量线性运算，及三点共线得出关于的递推关系式，是解题的关键所在.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.二项式展开式的常数项为_________.【答案】【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】二项式展开式：当即时，故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.13.已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=___________.【答案】【解析】【分析】由题求得θ的范围，结合已知求得cos（θ），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ）的值．【详解】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ），∴cos（θ）．∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．则tan（θ）＝﹣tan（）．故答案为．【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.在△中，若，则角A的范围是________．【答案】【解析】【分析】将正切化为正弦和余弦，化简后结合余弦定理可得到，结合基本不等式和余弦函数的图象即可求角A的范围.【详解】,在,,即,,当且仅当时等号成立，,故答案为:四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知．（1）若，求；（2）设，若，求的夹角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求解；（2）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求的，然后结合公式即可得解.【小问1详解】由题意得，即，又因为，所以，即；【小问2详解】由题意得，即；又，所以，所以，即，所以，又所以16.在中，.（1）求B；（2）若的周长为，求边上中线的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合二倍角的正弦公式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合（1）的结论进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理由，因为，所以，即，所以；【小问2详解】由（1）可知，而，所以，因此，由余弦定理可知：，因为的周长为，所以有，设边上中点为，所以，由余弦定理可知：，所以边上中线的长.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析，并求出在上的值域；（2）若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称.求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）代入两点，建立方程，根据解出参数的值，即可得解解析式，再根据函数的定义域求出函数的值域；（2）根据题意得到平移后的函数解析式，结合函数的对称性，得到，根据及取对应的值，即可得解.【小问1详解】由，得，又点及附近点从左到右是上升的，则，由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得，联立解得，，而，于是，，当时，，所以，即在上的值域为.【小问2详解】令将函数的图象向右平移个单位后得到的图象所以，由题意的图象曲线关于轴对称，即为偶函数，所以，解得，因为，所以当时，取得最小值.18.如果正项有穷数列满足，即，我们称其为“1的对称数列”，例如：数列2，3，，与数列3，2，1，，都是“1的对称数列”．（1）设是项数为8的“1的对称数列”，其中是等差数列，且，请依次写出的每一项；（2）设数列是13项的“1的对称数列”，其中是等比数列，，求数列的所有项和的最小值；（3）设数列是项的“1的对称数列”，数列前项的通项公式为，求数列的前项和．（注：）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据等差数列写出前四项，再由新定义写出后四项即可；（2）由等比数列可求出数列前五项，再由新定义得出后五项及中间项，所以第六项及第八项可设为，求和后利用基本不等式得最值即可；（3）当时直接由公式求和，当时，利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】设为前四项的公差，，，的各项为.【小问2详解】设前五项公比为，显然，，则，可得，解得或，当时，，当时，（舍去），因为数列是13项的“1的对称数列”，所以，设，，当且仅当时取等号，所以数列的所有项和的最小值为.【小问3详解】当时，，当时，，所以.【点睛】关键点点睛：新定义问题关键在于理解定义，运用定义解题，求和时利用所给公式及裂项相消法.19.已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：①；②对于，使得的正整数对恰有个．（1）若等差数列1，3，5，7，9为增数列，求的值；（2）若数列为的8增数列，求的最小值；（3）若存在60的增数列，求的最大值．【答案】（1）35（2）8（3）450【解析】【分析】（1）根据题意，由m的k增数列的定义求得m和k的值.（2）根据题意，由m的8增数列的定义，有，并且对于，使得的正整数对恰有个，根据这两个条件分析m的取值范围，求出最小值.（3）由题意得，若存在60的增数列，则根据定义分析当k最大时数列各项的特征，包括各项是否相等，各项的值为多少，相邻项的差值是多少，确定出数列的特征后再具体计算出k的值.【小问1详解】由题意得，根据m的k增数列的定义，，因为，所以对于，使得的正整数对有：共10对，所以，于是.【小问2详解】由题意得，数列为的8增数列，即，且对于，使得的正整数对恰有个.所以数列各项中必有不同的项，所以且.若，则满足要求的数列中有五项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以；若，则满足要求的数列中有四项为1，两项为2，此时数列为，满足要求的整数对分别为，符合m的8增数列，所以当时，存在m的8增数列，故m的最小值为8.【小问3详解】由题意得，若数列中的每个项都相等，则，若，则数列中存在大于1的项，若首项，则将拆分成个1后k变大，所以此时k不是最大值，故.当时，若，则交换和顺序后k变为，所以此时k不是最大值，所以.若，则，此时将变为，并在数列首位添加一项1，则k值变大，所以此时k不是最大值，所以.若数列中存在相邻的两项，设此时中有x项为2，将改为2，并在数列首位前添加个1