2024学年石嘴山市一中高三数学12月考试卷及答案解析

学年石嘴山市一中高三数学12月考试卷一、单选题1．复数的实部为A．−1+i B． C．1 D．-12．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知=(2,3)，=(3，t)，|BC|=1，则AB⋅A．-3B．-2C．2 D．34．已知等比数列的前n项和为，其中，的值为（

）A．128 B．64 C．63 D．1275．已知，，，则的值为（

）A． B． C． D．6．若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知函数，且关于的方程有3个不等实数根，则下列说法不正确的是（

）A．函数的最大值是 B．在上单调递减C．的取值范围是 D．的取值范围是二、多选题9．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（

）A．的最小正周期为B．是奇函数C．的图象关于直线对称D．在上单调递增10．下列命题中，正确的有（

）A．函数最小值为B．函数在上单调递减C．无论取何值，函数恒过定点D．若函数定义域为，则定义域为11．设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（

）A．若，则的形状为等边三角形B．若，则点M是边BC的中点C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心D．若，则点M在边BC的延长线上三、填空题12．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式可以是.13．已知向量，，则；向量在上的投影向量的坐标为．14．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．四、解答题15．已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.16．已知函数,.(1)求函数的单调减区间;(2)求函数在上的最大值与最小值.17．记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积的最大值．18．已知函数的定义域为，其解析式为，其中.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若函数有且仅有一个极值点，求的取值范围；(3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.19．行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知表示二阶行列式，规定；表示三分行列式，规定．设．(1)求；(2)以为切点，作直线交的图象于异于的另一点，其中．若，当时，设点的横坐标构成数列．①求的通项公式；②证明：．参考答案：题号12345678910答案DBCAADBCACDBC题号11答案AB1．D【详解】∵复数∴复数的实数为故选D.2．B【分析】利用并集的定义，可得解【详解】由题意，集合，，则故选：B3．C【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由BC=AC−AB=(1,t−3)，BC=1【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．4．A【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，列出方程，即可求得，从而求得结果.【详解】由题意，显然首项不为0且公比不为1，可得，解得，所以故选:A5．A【分析】由，利用同角三角函数的关系求出，倍角公式得，由，利用两角差的正切公式求出，再由两角和正切公式求出.【详解】，，则，有，，，得，.故选：A.6．D【分析】根据题意，利用分段函数的性质，结合对数的运算法则，列出不等式，即可求解.【详解】由函数（其中，且）的最小值是3，当时，函数为单调递减函数，所以，则当时，函数为单调递增函数，则且满足，即，解得，综上可得，实数的取值范围为.故选：D.7．B【分析】根据等差数列性质由可得，即可求出数列前6项均为负值，可得结论.【详解】由等差数列性质可得，即可得；又，所以；因此可得数列的公差，且前6项均为负值，所以的最小值为前6项和，即为.故选：B8．C【分析】对求导，利用导数判断单调性，进而可判断选项A，B；令，将问题转化为和共有三个不同的实数根，结合的图象判断选项C，D.【详解】对于选项A，B，由，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为，故A，B均正确；对于C，D，当时，趋于0，当时，趋于，故可作的草图如图，令，则，设方程的两根为，若是方程的根，则，方程为仅有1根，不合题意；因为方程有3个不等的根，所以或，当时，，解得，所以，不合题意，当时，有，解得，所以的取值范围为.故C错误，D正确.故选：C.9．ACD【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，可得，则的最小正周期为，且不是奇函数，所以A正确，B不正确；当时，可得，所以的图象关于直线对称，所以C正确；由，得，所以在上单调递增，所以D正确．故选：ACD.10．BC【分析】由基本不等式成立条件可判断A错误再由复合函数单调性可得B正确，由指数函数图象性质可计算C正确，由抽象函数定义域可判断D错误.【详解】选项A．，当且仅当时等号成立，而，所以A错；选项B．设，则由可得，函数在上单调递增，，函数在上单调递减，根据复合函数同增异减可知函数在上单调递减，选项B正确；选项C．由可知恒过定点；即C正确；选项D．函数定义域为，则由可得定义域为，即D错误.故选：BC11．AB【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.【详解】对于选线A，如图作的中点，连接，由，得，即，结合三角形性质易知，，同理，，故的形状为等边三角形，故A正确；对于选项B，由，得，即，因此点M是边BC的中点，故B正确；对于选项C，如图当过点时，，由，得，则直线经过的中点，同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误；对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错.故选：AB.12．（答案不唯一）【分析】根据函数图象得到，从而求出，结合特殊点的函数值得到，得到的解析式，再根据平移变换和伸缩变换得到的解析式.【详解】由函数fx=Asin可得，解得，则∵函数的图象过点，则，即，由，可得，故，解得，故，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到，再向左平移个单位长度，得到.故答案为：（答案不唯一）13．【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解：，，则；，，故向量在上的投影向量的坐标为：.故答案为：；.14．【详解】试题分析：由题意得对任意总成立，即对任意总成立，而，当且仅当时取“=”，则实数的取值范围是考点：基本不等式求最值15．(1)；(2).【分析】（1）根据数列递推公式特征，凑项组成等比数列，即可求得数列通项；（2）求出数列的通项，利用错位相减法即可计算出的前项和.【详解】（1），又，数列是首项､公比均为3的等比数列，，即（2）由（1）得，则，则，两式相减得，.16．(1)(2)，【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；（2）由的范围求得的范围，再根据正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）解：，令，解得，所以函数的单调减区间为；（2）解：因为，所以，所以，于是，所以，当且仅当时，取最小值，当且仅当，即时，取最大值.17．(1)2(2)【分析】（1）根据向量的数量积的定义，结合三角恒等变换公式，即可求解；（2）根据余弦定理列方程，再利用基本不等式可求最值.【详解】（1）由，可得，即，所以，，因为，所以，又，所以．（2）由余弦定理可得，因为，所以，即，当且仅当时，等号成立．故△面积的最大值为．18．(1)在，上单调递增，在，上单调递减．(2)(3)【分析】（1）将的值代入后对函数进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．（2）首先求出函数的导函数，由，且不是方程的根，依题意恒成立，则，解得即可；（3）根据函数的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出的范围．【详解】（1）解：因为，所以．当时，．令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：0，2000单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以在，上单调递增，在，上单调递减．（2）解：因为，则，显然不是方程的根．要使有且仅有一个极值点，则恒成立，即，所以，这时是函数的唯一极值点．因此满足条件的的取值范围是．（3）解：由条件，，可知，从而恒成立．当时，；当时，．因此函数在，上的最大值是与两者中的较大者．为使对任意的，，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在，上恒成立．所以，因此满足条件的的取值范围是．19．(1)(2)①；②证明见详解【分析】（1）根据行列式的定义运算求解即可；（2）①根据所给的规则求出切点为的切线方程，再进一步求得，结合等比数列的定义得出结果；②当时，先证明成立，得出，再结合等比数列求和得出结果.【详解】（1）由题意可得：.（2）①由（1）可知：，，则切点