广东省清远市2023届高三上学期数学期末试卷

广东省清远市2023届高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．复数(1+i)2A．3−i B．3+i C．−1+3i D．1+3i2．已知集合A={x|x(x−5)<0}，B={x|x>2}，M=A∩B，则（）A．4∉M B．10∈M C．5∈M D．3．已知f(x)=x3g(x)为定义在RA．g(x)=(13C．g(x)=(134．古希腊的数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.8米且离心率为53A．1356元 B．341元 C．339元 D．344元5．已知函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)的图象关于点(π6A．{2} B．{8}C．{2，8} 6．在三棱锥A−BCD中，“三棱锥A−BCD为正三棱锥”是“AB⊥CD且AC⊥BD”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知P，Q为圆x2+y2=4A．3 B．2+32 C．68．如图，已知OAB是半径为2km的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的动点，过点C作CH⊥OA，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且OH=2OD，则该风景区面积的最大值为（）A．52km2 B．114k二、多选题9．某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）A．这11个月甲企业月利润增长指数的平均数超过82%B．这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C．这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D．在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为410．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确的是（）A．d=15B．此人第三天行走了一百二十里C．此人前七天共行走了九百一十里D．此人有连续的三天共行走了三百九十里11．已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1CA．所得的截面可以是五边形B．所得的截面可以是六边形C．该截面的面积可以为3D．所得的截面可以是非正方形的菱形12．设a=e0.02−1，b=A．b<a B．b<c C．d<b D．d<c三、填空题13．在平行四边形ABCD中，E是线段BD的中点，若AB=mAD+nEC14．x2(2x−115．已知P为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)上异于顶点A1，A216．设函数f(x)=−x2+4x，x≤4，|log2(x−4)|，x>4，若关于x的方程f(x)=t有四个实根x1四、解答题17．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知7acos（1）求cos2A（2）若b+c=9，a2=12b18．2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2×2列联表.

男女合计喜爱看世界杯602080不喜爱看世界杯4080120合计100100200附：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828（1）试根据小概率值α=0.（2）在喜爱观看世界杯的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加某电视台的访谈节目，设参加访谈节目的女性观众与男性观众的人数之差为X，求X的分布列.19．在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA=PD，AB=2，∠ABC=60°.（1）证明：PB//平面EAC.（2）若四棱锥P−ABCD的体积为4620．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1（1）求{a（2）记bn=log2an21．已知抛物线C：y2=4x，F为抛物线C的焦点，且直线l与抛物线（1）若直线l的方程为x+y−2=0，求△ABF的面积；（2）设线段AB的中点为T，已知点P是不同于A，B的一点，若PM=λMA，PN=λ22．已知函数f(x)=12(（1）求f(x)在(0，（2）设f'(x)是f(x)的导函数，函数g(x)=(2a−1)x+(a+2)xcosx−sin2x+f

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】(1+i)=1+2i−1+i+1=1+3i.故答案为：D

【分析】根据复数运算求得正确答案.2．【答案】B【解析】【解答】由A={x|x(x−5)<0}={x|0<x<5}，又B={x|x>2}，所以M=A∩B={x|2<x<5}，所以4∈M，A不符合题意，10∈M5∉M，C不符合题意，6∉M，D不符合题意，故答案为：B.

【分析】先解二次不等式得出集合A，然后利用集合交集运算得出集合M，最后判断元素与集合间的关系.3．【答案】A【解析】【解答】由于f(x)=x3g(x)所以f(−x)=−x所以g(−x)=−g(x)，所以g(x)是奇函数.在四个选项中，A选项g(x)=(故答案为：A

【分析】根据函数的奇偶性确定正确答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：设镜子对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为a米，b米，因为长轴长为1.8米且离心半为53∴2a=1.∴Sπ=0∴0.故答案为：C.

【分析】设镜子的外轮廓对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为a米，b米，进而结合题意得a=0.5．【答案】C【解析】【解答】f(x)关于点(π6，所以π6ω−0<x<5π48，−π所以5π48ω−π3由①②得ω的取值集合为{2，故答案为：C

【分析】根据已知条件列式，由此求得ω的取值集合.6．【答案】A【解析】【解答】解：充分性：如图，在A−BCD中，E为DC中点，连接BE若三棱锥A−BCD为正三棱锥，则△BCD为正三角形，且AB=AC=AD，因为E为DC中点，所以AE⊥DC，BE⊥DC，又AE∩BE=E所以DC⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE，则AB⊥CD，同理可得AC⊥BD，故充分性成立；必要性：如图，在直四棱柱AEBF−GCHD中，底面AFBE为菱形，且AE=AG，但AD≠CD由直四棱柱AEBF−GCHD及底面AFBE为菱形，易得AB⊥CD，又AE=AG，则直四棱柱的侧面均为正方形，易得AC⊥BD，且AD=AC=BC=BD，由于AD≠CD，则△BCD不为正三角形，故三棱锥A−BCD不为正三棱锥，故必要性不成立；综上，“三棱锥A−BCD为正三棱锥”是“AB⊥CD且AC⊥BD”的充分不必要条件.故答案为：A.

【分析】验证充分性可根据正三棱锥的几何性质通过线面垂直的判定及性质判断线线垂直，必要性验证借助直四棱柱构造三棱锥满足AB⊥CD，AC⊥BD，结合直四棱柱的性质判断三棱锥A−BCD是否为正三棱锥即可.7．【答案】C【解析】【解答】设PQ的中点为N，由PM⊥QM，得|PN|=|QN|=|MN|，设N(x，y)，由得x2+y即(x+所以N点的轨迹是以(−12，则点O到直线PQ的距离的最大值为62故答案为：C

【分析】设PQ的中点为N，求得点N的轨迹，由此求得正确答案.8．【答案】A【解析】【解答】设∠COA=θ，其中θ∈(0，π2又OH=2OD，则OD=cos则风景区面积S=1又cos则2co当且仅当sinθ=12故答案为：A

【分析】设∠COA=θ，其中θ∈(0，π29．【答案】A,C【解析】【解答】显然甲企业大部分月份位于82%以上，故利润增长均数大于82%，A符合题意；乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10又因为11×70%=7.7，所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于82%，B不符合题意；观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，C符合题意；P（2个月乙企业月利润增长指数都小于82%）=C故答案为：AC

【分析】根据折线图估算AC，对于B项把月利润增长指数从小到大排列，计算11×70%=7.7可求，对于D项用古典概型的概率解决.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】由题意设此人第一天走a1里，第n天走an里，a1=100，a3S7a3故答案为：BCD

【分析】根据等差数列的知识进行分析，从而确定正确答案.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】过正方体中心的平面截正方体所得的截面至少与四个面相交，所以可能是四边形、五边形、六边形，又根据正方体的对称性，截面不会是五边形，但可以是正六边形和非正方形的菱形（如图）A不符合题意，BD符合题意；因为四边形A1B1C1D1的面积为4，当截面过中心O且平行与底面ABCD时，截面为矩形（此时也是正方形），且面积为4<33，若这个截面绕着中心故答案为：BCD．

【分析】利用正方体的对称性逐一判断即可.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：a=e0.02−1，b=对于A，设f(x)=ex−ln(x+1)−1，x∈(0所以f'(x)在x∈(0，+∞)上单调递增，则f'则f(0.02)=e0.对于B，设h(x)=xlnx−x，x∈(1，+∞)，则则h(1.02)=1.02ln对于D，设m(x)=(2x+1)2−当x∈(0，1)时，m'(x)=−(3x+1)(x−1)>0，所以所以有m(0.02)=(1+0.04)2−由前面可知d<c，c<b，所以故答案为：ACD.

【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定a与b，b与c，d与b，d与c大小关系.13．【答案】-3【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，E为BD中点，∴E为AC中点，

∴AB=AC+CB∴m−n=−1−2=−3.故答案为：-3.

【分析】根据平面向量线性运算直接求解即可.14．【答案】60【解析】【解答】(2x−1x)令6−2k=−2，解得k=4，所以x2(2x−1故答案为：60.

【分析】根据(2x−1x)6的展开式的通项公式求出15．【答案】x2【解析】【解答】设P(x0，y0k1所以3<b2a2<40<2c<8a所以满足条件的双曲线的标准方程是x2故答案为：x2

【分析】首先设P(x0，y0)，16．【答案】-15；15【解析】【解答】画出f(x)的图象如下图所示.由图可知x1+x因为−log2整理得x3且x4所以(2当且仅当2+x1又因为4≥24(当且仅当4(x3−4)=所以(2+x故答案为：-15；15

【分析】画出f(x)的图象，结合图象求得x1，x2，x317．【答案】（1）解：∵7acos∴由正弦定理得：7∴7∵0<A<π，∴sin∴cos∴cos即：cos2A=−（2）解：∵cosA=b∴b2又∵b+c=9②，a2=12联立①②③解得：a=c=7，b=2，∴a+b+c=16.即△ABC的周长为：16.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边换角，再用和差公式化简，代入倍角公式即可求解；

（2）利用余弦定理的变形公式代入即可求解.18．【答案】（1）解：零假设为H0根据列表中的数据，经计算得到χ2根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断所以喜爱观看世界杯与性别有关联.（2）解：按照分层抽样的方式抽取8人，其中男观众6人，女观众2人，X的可能取值为−2，P(X=−2)=C所以X的分布列为：X−202P1531【解析】【分析】（1）计算χ2的值，由此作出判断.

（2）根据分布列的求法求得X19．【答案】（1）证明：连接BD交AC于F，连接EF，因为四边形ABCD是菱形，所以F是BD的中点，又E是PD的中点，所以EF//PB，因为EF⊂平面EAC，PB⊄平面所以PB//平面EAC.（2）解：取AD的中点O，连接PO，则PO⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.设PD=a，则VP−ABCD=1因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以OC⊥AD，且OC=3以O为坐标原点，以OC，OD，OP所在直线分别为x轴，则A(0，−1，CE=(−设平面PAB的法向量为n=(x则n⋅故可设n=(4则|cos所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为410【解析】【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得PB//平面EAC；

（2）根据四棱锥P−ABCD的体积求得PD=3，以O为坐标原点，以OC，OD，OP所在直线分别为x轴，20．【答案】（1）解：因为{2−Snan}所以2−Snan当n≥2时，Sn−1=an−1(2−12n−2即an=an(2−所以数列{an}是以a故an（2）解：由（1）可得bn所以T=1−1【解析】【分析】（1）由{2−Snan}是公比为12的等比数列，可得Sn=an(2−21．【答案】（1）解：设A(x抛物线C的焦点为F(1，0)，直线l与x轴交于点由y2=4xx+y−2=0消去yx1所以|AB|=1+F到直线l的距离d=|1+0−2|所以三角形ABF的面