河北省唐山市2023届高三上学期数学期末试卷

河北省唐山市2023届高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={x∣1x≥1}，B={x∣y=loA．(0，1) B．(0，1] C．2．已知函数f(x)=2xA． B．C． D．3．已知函数f(x)=3A．f(x)在(−π6，B．f(x)在(−π6，C．f(x)在(−π6，D．f(x)在(−π6，4．(x−ax)A．1 B．−1 C．2 D．−25．直线l：x−y−1=0与抛物线C：y2A．8 B．42 C．4 D．6．高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行1+2+3+⋯+100的求和运算时，他是这样算的：1+100=101，2+99=101，⋯，50+51=101，共有50组，所以50×101=5050，这就是著名的高斯法，又称为倒序相加法.事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数y=f(x)的图象关于点(12，1)对称，Sn=(n+1)[f(A．f(x)+f(1−x)=2 B．SC．Sn=n(1+7．已知正三棱锥P−ABC的侧棱长为2，则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（）A．8π B．10π C．12π D．14π8．设a=ln11A．a<b<c B．c<b<a C．a<c<b D．c<a<b二、多选题9．已知i为虚数单位，复数z1A．|z1|=|C．若2(z1+z2)=z10．已知a，b，A．若a⊥b，a⊥cB．若a//b，a//cC．若α⊥β，α⊥γD．若α//β，α//γ11．甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第k次传球后球在甲手中的概率为pkA．p1=0 B．p2=1312．已知圆O：x2+y2=4，动点P(x0A．若P在圆O上，则直线l与圆O相切B．若P在圆O内，则直线l与圆O相交C．若l过点(1，0)，与圆O相交于点A，B，则四边形OAPB面积的最小值为4D．若P在曲线|x−y|+|x+y|=2上，则Q的轨迹所围成区域的面积为16+8π三、填空题13．已知2a+3，a，2a−314．在△ABC中，AB=3，BC=2，M，N分别为BC，AM的中点，则AM⋅BN15．圆台O1O2中，上、下底面的面积比为14，其外接球的球心O在线段O1O2上，若O16．函数f(x)=aex−1x，g(x)=x−ln(ax)，当x>0四、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=−c（1）若B=π4，求（2）求tanC的最大值.18．已知{an}是等差数列，{（1）求数列{a（2）若集合M={bm∣bm19．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘，PB⊥AD，（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.20．为试验一种新药，某医院把该药分发给10位患有相关疾病的志愿者服用.试验方案为：若这10位患者中至少有5人治愈，则认为这种新药有效；否则认为这种新药无效.假设新药有效，治愈率为80%.（1）用X表示这10位志愿者中治愈的人数，求X的期望E(X)；（2）若10位志愿者中治愈的人数恰好为E(X)，从10人中随机选取5人，求5人全部治愈的概率；（3）求经试验认定该药无效的概率p（保留4位小数）；根据p值的大小解释试验方案是否合理.（依据：当p值小于0.05时，可以认为试验方案合理，否则认为不合理.）附：记X≤2345678910P00000000021．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，点（1）求E的方程；（2）若直线PA与直线PB的斜率之和为0，求k的值及m的取值范围.22．已知函数f(x)=(e（1）求f(x)的极值；（2）若a>0，证明：函数g(x)有两个零点x1，x

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】1xx(1−x)≥0x≠0，解得0<x≤1，所以A=(01−x>0，x<1，所以所以A∩B=(0，故答案为：A

【分析】求出集合A、B，然后进行交集的运算即可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】由函数的定义域为R，关于原点对称，又f(−x)=2(−x)故函数为奇函数，因此A，B不符合题意，当x>0时，f(x)=2x当且仅当x=1x⇒x=1所以C不符合题意，故答案为：D.

【分析】利用函数的奇偶性及部分图像最值判断可得答案.3．【答案】B【解析】【解答】f(x)=3由于−π所以f(x)在(−πf(π6)=2sinπf(π3)=2sinπ故答案为：B

【分析】先根据两角差的正弦公式化简函数f(x)，再利用正弦函数的单调性以及复合函数单调性的确定方法，说明f(x)在(−π4．【答案】B【解析】【解答】因为(x−ax)且展开式通项公式为Tr+1令6−2r=0，解得：r=3，故T4=C故答案为：B

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得a的值.5．【答案】A【解析】【解答】由x−y−1=0y2=4x，消去y并化简得x设A(x1，所以1+1故答案为：A

【分析】设A(x1，6．【答案】C【解析】【解答】对于A，因为函数y=f(x)的图象关于点(12，1)对称，所以f(所以f(x)+f(1−x)=2，A正确，不符合题意；对于B，因为S所以2因为f(in+1)+f对于C，由题可知，当n=1时，a1=S1=1×(1+1)=2，当n≥2时，an=故{an}的通项公式为a而Sn=n(n+1)，所以对于D，因为Sn=n(n+1)，所以所以1S因为1n+1>0，所以1−1故答案为：C.

【分析】利用函数的中心对称性公式求解，可判断A；利用倒序相加法求和，可判断B；利用特值法否定结论，可判断C；利用裂项相消法求和，可判断D.7．【答案】C【解析】【解答】设H为底面△ABC的中心，延长AH交BC于E，连接PH，如图所示因为三棱锥P−ABC是正三棱锥，所以PH⊥平面ABC，且AE是BC边上的中线，设AB=2x，则AH=2在Rt△PAH中，PH=P所以三棱锥P−ABC的体积为V=1因为x2可得V=13S△ABC⋅PH=当x=2时，正三棱锥P−ABC所以正三棱锥P−ABC的侧棱长为2，底面边长为22由此可知，该正三棱锥P−ABC的侧面为等腰直角三角形，即侧棱PA，PB，所以该正三棱锥P−ABC的外接球的直径为正方体的体对角线，即(2R)2=2所以外接球的表面积为S=4πR故答案为：C.

【分析】首先利用球与锥体的外接关系求出球的半径，进一步求出球的表面积.8．【答案】D【解析】【解答】由a−b=ln(1+1所以f'因为cosx∈[−1因为x>0，所以1+x>1，0<1x+1<1所以f(x)在(0，又f(0)=ln(1+0)−所以ln(1+110)−tan由a−c=−ln(1−1所以g'(x)=11−x−1=所以g(1所以−ln(1−111)−综上，c<a<b.故答案为：D.

【分析】令f(x)=ln(1+x)−tanx，x>0，求导，判断出单调性，可比较出9．【答案】A,C【解析】【解答】A选项，|zB选项，z1C选项，2(zz1若2(z1+z2D选项，当a=0时，z2故答案为：AC

【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】B,D【解析】【解答】A选项，若a⊥b，a⊥c，则B选项，若a//b，a//c，则C选项，若α⊥β，α⊥γ，则D选项，若α//β，α//γ，则故答案为：BD

【分析】利用空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项进行判断，可得答案.11．【答案】A,C【解析】【解答】p1表示第1次传球后球在甲手中的概率，所以pp2表示第2次传球后球在甲手中的概率，则ppk+1=ppk+1=−1所以数列{pk−13所以所以pkp2023故答案为：AC

【分析】结合全概率公式和递推数列等知识，逐项进行判断，可得答案.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】圆O：x2+y对于A选项，若P在圆O上，有x0圆心O(0，0)到直线l的距离d=4x0对于B选项，若P在圆O内，有x0圆心O(0，0)到直线l的距离d=4x0对于C选项，若l过点(1，0)，则有x0=4，此时l：圆心O(0，0)到直线l的距离d1=416+y02四边形OAPB面积S=1当y0=0时，S有最小值对于D选项，曲线|x−y|+|x+y|=2等价于x−y≥0x+y≥0时，有x=1，此时−1≤y≤1；x−y<0x+y≥0时，有y=1，此时x−y<0x+y<0时，有x=−1，此时−1<y<1；x−y≥0x+y<0时，有y=−1，此时曲线|x−y|+|x+y|=2表示的图形为一个正方形，如图所示，当x0=1，−1≤y0≤1时，直线l：x+y0O在l上的射影为点Q，则OQ与直线l垂直，此时点Q轨迹是以OT为直径的右半圆，如图所示，其余类型同理可得，所以点Q轨迹如图所示，所以Q的轨迹所围成区域的面积为16+8π，D选项正确；故答案为：ACD

【分析】由圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系可判断A，B；求出点P和点O到直线的距离，求出弦长|AB|，把面积表示出来，再判断最小值，可判断C；通过分类讨论得到曲线形状，再求Q的轨迹，根据图形计算面积可判断D.13．【答案】2−【解析】【解答】由于2a+3，所以a>0且a2=(2a+3)(2a−3)，解得所以q=3故答案为：2−

【分析】根据等比数列的性质列出方程求出a的值，从而求出公比q的值.14．【答案】－4【解析】【解答】由已知AM=BM−AM⋅故答案为：-4．

【分析】根据平面向量基本定理，结合向量的加法法则、平面向量数量积的运算律，将AM→⋅BN→用15．【答案】21【解析】【解答】设上底面半径为r1，面积为S1，下底面半径为r2，面积为S2，O1O2=h，台体的体积为则OO1=根据题意可得：S1即πr解得：r1则R=5所以V1V2则V1故答案为：21

【分析】设上底面半径为r1，面积为S1，下底面半径为r2，面积为S2，O1O2=h，台体的体积为V1，球O的半径为R，球的体积为V2，则OO16．【答案】(0【解析】【解答】f(x)=aex−1x，g(x)=x−ln(ax)f(1)=ae−1，0<a≤e时，f(1)≤0；a>eg(1)=1−lna，0<a≤e时，g(1)≥0；a>e时，g(1)<0.则当a>e时，不满足f(x)≤g(x).若0<a≤e，f(x)=a设h(x)=exeh'(x)<0解得0<x<1，h'(x)>0解得x>1，h(x)在则h(x)min=h(1)，∴当x>0时，h(x)=e所以若0<a≤e，当x>0时，f(x)=若0<a≤e，g(x)=x−ln(ax)≥x−ln(ex)设φ(x)=x−ln(ex)，φ'φ'(x)<0解得0<x<1，φ'(x)>0解得x>1，φ(x)在φ(x)min所以若0<a≤e，g(x)=x−ln(ax)≥x−ln(ex)≥0.综上可得：若0<a≤e，当x>0时，f(x)≤0≤g(x)恒成立.则a的取值范围是(0，故答案为：(0

【分析】设h(x)=exe−x(x>0)，求导可得h(x)的单调性，求出h(x)min=h(1)，可得eex≤117．【答案】（1）解：由cosA=−cb.及正弦定理得cosA＝－即cosAsinB＝－sinC，由sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，代入整理得sinAcosB＝－2cosAsinB，又B＝π4所以tanC＝－tan（A＋B）＝tanA+tanB（2）解：由cosA=−c由（1）知tanA＝－2tanB，所以tanC＝－tan（A＋B）＝tanA+tanBtanA≤tanB22当且仅当2tan2B＝1，即tanB＝22所以tanC的最大值为24【解析】【分析】(1)由cosA=−cb，利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到sinAcosB=-2cosAsinB，再根据B=π4，得到tanA，然后利用两角和的正切公式求解出tanC；

(2)结合tanA=-2tanB，由tanC=18．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{依题意a1=b1=2所以an（2）解：设bm=ak，即因为1≤k≤100，所以1≤2k−1≤199，即1≤3由于34<199<35，所以0≤m−1≤4，解得所以M中所有元素之和为2×(1−3【解析】【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，q≠1，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到数列{an}，{bn}的通项公式；19．【答案】（1）证明：取AD的中点O，连接OB、OP．因为四边形ABCD为菱形，则AB=AD，∵∠BAD=60∘，则∵O为AD的中点，则AD⊥OB，∵AD⊥PB，PB∩OB=B，PB、OB⊂平面POB，∴AD⊥平面POB，∵PO⊂平面POB，∴PO⊥AD，设PA=2，则AB=AD=2，∴OB=ABsin又因为PB=62PA=∴PO2+O∵OB∩AD=O，OB、AD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∵PO⊂平面PAD，所以，平面PAD⊥平面ABCD.（2）解：因为PO⊥平面ABCD，OB⊥AD，以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)、B(0，设平面PAB的法向量为m=(x1，y则m⋅AB=−x1设平面PBC的法向量为n=(x2，y则n⋅CB=2x2所以，cos<因此，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为105【解析】【分析】(1)取AD的中点O，连接OB、OP，证明出AD⊥平面POB，可得出PO⊥AD，利用勾股定理逆定理可证得PO⊥OB，利用线面垂直的判定定理可证得平面PAD⊥平面ABCD；

(2)以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.20．【答案】（1）解：将10位患者服用新药视为10重伯努利试验，在每次实验中，每位患者治愈的概率为0.则X∼B(10，0.（2）解：设A=“任选5位志愿者全部治愈”，则P(A)=C（3）解：设B=“经过试验该药被认定无效”，事件B发生等价于{X≤4}，则p=P(B)=P(X≤4)=k=0所以p值小于0.【解析】【分析】（1）由n次独立重复实验的概率公式得X∼B(10，0.8)，进而求出期望E(X)；