最大面积是多少教案

课时课题：第二章第七节最大面积是多少课型：新授课授课人：滕州市西岗中学授课时间：2013年1月8日星期二第一节课教学目标：（1）经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值；（2）能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值问题；（3）能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．进一步体会数学与人类社会的密切联系．教法及学法指导：本节应用五环教学模式：创设情境—感知探究—合作交流—拓展应用—总结升华．先复习常见图形：三角形、矩形、圆等面积公式，能借助相似三角形的性质用自变量表示出相关边的长度，从而列出二次函数，再利用二次函数的性质解决面积最大问题．学生对于图形的面积公式应掌握较好，但是缺乏用自变量表示相关边的长度，这也是列二次函数的难点所在，因而要让学生通过合作、交流与探究，掌握表示方法和所使用的原理．在实际教学中，尽可能采取学生自主探索、合作交流，通过分析交流，总结规律及建立数学模型的经验．课前准备：教师准备：课件学生准备：①预习课本第67页—69页；②探究活动：以小组为单位，用长1米的绳子围成不同的图形，看哪个小组围成的图形最多，并估算出所围成的这些图形中，哪个图形的面积最大？图形面积【设计意图】增加学生的动手能力和小组合作探究能力，同时也为了复习图形的面积公式，会用估算的方法比较这些图形的面积大小，探究其中的规律，为本节课学习最大面积问题做好铺垫．【实际效果】学生兴致很高，能围成所学过的几乎所有图形，利用所学的面积公式求出图形的面积，能够探究出所围成的图形中圆的面积最大．教学过程：一、创设情境师：请小组展示你们探究的成果．生：我们围成的图形有：直角三角形、正方形、圆，面积最大的是圆．生：等边三角形、长方形、梯形、正方形，正方形的面积最大．生：……生：我们各种都尝试了，得出：用1米长的绳子围成的所有图形中，圆的面积最大．最大面积的故事有一位有钱的农场主想圈一块地，于是他便请来了工程师、物理学家和数学家来帮忙，他的条件是：用最少的篱笆围成最大的面积。他们认为自己的本事大，谁都不服谁，便想一较高低。工程师比划了一会，开始忙活起来，好大一会后，他用篱笆围成了一个圆，告诉他们说这是最优设计。他非常自信。觉得已经没有什么比这种设计更好的了，既用了最少的篱笆又得到了最大的面积。物理学家呢？只见他把篱笆拉开了一条长长的直线，然后说假设篱笆有无限长，那么围起来半个地球就够大的了吧。他很是满意觉得别人都没有他设计的面积大。最大面积的故事有一位有钱的农场主想圈一块地，于是他便请来了工程师、物理学家和数学家来帮忙，他的条件是：用最少的篱笆围成最大的面积。他们认为自己的本事大，谁都不服谁，便想一较高低。工程师比划了一会，开始忙活起来，好大一会后，他用篱笆围成了一个圆，告诉他们说这是最优设计。他非常自信。觉得已经没有什么比这种设计更好的了，既用了最少的篱笆又得到了最大的面积。物理学家呢？只见他把篱笆拉开了一条长长的直线，然后说假设篱笆有无限长，那么围起来半个地球就够大的了吧。他很是满意觉得别人都没有他设计的面积大。到数学家了，他先是嘲笑了工程师和物理学家，然后用很少的篱笆把自己围起来，对他们说：“我现在是站在篱笆外面。”工程师和物理学家想了一下，都很佩服数学家的聪慧，便认输了。只有庄主还是一头雾水。你知道这是怎么回事吗？生：我也没明白怎么回事？生：数学家的意思是说：除了我站的这块区域外都是篱笆围成的面积．生：换一个角度来思考问题，确实是个聪明的做法．生：学数学用数学，活学活用才是硬道理！师：最大面积在日常生活中应用很广泛，比如如何在一个三角形的下角料中截出一个面积最大的矩形，以充分利用？这节课我们就来探究类似问题，希望大家学后能解决此关问题，帮助工人师傅最大限度地废物利用．【设计意图】展示小组活动成果，增强学生的动手能力，复习求图形面积的方法，体验收获的喜悦，感知数学的魅力．通过故事，启发学生思考问题要从多个角度考虑．为本节课的主要内容最大面积专题的探究做好铺垫．【实际效果】学生兴致很高，动手又动脑，在做中总结规律．笑话的引入，既涉及到最大面积这个课题，也让学生思考问题拓宽思路，多角度多方位想问题，学生触动很大！二．感知探究ACBACBDEF40m30m师：如图1，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中和分别在两直角边上．如果设矩形的一边，那么边的长度如何表示？生：由，则．由图可得，∽，（1）∴，即，（1）解得，∴．师：设矩形的面积为，当取何值时，的值最大？最大值是多少？生：．生：当时，有最大值，最大值为．师：如果设矩形的一边，当取何值时，矩形的面积的值最大？最大值是多少？生：由∽得，∴，即，解得．生：．生：当时，有最大值，最大值为．生：由此看来，不论是设还是，最大值都是一样的．生：解题思路也一样，都是先利用相似三角形的性质“相似三角形的对应边成比例”用表示出矩形的另一条边，再套用矩形的面积公式即可列出关于的二次函数，最后用二次函数求最值的公式求出最大面积．【设计意图】从矩形的面积公式入手，利用相似三角形的性质表示出另外一条边，才能列出函数表达式，这一过程先由学生独立思考后，分组合作探究、交流，帮助个别存在困难的同学解决．此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法．ACBDACBDEF40m30mG2、探究一边在直角三角形斜边上内接矩形的最大面积师：如图1，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中在斜边上，在直角边上．如果设矩形的一边，那么边的长度如何表示？当取何值时，矩形面积的值最大？最大值是多少？生：这怎么和上面的不一样呀，不能表示吧？生：也是利用相似，不过要利用相似三角形对应高的比等于相似比，这个在八年级时学过的，如图（2），过点作于点交于点，在中，由勾股定理，得．再由等积法求斜边上的高，，即，∴．设矩形的一边，由，得，即，∴．∴．ACBDACBDEF40m30mGMN（2）当时，有最大值，最大值为．（2）生：虽说这两个内接矩形情形不同，但得到最大面积都是300．师：如果设矩形的一边，大家可课下求出此时当取何值时，矩形面积的值最大？最大值是多少？【设计意图】在上一道题的基础上，利用相似三角形的性质表示出矩形的另一条边长，列出二次函数表达式，但此题上了难度，难度在于利用的是相似三角形对应高的比等于相似比这一性质，而且还要用到等积法求直角三角形斜边上的高．充分发挥学生的主动探究能力，并由个别程度较好的学生讲解，最后再板书进行反思总结．【实际效果】有了前面知识和探究方法，学生能想到设与列的思路，多数学生没有想到如何表示另一条边．经过同学的提示之后顿悟．学生感到本题所涉及到的知识点较多，应及时总结归纳才能更充分全面地分析题目．三、交流提高1．直角三角形两种情形下最大内接矩形面积的解题思路师：请大家对刚才两种不同情况下，求最大矩形面积问题时存在哪些困难，互相交流并总结出解题思路．生：利用相似三角形的性质表示出另一条边是难点．生：第二种情形用等积法求斜边上的高是难点．设矩形的一边为x用x表示出矩形的另一边相似三角形的性质：对应边成比例、对应高的比等于对应边的比设矩形的一边为x用x表示出矩形的另一边相似三角形的性质：对应边成比例、对应高的比等于对应边的比列出二次函数表达式矩形的面积=一边×另一边求出当x为何值时，最大面积当时，y有最大值，最大值为生：两种情形的解题思路差不多，大致是：（图表）【设计意图】先由学生归纳总结出解决问题存在的困难和解题思路，再通过图表的形式让学生掌握解决此类问题的流程及关键，落实所用到的知识点，让学生形成系统的知识结构，及时总结规律，能够做到举一反三．【实际效果】学生都能意识到自己的存在的问题和差距，通过及时的总结，对列关于面积的二次函数表达式有了较深的认识．2．窗户通过光线最多时窗户的最大面积（3）师：某建筑物的窗户如图（3）所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？生：图形由两部分组成，一个矩形和一个半圆．x为半圆的半径，所以半圆的面积为；矩形的一边为，另一边为，所以矩形的面积为．窗户的面积．这不是二次函数呀！（3）生：我们还没有用表示出来，由窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m可求得．所以窗户的面积．这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．∴当x＝时，有最大值，．此时，窗户通过的光线最多．【设计意图】本题含有两个图形的面积计算，主要是想进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，巩固训练列二次函数表达式和求最值的方法．让学生理解通过窗户光线多少与窗户面积大小有关．【实际效果】此题处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助，同时也告诉学生数学基本运算也是培养大家做事严谨、有耐心的一个很好的途径．四、拓展应用师：本节所涉及到的图形的面积都是在运动中变化，在变化中寻找面积与二次函数有关，再利用二次函数的最值问题来解决，大家继续在运动中体验面积的变化吧！ABCPQ如图（4），在中，，，，点从点开始沿向点以速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，分别从同时出发．ABCPQ（1）求四边形的面积与的运动时间的函数关系式及自变量的取值范围；（4）（2）四边形的面积有最小值吗？如果有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由．（4）生：因为四边形不是规则图形，不易直接求出它的面积，我们可以利用和的差来表示，只需用时间表示，即可求出函数关系式，然后再利用二次函数的最值情况求出．生：（1）．由，得．∴与的函数关系式为．生：（2）由于二次项系数，当时，有最小值，最小值为．【设计意图】化动为静即把动点看做某一位置的静点，用自变量表示相关线段的长，利用可求面积的图形的和差来表示所求图形的面积．【实际效果】学生掌握较好，但对求自变量的取值范围有点困难，另外通过练习暴露出学生的基本运算能力需要多加训练，一是错误太多，二是很不自信．五．总结升华生：通过本节课掌握了利用相似三角形的性质表示矩形的另一边，是列矩形面积函数关系式的关键．生：图形最大面积问题，实质上是二次函数的最值问题．师：解决此类问题，首先要理解问题，分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系是难点，用数学的方式表示它们间的关系是关键，化归为二次函数运用公式求解是易错点，要做对做全需要我们一定基本功扎实，养成良好的数学素养！……【设计意图】让学生小组交流，总结本节课的收获与感想，教师适当点拨与肯定．鼓励学生大胆发表见解，让学生不仅总结知识，更重要的是要通过本节课总结情感体验上的收获，进一步认识数学的应用价值，对学生的触动很大．【实际效果】学生在这一环节能大胆发言，畅谈自己的收获与疑问，脸上露出了获取知识的喜悦．学生通过回顾本节课的学习过程，体会到“学有用的数学，学有价值的数学”，越发感到数学的亲切！六．当堂反馈1．若两个图形重叠后，重叠部分的面积可以用解析式表示为，则要使重叠部分面积最大，的值为．ABCABCD（5）2．如图（5），幼儿园计划用20m的围栏靠墙围成一个矩形小花园，设，矩形的面积．（5）ACBD（1）请写出与ACBD（2）当为多少时，的值最大？【考查知识点】矩形的面积、二次函数的表达式、最值3．如图（6），用长为10m的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棂CD），若使此窗户的透光面积最大，则最大面积是多少？【考查知识点】矩形的面积、圆的面积、二次函数的表达式、最值（6）七．作业设置（6）（7）1．【基础知识】如图（7），正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）（7）A．B．C．D．【考查知识点】正方形的面积、二次函数图象、最值（8）2．【能力提升】如图（8），在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是（）（8）A．B．C．D．【考查知识点】相似三角形的性质、二次函数表达式及图象（9）3．【链接中考】（2011•武汉）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米．如图（9）所示，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x（9）【考查知识点】矩形的面积、解连不等式、自变量取值范围、二次