浙江省嘉兴市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

浙江省嘉兴市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．设全集U={1，2，3，4，A．{2} B．{3C．{1，3，2．若复数z满足z+i=zi（i为虚数单位），则A．22 B．1 C．2 3．已知向量a=(−1，2)，b=(m，A．−52 B．−12 C．4．袋中装有大小相同的2个白球和5个红球，从中任取2个球，则取到的2个球颜色相同的概率是（）A．37 B．47 C．10215．已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x−1被圆C所截得的弦长为22A．x+y−3=0 B．x−y+3=0 C．x+y+3=0 D．x−y−3=06．在某校的“迎新年”歌咏比赛中，6位评委给某位参赛选手打分，6个分数的平均分为8.5分，方差为0.5，若去掉一个最高分A．平均分8.8分，方差0.25 C．平均分8.5分，方差0.25 7．若1+2a=A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b8．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱A1B1的中点，M，N分别是底面ABCD与侧面CDA．43π B．655π 二、多选题9．若实数a，b满足A．1a<1b B．lna210．在正四棱台ABCD−A1B1CA．EF与CC1是异面直线 B．AA1C．正四棱台的体积为1323 11．设F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点P在C上且在xA．抛物线C的方程为y2=8x B．点P到C．直线AP与抛物线C相切 D．A，12．已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其导函数分别为f'(x)，A．g(x)是奇函数 B．g(x)是周期函数C．f(6)=32+f(2) D．f三、填空题13．(1−x)4(1+2y14．中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第五天行走的路程是里（用数字作答）.15．若函数f(x)=cos(2x+π6)+a在区间[0，3π16．已知椭圆C：x2m+y22=1(m>2)的左､右焦点分别为F1，F2，P是C四、解答题17．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1（1）求实数p及an（2）令bn=2a1+218．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三角形S△ABC（1）证明：AD=3（2）若BD=2DC，AD=4319．为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该企业从甲､乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本.对甲车间100位职工的成绩进行统计后，得到了如图所示的成绩频率分布直方图.2×2列联表

甲车间乙车间合计合格人数不合格人数合计附参考公式：①χ2=n②独立性检验临界值表α00000x236710（1）估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率；（2）若将频率视为概率，以样本估计总体.从甲车间职工中，采用有放回的随机抽样方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的结果相互独立，记被抽取的3人次中成绩合格的人数为X.求随机变量X的分布列；（3）若乙车间参加此次知识竞赛的合格率为60%，请根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为此次职工“反计”知识竞赛的成绩与其所在车间有关?20．如图，在三棱锥A−BCD中，平面ACD⊥平面BCD，∠ACD=∠BCD=30∘，点E在棱BC上，且（1）证明：DE⊥平面ACD；（2）设F是AB的中点，点G在棱BC上，且EF//平面ADG，求二面角E−AD−G的余弦值.21．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)过点(2，（1）求双曲线C的方程；（2）记直线AP，BQ的斜率分别为k122．已知函数f(x)=e（1）若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为e4（2）证明：若0<a≤e22

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵全集U={1，2，3，∴∁∴(∁故答案为：B

【分析】利用已知条件结合交集和补集的运算法则，从而得出集合(∁2．【答案】A【解析】【解答】∵z+i=z∴z=−i∴|z|=(−故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再结合复数求模公式得出复数z的模。3．【答案】B【解析】【解答】已知向量a=(−1a+2b=(−1由a+2b与2a−b故答案为：B

【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出实数m的值。4．【答案】D【解析】【解答】设“取到的2个球颜色相同”为事件为A，则P(A)=C所以取到的2个球颜色相同的概率为1121故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出取到的2个球颜色相同的概率。5．【答案】A【解析】【解答】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，并设圆心坐标为(a，0)，则由题意知：(|a−1|2)又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为(3，∵圆心(3，0)在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即故所求的直线方程为x+y−3=0．故答案为：A．

【分析】利用已知条件，设所求的直线方程为x+y+m=0，并设圆心坐标为(a，0)，则由题意结合点到直线的距离公式和勾股定理得出a的值，再利用圆心在x轴的正半轴上，进而得出满足要求的实数a的值，从而得出圆心坐标，再利用圆心(3，6．【答案】C【解析】【解答】设这6个数分别为7.5，x1，x2，x3由题意可知，x=8所以x=7.所以x'所以s2=1所以s'所以剩下的4个分数满足平均分8.5分，方差故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合平均数公式和方差公式，进而得出剩下的4个分数满足的平均数和方差的条件。7．【答案】A【解析】【解答】1+2a=eb=11−c=1比较a和b，构造函数f(x)=x当x>1，f'(x)=x−1x>0，f(x)在(1同理比较b和c，构造函数g(x)=lnx−(1−1当x>1，g'(x)=x−1x2>0，所以g(x)在综上所述，a>b>c.故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合构造函数的方法和求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。8．【答案】B【解析】【解答】取面对角线B1C中点O，连接ON，B1N，CN，C1N，以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为B(2，0，0)，C(2，2，0)B1(2，0，2)B1N=(−1，2，−1)三棱锥C1−B1NC因此点O即为三棱锥C1−BBE=(−1，0，2)，GF=(0，2，GF⋅BE=0，HG⋅BEGF，HG⊂平面FGHI，GF∩HG=G，BE⊥平面FGHI，M∈平面点P的轨迹为矩形FGHI的四边，如图所示，OG=(−1，−1，−1)则球心O到平面FGHI的距离为|OG球面被平面α截得的圆的半径(2)2故答案为：B

【分析】取面对角线B1C中点O，连接ON，B1N，CN，C1N，H，I分别在BB1，CC1上，且B1H=3HB，C1I=3IC，以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以B1N⊥CN，在三棱锥C1−B1NC中，三角形△B19．【答案】B,C,D【解析】【解答】A：由a<b<0⇒ab>0⇒aB：由a<b<0⇒(−a)>(−b)>0⇒aC：因为a<b<0，所以a|a|−b|b|=−aD：因为a<b<0，所以a+1故答案为：BCD

【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质、对数函数的单调性，进而找出正确的选项。10．【答案】B,C【解析】【解答】对于A：∵ABCD−A∴四条侧棱所在直线交于一点，记为P，∵E，F分别是棱∴EF也过点P，∴CC∴EF与CC对于B：∵ABCD−A∴点A在平面ABCD上的射影一定在AC上，记为G，则A1G⊥平面ABCD，且∴AA1与平面ABCD所成的角为∵AB=3，∴AC=32，A∴AG=2∴cos∴∠A对于C：根据B中可得A1G=22−设S1、S∴V对于D：正四棱台ABCD−A梯形的上、下底分别为1、3，高为22则面积为12根据C可得S1=1，则正四棱台ABCD−A1BD不符合题意；故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合正四棱台的结构特征和中点的性质，再利用异面直线的判断方法、线面角的求解方法、正四棱台的体积公式和表面积公式，进而找出正确的选项。11．【答案】A,C,D【解析】【解答】抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(所以抛物线C的方程为y2|FA|=|FP|=8，点P在抛物线上且在x轴上方，到焦点距离为8，到准线x=−2距离也为8，所以点P到y轴的距离为6，B选项错误；点P在抛物线上且在x轴上方，到y轴的距离为6，有点P横坐标为6，代入抛物线方程，可得P(6，43)，则直线由y=33(x+6)y2=8x消去x得y2由A(−6，0)，B(0，23)，故答案为：ACD.

【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点坐标，再结合两点距离公式得出p的值，从而得出抛物线的标准方程，再结合点到直线的距离公式和抛物线的定义，进而得出点P到y轴的距离，再利用直线与抛物线的位置判断方法，进而判断出直线AP与抛物线C相切，再结合向量共线判断三点共线的方法，进而找出正确的选项。12．【答案】B,C,D【解析】【解答】由f(x)=f(−x)知函数f(x)为偶函数，又g'g'(−x−1)=(−x)2−f(−x)=所以g'(x)的图像关于直线x=−1对称，有g'设G(x)=g(x)+g(−2−x)，则G(−1)=g(−1)+g(−2+1)=2g(由f(x)=f(−x)，两边同时求导，有f'(x)=−f函数y=x−f又g(x)=(x−1)−f'(x−1)，所以g(x)的图像关于点(1函数g(x)=cosπx2满足以上函数g(x)g(x)=−g(−2−x)和g(x)=−g(2−x)，得g(2−x)=g(−2−x)，令−2−x=t，则有g(t)=g(t+4)，所以函数g(x)为周期函数，B选项正确；T=4为g(x)的一个周期，则g(−1)=0=g(3)=2−f'(2)，所以f'(2)=2由g(x)周期为4知T=4也是g'(x−1)的一个周期，所以g'(1)=g故答案为：BCD.

【分析】利用已知条件结合函数的图象的对称性、奇函数的定义、周期函数的定义，函数解析式代入法求函数的值的方法，进而找出正确的选项。13．【答案】-48【解析】【解答】(1−x)4(1+2y)3的展开式中xy2即C4故答案为：-48

【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出(1−x)414．【答案】12【解析】【解答】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列{an}，n∈令数列{an}的前n项和为Sn，则S6=378，而所以此人在第五天行走的路程a5故答案为：12

【分析】利用已知条件结合等比数列的定义，将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列{an}，n∈N∗，n≤6，其公比q=15．【答案】[−【解析】【解答】f(x)=cos(2x+π由函数f(x)=cos(2x+π6)+a在区间[0，3π2]因为x∈[0，3π2当2x−5π6∈[−5π6函数值从cos(−5π6当2x−5π6∈[0，π]函数值从cos0=1减少到cos当2x−5π6∈[π，2π]函数值从cosπ=−1增加到cos当2x−5π6∈[2π，13π函数值从cos2π=1减小到cos所以函数y=cos(2x−5π6)因此要想直线y=a和函数y=cos(2x−5π6)只需−3故答案为：[−

【分析】利用已知条件结合函数的零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，再结合函数的单调性以及函数的图象，从而得出实数a的取值范围。16．【答案】3【解析】【解答】设P(x0所以kP故可设PF则点A坐标满足x=x消去x整理得[2故y0设PF同理可得y0PF1=λF所以λ+μ=−y又2x故λ+μ=−y而c2故λ+μ=2m−2，即8λ+μ当且仅当4m−1=m−1m>2此时C：x2故答案为：33

【分析】设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，F1(−c，17．【答案】（1）解：在2Sn=n2+pn中令又a1=1，则所以2S当n≥2时，2S得2(Sn−又a1故an（2）解：因为an所以bn故得Tn【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数列前n项和和数列的通项公式的关系式和赋值法得出p的值，再结合分类讨论的方法结合等差数列的通项公式得出数列{an}的通项公式。

（2）利用已知条件结合等比数列的前n项和公式得出数列{bn18．【答案】（1）证明：由S△ABC=3所以tanA=3，又A∈(0，π)所以S△ABC=S化简整理得AD=3（2）解：因为BD=2DC，故cb=BDDC=2化简得4(b+c)=bc，解得b=6，c=12，又故a=b2+c2【解析】【分析】（1）由S△ABC=34(b2+c2−a2)结合三角形的面积公式和余弦定理以及同角三角函数基本关系式和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值，再结合S△ABC=S△ABD+S19．【答案】（1）解：根据频率分布直方图可求得甲车间此次参加“反诈”知识竞赛的合格率=0.02×10+0.（2）解：由题意可知X=0，1，P(X=k)=所以P(X=0)=CP(X=2)=故随机变量X的分布列为X0123P0000（3）解：根据题中统计数据可填写2×2列联表如下，

甲车间乙车间合计合格人数8060140不合格人数204060合计100100200χ所以有99%的把握认为“此次职工‘反计’知识竞赛的成绩与职工所在车间有关系”.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，进而估算出甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率。

（2）由题意可知随机变量X的取值，由于每次抽取的结果是相互独立的，故X∼B(3，0.8)，再结合二项分布求概率公式得出随机变量X的分布列。

（3）根据题中统计数据可填写2×2列联表，再利用20．【答案】（1）证明：由BC=3BE=2AC=3DC=6得BE=2，AC=3，CE=BC−BE=4，由余弦定理可得DE∴CD2+D因为平面ACD⊥平面BCD，平面ACD∩平面BCD=CD，DE⊂平面BCD，∴DE⊥平面ACD.（2）解：因为EF//平面ADG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ADG=AG，故EF//AG，而F是AB的中点，故EF为△ABG中位线，得BE=EG=2，又BC=6，故G为CE中点，由（1）可知DE⊥平面ACD，以点D为坐标原点，以DE、DC所在直线分别为x、y轴，过点D且垂直于平面BCD的直线作z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则E(2，0，0)、C(0，设点A(0，a，b)，其中a>0，b>0，所以，cos∠ACD=CA⋅则|CA|=(−33设平面ADE的法向量为m=(x1，y则n⋅DE=2x1设平面ADG的法向量为n=(x2则n⋅DG=x2所以，cos<由图可知，二面角E−AD−G的平面角为锐角，故二面角E−AD−G的余弦值为213【解析】【分析】（1）由BC=3BE=2AC=3DC=6得BE=2，AC=3，CD=23，再利用作差法得出CE的长，由余弦定理可得CD2+DE2=CE2，再由勾股定理得到DE⊥CD，再利用平面ACD⊥平面BCD结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，从而证出DE⊥平面ACD。

（2）利用EF//平面ADGEF⊂结合线面平行的性质定理证出线线平行，故EF//AG，而F是AB的中点，故EF为△ABG中位线，得BE=EG=2，再利用BC=6，故G为CE中点，由（1）可知DE⊥平面ACD过点D且垂直于平面BCD的直线作z轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，设点A(0，a，b)，其中a>0，b>0，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合已知条件得出实数a的值，再利用勾股定理得出实数b的值，从而得出点A的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面ADE的法向量和平面ADG的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和二面角21．【答案】（1）解：因为点(2，3)在双曲线C上，故22而双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0，F(c，0)到一条渐近线的距离为所以|b⋅c|b2+a2所以a2=1，故所求双曲线C的方程为（2）解：因为双曲线C的方程为x2所以A(−1，0)，x2+y2=1，而直线l而P，Q坐标满足3x2−求得Δ=12m2−12k2+36，而由于P(x1，y1)，所以|x1−x2又m2=k2+1由题意得A(−1，0)，所以k1将(*)及x2−x1=故k1又|x1−即(k【解析】【分