《电路分析》课件第7章

第7章电路的频率响应和谐振现象

7.1网络函数与频率响应7.2

RC电路的频率特性7.3电路的谐振分析习题7【本章要点】本章首先介绍正弦稳态条件下的网络函数，然后利用网络函数研究几种RC电路的频率特性，最后介绍串联及并联谐振电路及实用简单和复杂并联谐振电路。在工程实际中需要传输或处理的电信号通常不是前面所讨论的单一频率的正弦信号，而是由许多不同频率的正弦信号组成的，占有一定的频带宽度，如收音机处理的声音信号的带宽约为20kHz,电视机处理的图像信号的带宽约为6MHz。本章主要讨论正弦激励频率变化时，动态电路的频率特性。7.1网络函数与频率响应由于电路通常具有网络状结构，因此也称电路为网络。研究网络(电路)的频率特性，在无线电技术和电子电路中有着重要的意义。例如，在电话传输电路中，希望能让有用的音频信号通过，而对于高于音频的干扰信号能有较强的衰减，从而保证传输话音的清晰。又如，在收音机、电视机接收电路中，希望它们对所需电台的信号有良好的响应，而对其他不需要的电台信号或干扰信号能加以抑制，从而得到良好的收听、收看效果。如何正确地选用或设计网络，使它的频率特性适应人们的需要，这是无线电、电子电路技术应用中的一个重要课题。当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、容抗将跟随频率变化，从而导致电路的工作状态亦跟随频率变化。因此，分析研究电路和系统的频率特性就显得格外重要。对于动态电路,由于容抗和感抗都是频率的函数,因此,不同频率的正弦激励作用于电路时,即使其振幅和初相相同,响应的振幅和初相都将随之而变。这种电路响应随激励频率而变化的特性称为电路的频率特性或频率响应。7.1.1网络函数在电路分析中,电路的频率特性通常用正弦稳态电路的网络函数来描述。线性网络在单一正弦激励下的正弦稳态响应y(t)的相量与激励x(t)的相量之比，称为该电路的网络函数，记为H(jω)，即若输入和输出属于同一端口，则称之为驱动点函数，或策动点函数。若输入是电压，输出是电流，则称之为驱动点阻抗；若输入是电流，输出是电压，则称之为驱动点导纳。以图7－1所示双端口网络为例，端口1的驱动点阻抗和导纳分别为和，端口2的驱动点阻抗和导纳分别为和。图7－1双端口网络若输入和输出属于不同端口，则称之为转移函数。它又分为转移阻抗、转移导纳、转移电压比和转移电流比四种。仍然以图7－1所示的双端口网络为例，和称为转移阻抗，和称为转移导纳，和称为转移电压比，和称为转移电流比。7.1.2网络函数的计算方法正弦稳态电路的网络函数是以ω为变量的两个多项式之比。它取决于网络结构和参数，与输入量无关。在已知网络相量模型的条件下，计算网络函数的基本方法是外加电源法。在输入端外加一个电压源或电流源，用正弦稳态的任一种方法求输出相量的表达式，然后将输出相量与输入相量相比，求得相应的网络函数。对于由二端元件组成的阻抗串、并联网络，也可用阻抗串、并联公式计算驱动点阻抗和导纳，用分压、分流公式计算转移函数。例7－1求如图7－2所示RLC电路的网络函数和。解是驱动点导纳，为是转移电压比，为7.1.3网络函数与正弦波网络函数H(jω)是输出相量与输入相量之比。H(jω)反映输出正弦波振幅及相位与输入正弦波振幅及相位间随频率变化的关系。在已知网络函数的条件下，给定任一频率为ω的输入正弦波，可直接求得输出正弦波。例如，已知某电路的输入端驱动点阻抗为式中：，为输入端电压超前电流的角度。,为输入端阻抗的模；根据输入端阻抗和输入电流可以求得输入电压。对于其他网络函数，驱动点导纳、转移阻抗、转移导纳、转移电压比及转移电流比也可得到类似的结果。例7－2电路如图7－3所示，若R=1kΩ，C=1μF，激励电压为

us(t)=10cosω0t+10cos2ω0t+10cos3ω0tV其中角频率ω0=103rad/s，求电路的响应uC(t)。图7－3例7－2用图解输入信号可以看成是3个不同频率的正弦电压源串联，分别令其为us1(t)=10cosω0tVus2(t)=10cos2ω0tVus3(t)=10cos3ω0tV它们各自引起的响应分别用uC1(t)、uC2(t)和uC3(t)表示，根据叠加定理，电路在激励us(t)作用下的稳态响应为uC(t)=uC1(t)+uC2(t)+uC3(t)由图7－3可知将R=1kΩ,C=1μF带入上式，可得对于ω=ω0=103rad/s,ω=2ω0=2×103rad/s，ω=3ω0=3×103rad/s，H(jω)分别为由于不同频率的激励振幅相量分别为故可得相应的响应相量为从而可求得由本例可以看出，激励作用于电路时，其不同频率分量的幅度和相位可受到不同的影响，而正弦稳态网络函数反映了这一情况。7.1.4网络函数的频率特性含动态元件电路的网络函数H(jω)一般是频率的复函数，可用指数形式表示，即式中:|H(jω)|称为网络函数的模；φ(ω)称为网络函数的幅角。它们都是频率的函数。含动态元件电路的网络函数是一个复数，也可以用极坐标形式表示，即其中，网络函数的振幅|H(jω)|和相位φ(ω)是角频率ω的函数，如果用振幅或相位作纵坐标，角频率作横坐标，则可以得到网络函数的幅频特性曲线和相频特性曲线。从幅频特性曲线和相频特性曲线可以看出，网络对不同频率正弦波呈现出不同特性，这在电子和通信工程中被广泛应用。由图7－3所示电路可得其幅频特性曲线和相频特性曲线如图7－4所示。这些曲线的横坐标是用对数尺度绘制的图7－4电路的频率特性曲线(a)幅频特性曲线；(b)相频特性曲线由幅频特性曲线可见，当频率很低时，|H(jω)|≈1；当频率很高时，|H(jω)|1。这表明，对于如图7－3所示的电路，当输出取自电容电压时，低频信号较容易通过，而高频信号将受到抑制。这种特性称为低通滤波特性，常将这类电路称为低通滤波电路或低通滤波器。通常将的频率范围称为电路的通带,而将的频率范围称为止带或阻带，二者的边界频率称为截止频率，用fc表示，截止角频率用ωc表示。当ω=ωc时，电路的输出功率是最大输出功率的一半，因此，ωc又称为半功率点频率。由于Hmax=1，又因为，得ωcRC=1，故该低通滤波器的截止角频率。由相频特性曲线可见，该电路对输入的正弦信号有移相作用，移相范围为0°～90°。相频响应随ω的增高，由零单调地减小到－π/2。根据网络的幅频特性，可将网络分类为低通(lowpass)、高通(highpass)、带通(bandpass)、带阻(bandstop)、全通(allpass)网络，相应地，也称为低通、高通、带通、带阻、全通滤波器。各种理想滤波器的幅频特性如图7－5所示。图中，“通带”表示频率处于这个区域的激励源信号(又称输入信号)可以通过网络，顺利到达输出端产生相应信号输出；“阻带”表示频率处于这个区域的激励源信号被网络阻止，不能到达输出端产生输出信号，即被滤除掉了，滤波器的名称就来源于此；ωc1、ωc2分别称为上、下截止角频率。图7－5几种典型的滤波器(a)低通滤波器；(b)高通滤波器;(c)带通滤波器;(d)带阻滤波器7.2

RC电路的频率特性关于电路网络的阶次，在动态电路分析中已经介绍过，从时域看，列写的电路输入、输出方程是几阶的微分方程，就是几阶电路。从电路的具体结构看，电路中包含多少独立的动态元件，就是多少阶电路。7.2.1一阶低通电路的频率特性在图7－6所示的电路中，若选为激励相量，为响应相量，则网络函数其中因此可分别画出网络的幅频特性曲线和相频特性曲线，如图7－7(a)、(b)所示。图7－7

RC一阶低通网络的频率特性(a)幅频特性曲线；(b)相频特性曲线图7－7(a)、(b)可见，当ω＝0，即输入为直流信号时，|H(j0)|=1，φ(0)=0°，这说明输出信号电压与输入信号电压大小相等、相位相同；当ω=∞时，|H(j∞)|=0,φ(∞)=－90°，这说明输出电压大小为0，而相位滞后输入信号电压90°。由此可见，对如图7－6所示的电路来说，直流和低频信号容易通过，而高频信号受到抑制，所以这样的网络属于低通网络。但从图7－7(a)所示网络的幅频特性看，它与图7－5(a)所示的理想低通的幅频特性相比有明显的差异。图7－7(a)中的H(jω)与ω的关系是单调下降的连续变化曲线，在ω=ωc处不像图7－5(a)所示的那样为第一类间断点(突跳点)，而是其数值为的连续点。尽管沿用理想低通网络用的术语也称ωc为截止角频率，但“截止”的含义已打了折扣，从图7－7(a)所示曲线就可以看出，当ω>ωc时，输出信号是减小了，但不是零，并没有明显截止的“界限”。网络的截止角频率是个重要的概念，在滤波网络中经常用到。那么，截止角频率的电路含义是什么，如何确定它的数值呢？实际低通网络的截止角频率是指网络函数的幅值|H(jω)|下降到|H(j0)|值的倍时所对应的角频率，记为ωc。这样定义的截止角频率具有一般性。对于图7－6所示的RC一阶低通网络，因|H(j0)|=1，所以按来定义。由图7－6得所以即引入截止角频率ωc以后，可将图7－6这类一阶低通网络的网络函数归纳为如下的一般形式：式中|H(j0)|=|H(jω)|ω=0，它是与网络的结构及元件参数有关的常数。由图7－7看出，当ω＝ωc时，|H(jω)|=0.707|H(j0)|,j(ωc)=－45°。对于|H(j0)|=1这类低通网络，当ω高于低通截止角频率ωc时，|H(jω)|<0.707，输出信号的幅值较小，工程实际中常将它们忽略不计，认为角频率高于ωc的输入信号不能通过网络，被滤除了。通常，也把0≤ω≤ωc的角频率范围作为这类实际低通滤波器的通频带宽度。在实际的电子和通信工程中所使用信号的频率动态范围很大，如102~1010Hz。为了表示频率在极大范围内变化时电路特性的变化，横坐标常用对数坐标表示频率，纵坐标用20lg|H(jω)|和j(ω)表示，这种曲线称为波特图。如果以分贝(dB)为单位表示网络的幅频特性，则其定义为20lg|H(jω)|dB，也就是说，对|H(jω)|取以10为底的对数并乘以20，就得到了网络函数幅值的分贝数。当ω=ωc时，20lg|H(jωc)|=20lg0.707=－3dB，所以又称ωc为3dB角频率。在这一角频率上，输出电压与它的最大值相比较正好下降了3dB。在电子电路中约定，当输出电压下降到它的最大值的3dB以下时，就认为该频率成分对输出的贡献很小。如果从功率角度看，输出功率与输出电压平方成正比。在如图7－6所示的网络中，最大输出电压U2=U1，所以最大输出功率正比于。当ω=ωc时，，输出功率正比于，即正比于，它只是最大输出功率的一半，因此3dB频率点又称为半功率频率点。这里还需要说明的是：3dB频率点或半功率频率点即是前述的截止频率点，它只是人为定义出来的一个相对标准。但为什么要按关系来定义通频带边界频率(即截止角频率)呢？应该说这样定义ωc还是有实际背景的，是有“历史”原因的。早期，无线电技术应用于广播与通信，人的耳朵对声音的响应关系呈对数关系，也就是说，人耳对高于截止角频率ωc以上的频率分量及低于ωc的频率分量，能感觉到它们的显著差异。由图7－7可以看出，随着角频率ω的增加，相位角φ(ω)将从0°到－90°单调下降，这说明输出信号电压总是滞后输入信号电压的，滞后的角度介于0°~90°之间，具体数值取决于输入信号的角频率与网络的元件参数值。因此图7－6所示的RC一阶低通网络属于滞后网络。今后也可以从网络函数式判断网络的阶次，H(jω)的分母中只含有（jω）的一阶次方，故称该网络为一阶网络。据此推论，网络函数的分母中包含（jω）的方次是几阶的，该网络函数所对应的网络就是几阶网络。例7－3图7－8所示的是由电阻、电容构成的一阶低通网络，其输出端接负载电阻RL。试分析其频率特性（绘出幅频特性、相频特性），并求出截止角频率。图7－8例7－3用图解作为输入相量，作为输出相量，则网络函数令Re=RRL/(R+RL)，则RL/(R+RL)=Re/R，将其代入上式，得显然将ω=0代入上式，得按定义网络的截止角频率，即由上式解得由|H(jω)|、j(ω)的表达式可分别画出幅频特性与相频特性,如图7－9(a)、(b)所示。图7－9网络的频率特性(a)幅频特性；(b)相频特性由此例可见，加负载以后的RC一阶低通网络对输出直流电压的大小即截止角频率都有影响。负载电阻RL减小时，输出直流电压明显降低，截止角频率升高，对交流信号的滤除作用也相对减弱。由电阻、电容构成的这类实际的低通网络常用于电子设备的整流电源中，以滤除整流后电源电压中的交流分量。例7－4在如图7－10所示的一阶低通网络中，已知C=0.01μF,在f=10kHz时输出电压滞后输入电压30°，此时电阻应为何值？若输入电压振幅U1m=100V，此时输出电压振幅U2m应是多少伏？图7－10例7－4用图解因为所以即又故7.2.2

RC一阶高通电路的频率特性图7－11所示网络是电子线路中常用的RC耦合电路，若选作为输入相量，作为输出相量，则网络函数式中图7－11

RC耦合电路由此可分别画得网络的幅频特性与相频特性，如图7－12所示。由图7－12可以看出：当ω=0时，|H(j0)|=0，j(0)=90°，说明输出电压大小为0，而相位超前输入电压90°；当ω=∞时，|H(j∞)|=1，j(∞)=0°,说明输出与输入的电压相量大小相等、相位相同。由此可以看出，图7－11所示网络的幅频特性恰与低通网络的幅频特性相反，它起抑制低频分量、易使高频分量通过的作用，所以它属于高通网络。从相位特性看，随着ω由0向无穷大增高时相移由90°单调地趋向于0°，这说明输出电压总是超前输入电压的，超前的角度介于90°~0°之间，超前角度的数值取决于输入电压的频率ω和元件的参数值。因此，这类网络属于超前网络。图7－12

RC一阶高通网络的频率特性(a)幅频特性；(b)相频特性实际高通网络的截止频率可按下式定义：对于图7－11所示的RC一阶高通网络，|H(j∞)|=1，所以有故解得这里需注意：求得的一阶RC低通和高通网络的截止角频率都等于一阶电路时间常数的倒数，但低通、高通网络截止角频率的含义恰恰是相反的。同低通网络类似，在引入截止角频率ωc后，对一阶高通网络的网络函数也可归纳为如下形式:式中|H(j∞)|=|H(jω)|ω=∞，它是与网络的结构和元件参数有关的常数。7.3电路的谐振分析谐振现象是正弦稳态电路的一种特定的工作状态。正弦稳态电路是含有电阻、电容、电感的二端口网络。在某一频率上，出现端口电压和电流同相位的现象，电路呈纯电阻性质时，称为电路发生谐振。能发生谐振的电路，称为谐振电路。根据RLC电路的组成形式，谐振电路可以分为串联谐振电路和并联谐振电路。谐振电路具有良好的选频特性，在电子技术和通信中得到了广泛应用。7.3.1串联电路的谐振

1．谐振频率如图7－13(a)所示的RLC串联电路，电源是频率为f(角频率ω)的正弦电压源，用表示，则该电路的端口阻抗为根据谐振定义，需满足，即上式为串联电路的谐振条件。满足这个条件的输入信号频率，称为谐振频率，用表示或图7－13

RLC串联电路(a)电路图；(b)相量图由此可见，一个电路的谐振频率仅由电路元件的参数L、C决定，而与激励无关。但仅当激励源的频率等于电路的谐振频率时，电路才发生谐振现象。谐振是电路固有性质的反映。

2．串联谐振电路的特点由于RLC串联电路的容抗XC、感抗XL随激励ω的变化而变化，故其总阻抗Z(jω)也是ω的函数，其频率特性如图7－14所示。图7－14串联电路谐振特性显而易见，当ω<ω0时，，电路呈容性，超前；当ω>ω0时，，电路呈感性，滞后于；当ω=ω0时，，与同相。谐振时的相量图如图7－13(b)所示。下面分析串联谐振的特点。当RLC串联电路谐振时，由于电抗X(ω0)=0，因此谐振时电路的阻抗Z0=R是纯电阻且为最小值。显然，谐振时电路中的电流若激励源信号Us不变，则电流I达到最大值I0。此谐振电流完全取决于电阻值，而与电感、电容值无关。往往可以利用串联谐振的这一重要特征，判断电路是否谐振。因为谐振时，电感、电容上电压大小相等，即将代入上式,得谐振时的感抗、容抗不为零，因此将谐振时的容抗、感抗定义为特性阻抗ρ，即由上式可知，ρ的单位为Ω，是由L、C决定的，与角频率ω无关。在工程中，通常用特性阻抗与回路的电阻比值来讨论谐振电路的性能，此值用Q表示，即

Q称为谐振电路的品质因数，它是仅与R、L、C有关的无量纲参数。可见,特性阻抗ρ与品质因数Q都是描述谐振电路特性的重要参数。谐振时，电路中各元件电压相量可写为此时，电感上的电压和电容上的电压模值相等，均为激励电压的Q倍，且相位相反。通常R＜＜ρ，Q值可达几十至几百，所以串联谐振又称为电压谐振。在通信和电子技术中，传输的电压信号很弱，利用电压谐振，可获得较高的电压，但在电力工程中，这种高电压有时会使电容器或电感线圈的绝缘击穿而造成损害，因此，常常要避免谐振或接近谐振的情况发生。

3．频率响应

前面讨论了RLC串联谐振时的特点，下面进一步研究其频率响应。我们常以电路电流为输出，分析电路的频率特性。电路如图7－13(a)所示，其电流为式中是谐振电流，是电流的最大值。用相对电流表示电路的网络函数，上式可改写为其幅频特性、相频特性分别为显然，时，电路发生谐振，|H(jω)|最大值为1，随着ω增大或减小，|H(jω)|均下降，直到ω→0或ω→∞时，|H(jω)|→0。因此，该电路是一个带通电路，根据半功率频率点的定义，其上、下截止频率可由幅频特性表达式求得，即亦即从而得或将代入中，则得可见通频带B仅与电路的参数R、L有关。从通频带表达式可见，品质因数Q是衡量幅频特性是否陡峭的重要参数。图7－15(a)、(b)绘出了在同一谐振频率下，不同Q值的|H(jω)|、j(ω)曲线。由图可见，谐振电路对频率具有选择性，其Q值越高，幅频曲线越尖锐，电路对偏离谐振频率的信号抑制能力越强，电路的选择性越好。所以在电子线路中常用谐振电路从各种不同频率的信号中选择所需要的信号。但是，实际信号都占有一定的频率宽度，由于通频带宽度与Q成反比，因此Q越高，电路的带宽越窄，这样将会过多地削弱所需信号的主要频率分量，从而引起严重失真，故在实际电路设计中，必须根据需要来选择适当的Q值，以兼顾两方面的要求。若主要矛盾方面是“选择性”，则使用Q值高些的电路；相反，若主要矛盾方面是“带宽”，则可适当地降低电路的Q值。图7－15串联RLC频率特性

例7－5电路如图7－13(a)所示，试证明RLC串联谐振电路在高Q值时，谐振频率近似为通频带的中心频率。解由得上、下截止频率为当Q值较高时，,从而有ω0可以近似看做为通频带的中心频率。例7－6已知RLC串联谐振电路的L=50μF，C=200pF，电源电压Us=1mV。分别求出回路品质因数Q=50、Q=100时，电路的谐振频率、谐振时回路的电流I0、电容上的电压UC0及其通频带宽B。解当Q＝50时，谐振频率回路损耗电阻谐振电流谐振电容电压若＝100时，则带宽回路损耗电阻谐振电流谐振电容电压带宽经过上述讨论可知，若满足，RLC电路就会发生谐振。因此实现电路的谐振有两种方法：

(1)调节电源频率：在电路参数与结构已确定的情况下，改变电源频率使满足式，电路发生谐振。

(2)调节电路参数：在电源频率一定的情况下，可调节电感、电容，使达到电路谐振的目的。由于电感不易调节，故常用改变电容的方法使电路谐振。7.3.2并联电路的谐振串联谐振电路仅适用于信号源内阻较小的情况，若信号源的内阻较大，会使电路Q值过低，从而导致电路的选择性变差。这时，为了获得较好的选择特性，常采用并联谐振电路。

1．谐振频率并联谐振的定义与串联谐振的定义相同，端口上电压与输入电流同相时的工作状态称为谐振。它发生在并联电路中，称为并联谐振。如图7－16(a)所示为GLC并联电路，是另一种典型的谐振电路，其分析方法与RLC串联谐振电路雷同。其端口导纳为根据谐振的定义，电路并联谐振时，电路端电压、激励电流同相，由此可知谐振时的角频率ω0、频率f0分别为

2．GLC并联谐振的特点

(1)端口等效阻抗最大。因为并联谐振B=0，故Y=Y0最小，Z=1/Y0最大且为纯电阻，其值为若并联的电导G=0，即LC并联谐振，此时端口的等效阻抗因Y0=0而Z0=∞。

(2)端口电压最大。并联谐振时，感纳与容纳相等，即，显然电路的特性阻抗为并联谐振电路的品质因数为谐振时，激励电流一定，回路的端电压为最大值，即而此时各支路电流分别为可见，并联谐振时，即电容电流与电感电流大小相等、相位相反,且强度均为QIs

，参见图7－16(b)所示的相量图。根据这一特点，并联电路也称为电流谐振，此时电源电流全部通过电导G，电导电流达最大值。3．频率响应对于并联谐振电路，我们常研究以端电压为输出的频率响应。图7－16所示的电路端电压为由于是谐振时的端口电压，且为最大值，所以，该电路的电压的频率响应表示为幅频特性由上式可见，并联谐振电路的网络函数也是带通函数，其幅频和相频特性曲线与串联电路频率特性曲线完全相同，截止频率和通频带的带宽B的表达式也与串联谐振电路表达式相同，将代入B的表达式，则得7.3.3实用简单的并联谐振电路由于电感线圈的电阻总是存在的，因此图7－16(a)所示的GLC并联电路在实际工程中并不存在，实际工程中广泛应用的是实际电感线圈与实际电容器并联的谐振电路，在忽略实际电容器介质损耗时，其电路模型如图7－17(a)所示。图7－17实际线圈的谐振(a)实际线圈的谐振电路图;(b)谐振相量图图7－17(a)的端口总导纳为根据谐振定义，可得即若电路参数R、L、C一定时，可调节电源频率使电路达到谐振所需的角频率ω=ω0，由可得从上式可见，只有满足，即，才是实数，才可能通过调频使电路达到谐振。电感线圈与电容元件并联谐振的相量图，如图7－17(b)所示。可以看出，电路谐振时，电感线圈的无功分量完全被电容电流补偿，此时电路网络端口电流最小，整个电路可等效为一个电阻，它等于端口导纳实数的倒数，由总的导纳公式可得将代入上式，等效电阻为则等效电导为而此时的品质因数为由于实际电感线圈电阻R较小，一般满足，则可写为将上式代入中，得到实用简单并联电路的品质因数为例7－7将一个R=15Ω,L=0.23mH的电感线圈与100pF的电容器并联，求该并联电路的谐振频率和谐振时的等效阻抗。解因为所以谐振频率为谐振时的等效阻抗为而用式计算，谐振频率为由计算结果可知：此值与精确表达式计算结果相差不大，谐振时，电路的等效阻抗Z很大，比线圈电阻R大很多，R0是R的10200倍。习题7

7－1已知RLC串联电路，在f0=2

MHz处谐振，且此时R=100Ω，XC=5kΩ，试求该电路的带宽。

7－2已知RC低通滤波器的截止频率为20kHz，且C=0.5μF，求电阻R