《材料力学》课件第12章

第12章静不定问题分析12.1引言12.2用力法分析求解静不定问题12.3对称与反对称静不定问题分析12.1引言静不定结构和相应的静定结构相比，具有强度高、刚度大的显著优点，因此工程实际中的结构大多数是静不定结构。前面曾经介绍过简单静不定问题的概念与分析方法，本章以能量法为基础，进一步研究分析求解静不定问题的原理与方法。根据静不定结构约束的特点，静不定结构大致可以分为三类：仅在结构外部存在多余约束的结构称为外力静不定结构，仅在结构内部存在多余约束的结构称为内力静不定结构，不仅在结构外部而且在结构内部都存在多余约束的结构称为混合型静不定结构。例如，图12－1所示平面曲杆，支座A、B处共有4个约束反力；而平面任意力系只有3个独立的平衡方程；而且，当支座约束力确定以后，利用截面法可以求出任一截面的内力，所以，该曲杆具有一个多余的外部约束，属于一次外力静不定结构。

如图12－2(a)所示的平面刚架，支座处的3个约束力可以由平面任意力系3个独立的平衡方程求出；但是，用截面法将刚架截开以后（见图12－2(b)），截面上还存在3个内力分量(FN、FS、M)，以整体为研究对象，未知力的总数是6个，显然该结构属于三次内力静不定结构。确定内力静不定次数的方法是：用截面法将结构切开一个或几个截面（即去掉内部多余约束），使它变成几何不变的静定结构，那么切开截面上的内力分量的总数（即原结构内部多余约束数目）就是静不定次数。图12－1图12－2对于图12－3(a)所示的平面刚架，如果从铰链处切开，该截面上有2个内力分量(FN、FS)，相当于去掉了2个多余约束，所以结构是二次内力静不定。可见，轴线为单闭合曲线的平面刚架（包括平面曲杆）并且仅在轴线平面内承受外力时，为三次内力静不定结构。

图12－4所示平面刚架属于混合型静不定结构。确定混合型静不定次数的方法是：首先判定其外力静不定次数，再判定其内力静不定次数，二者之和即为此结构的静不定次数。显然，该结构具有1个多余的外部约束、3个多余的内部约束，即为4次静不定结构。由于静不定结构有内、外多余约束，使得未知力数目超过了独立的平衡方程数目，因此求解静不定结构必须综合考虑静力平衡、变形协调和力与变形之间的物理关系三方面条件，这就是求解静不定问题的基本方法。分析求解静不定问题的具体方法很多，最基本的有两种：力法与位移法。力法是以多余未知力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，然后按变形或位移协调条件建立补充方程，从而解出多余未知力。位移法是以结构的某些位移为基本未知量进行分析求解的。本书主要介绍用力法求解静不定问题，用位移法求解静不定问题的方法请参阅其他《材料力学》教材。图12－3图12－4 12.2用力法分析求解静不定问题

12.2.1外力静不定结构分析图12－5(a)所示等截面小曲率圆杆，承受载荷F作用，试分析其约束力与内力。显然，该结构属于一次外力静不定。确定该结构基本系统的方法比较多：可以选取B端的可动铰支座作为多余约束；也可以选取A端阻止该截面转动的约束作为多余约束，将固定端改变为固定铰支座；还可以选取曲杆某个截面内部的相互约束作为多余约束，如解除相互转动的约束、将曲杆截开后加上铰链。基本系统的选取虽然有多种形式，所得结果应该是相同的，但是计算过程却有繁简之分，所以基本系统的选择是非常重要的。对于该曲杆，将B端的可动铰支座作为多余约束予以解除，并以多余约束力FBy代替其作用，所得图12－5(b)所示的相当系统是最佳选择。图12－5原结构在B处是可动铰支座，上下不能移动，应有wB=0，所以相当系统截面B的铅垂位移也应为零，故相应的变形协调条件为对于曲杆，用单位载荷法计算点B的铅垂位移。在基本系统上施加相应的单位力如图12－5(c)所示。在载荷F与多余约束力FBy作用下，基本系统的弯矩方程为在单位载荷作用下，基本系统的弯矩方程为(a)根据莫尔定理，相当系统截面B的铅垂位移为（b）将式（b）代入式（a），得补充方程（c）解得（d）在相当系统上解出A端约束力分别为在相当系统上分析曲杆的弯矩方程为（e）由上式求出如果该曲杆没有B处的活动铰链支座，在水平载荷F作用下，固定端A处的弯矩为显然，原静不定曲杆的强度远高于相应的静定曲杆。

例12－1

求图12－6(a)所示刚架的约束反力与弯矩的最大值。

解

(1）确定相当系统。这是一次外力静不定问题。选支座C处的水平约束作为多余约束予以解除，并以未知约束力FCx代替其作用，所选相当系统如图12－6(b)所示。

(2）建立用载荷和未知约束力表示的补充方程并求解。原刚架在C处为固定铰支座，不能移动，所以相当系统在活动铰支座C处的水平位移也应为零，故变形协调条件是（a）用单位载荷法计算ΔCx，建立补充方程。图12－6在载荷与多余约束力FCx共同作用下，刚架的约束力可以由平衡方程求得，它们分别为（b）刚架CB段与AB段的弯矩方程分别为（c）（d）在图12－6(d)所示单位载荷FCx=1作用下，由平衡方程求得刚架的约束力分别为在单位载荷作用下，刚架CB段与AB段的弯矩方程分别为根据莫尔定理，有(f)将式（f）代入式（a），得补充方程（g）由此解得(←)（h）负号表示FCx的实际方向与假设方向相反。

(3）通过相当系统计算刚架的约束力与内力。多余未知约束力FCx求出后，刚架的约束力可以通过相当系统求出。将代入式（b），得，，，（i）刚架的内力也可以通过相当系统求出。例如，将 代入式（d），令x2=a，求得截面B的弯矩为该静不定刚架B截面弯矩值最大，即（j）12.2.2内力静不定结构分析

分析内力静不定结构的方法，与分析外力静不定结构的方法基本相同。所不同的是，由于内力静不定结构的多余约束，存在于结构内部，多余约束力为构件切开处相连两截面间成对的内力，变形协调条件表现为该相连两截面间的某些相对位移为零。现在以图12－7(a)所示结构为例，说明分析内力静不定结构的方法。该结构由横梁AB与杆1、杆2、杆3组成，横梁中点截面C承受载荷F作用，试计算截面C的挠度。设横梁各截面的抗弯刚度均为EI，各杆各截面的拉压刚度均为EA，且I=Aa2/10。图12－7所以，结构外力是静定的。但是，若用截面法将结构截开，所取分离体（例如取节点D作为分离体）未知内力的数目都比独立的平衡方程数目多一个，故属于一次内力静不定问题。设以杆1为多余约束，假想地将其截开，得到原结构的基本系统。由于杆1截开截面处只有轴力FN1，由此也可以判定原结构属于一次内力静不定。原结构的相当系统如图12－7(b)所示。变形协调条件为截面m与m′沿杆轴方向的相对位移为零，即（a）用单位载荷法计算Δm/m′。在载荷F与多余约束力FN1

作用下，基本系统中杆的轴力为梁AC段的弯矩方程为根据莫尔定理，相当系统截面m与m′沿杆轴方向的相对位移为（b）将式（b）代入式（a），得补充方程解得最后，在相当系统上利用单位载荷法分析计算截面C的挠度。为此，在基本系统上加单位力如图12－7(d)所示。各杆的轴力均为零；梁AC段的弯矩方程为根据莫尔积分，截面C的挠度为将式（c）代入上式，得(↓)如果没有杆1、杆2、杆3，简支梁AB在载荷F作用下，截面C的挠度为(↓)显然，原静不定结构的刚度远好于相应的静定结构。

12.3对称与反对称静不定问题分析

在工程实际中，有很多静不定结构是对称的。利用这一特点，可以使静不定问题的计算得到很大简化。平面结构对称条件是：结构具有对称的形状、尺寸与约束条件，而且处在对称位置的构件具有相同的截面尺寸与弹性模量。例如图12－8(a)所示刚架即为对称结构。图12－8

作用在对称结构上的载荷各种各样，其中可能有对称载荷与反对称载荷。如果作用在对称位置的载荷不仅数值相等，而且方位与指向（或转向）均对称，则称为对称载荷；如果作用在对称位置的载荷数值相等、方位对称，但指向（或转向）反对称，则称为反对称载荷。图12－8(b)所示载荷为对称载荷，图12－8(c)所示载荷为反对称载荷。对于这种对称性问题，有下面的重要结论：对称结构在对称载荷作用下，其内力和变形必然也对称于对称轴；对称结构在反对称载荷作用下，其内力和变形必然反对称于对称轴。

利用对称结构的上述特性，在分析静不定问题时，可以减少多余未知力的数目，减少静不定次数。例如，图12－9(a)所示刚架为三次静不定结构，如果将刚架沿对称轴处横截面C截开后作为基本系统，一般存在三个多余未知内力分量，即轴力FN、剪力FS与弯矩M。然而，如果结构承受对称载荷（见图12－9(b)），则截面C处的反对称内力FS必然为零，仅剩下轴力FN与弯矩M两个多余未知力；如果结构承受反对称载荷（见图12－9(c)），则截面C处的对称内力FN与M必然为零，仅剩下剪力FS一个多余未知力。图12－912.3.1结构对称、载荷对称的静不定结构分析

图12－10(a)所示正方形刚架，在横截面A、A′处承受一对大小相等、方向相反的水平载荷F作用，试求刚架内的最大弯矩。设抗弯刚度EI为常数。

该封闭刚架为三次内力静不定结构。但是该刚架与载荷均对称于水平对称轴AA′，又对称于铅垂对称轴CC′，属于双对称结构。所以，在铅垂对称轴CC′处的横截面上，将只有轴力与弯矩，而且，截面C与C′的内力完全相同（见图12－10(b)）。由平衡方程得（a）图12－10这样，只剩弯矩MC一个多余未知力，原来三次静不定问题就等效于一次静不定问题。

如果选取相当系统如图12－11(a)所示，变形协调条件为切开处左、右截面间的相对转角θl/r为零，即（b）用单位载荷法计算θl/r。在载荷F与多余约束力MC共同作用下，相当系统ABC部分的弯矩方程为在图12－11(b)所示单位载荷作用下，相当系统ABC部分的弯矩方程为根据莫尔定理，并利用结构的对称性，有（c）将式（c）代入式（b），得补充方程（d）由此解得(e)多余未知约束力求出后，画刚架的弯矩图如图12－11(c)所示。可见（f）图12－11

例12－2如图12－12(a)所示两端固定梁AB，截面弯曲刚度为EI，作梁的弯矩图。图12－12

解

(1）确定相当系统。两端固定梁AB共有6个约束力，而有效平衡方程仅3个，故为三次外力静不定问题。但是，在小变形的条件下，梁的横截面形心沿轴线方向的位移极小，因而两端水平约束力也极小，一般均可忽略不计，于是，剩下4个约束力、两个有效平衡方程，属于二次静不定问题。又由于结构对称，载荷对称，因此在对称截面上只有对称内力而没有反对称内力。在不计轴向伸长变形时，对称截面C上将只有弯矩MC一个内力，故可以简化为一次静不定问题。

将梁从对称截面C截开，载荷F分解为作用在截面C两侧均为的两个分力，以弯矩MC作为多余约束力，选取相当系统如图12－12(b)所示。

(2）建立用载荷和多余未知内力表示的补充方程并求解。梁AB在C处左右两侧相对角位移为零，故变形协调条件是（a）用单位载荷法计算θC,l/r，建立补充方程。如图12－12(b)所示，在载荷与多余力MC共同作用下，梁CA段的弯矩方程为（b）在图12－12(c)所示单位载荷作用下，梁CA段的弯矩方程为（c）根据莫尔定理，并利用问题的对称性，有（d）将式（d）代入式（a），得补充方程（e）由此解得负号表示MC的实际方向与假设方向相反。

(3）通过相当系统计算结构的内力。

多余未知力MC求出后，梁的内力可以通过相当系统求出。将代入式（b），梁CA段的弯矩方程为（g）梁固定端A截面的弯矩为（h）根据式（g），作出梁的弯矩图如图12－12(d)所示，弯矩的最大值12.3.2结构对称、载荷反对称的静不定结构分析

图12－13(a)所示刚架，在对称轴的横截面C处，作用有矩为Me的集中力偶，试计算截面C的转角。设抗弯刚度EI为常数。

该刚架为三次外力静不定结构。刚架对称于铅垂对称轴，将作用在对称轴横截面C处的外力偶分解为作用在截面C两侧的两个分力偶，其矩均为Me/2，即构成反对称载荷。所以，在对称截面C处，将只存在剪力FSC这样一个多余未知力，原来三次静不定问题就等效于一次静不定问题。如果选取相当系统如图12－13(b)所示，变形协调条件为切开处左、右截面沿剪力FSC方向的相对位移Δl/r为零，即（a）用单位载荷法计算Δl/r。在载荷与多余约束力FSC共同作用下，相当系统CBA部分的弯矩方程为在图12－13(c)所示单位载荷作用下，相当系统ABC部分的弯矩方程为根据莫尔定理，并利用结构的对称性，有（b）将式（b）代入式（a），得补充方程(c)由此解得（d）多余未知约束力求出后，刚架截面C的转角可通过相当系统的左边或右边部分计算。若选左边ABC部分，在载荷Me/2与多余约束力FSC共同作用下，相当系统ABC部分的弯矩方程为在图12－13（d）所示单位载荷作用下，相当系统ABC部分的弯矩方程为根据莫尔定理，有图12－13

当对称结构承受一般载荷（既不对称，也不反对称）时，可以进行一些变换，使其成为对称载荷或反对称载荷。例如图12－14(a)所示的情况，可以将其分解为对称（见图12－14(b)）与反对称（见图12－14(c)）两组载荷。然后对这两种载荷的情况，再分别利用对称和反对称进行简化计算，将二者的结果叠加起来即可。图12－1412.3.3平面静不定刚架空间受力分析

图12－15(a)所示为一轴线位于同一水平面内的刚架。在一般情况下，对于一般空间力系问题，刚架任一截面上有六个内力分量（见图12－15(b)）。作用面位于刚架轴线所在xz平面内的分量FN、FSz与My称为面内内力分量；作用面位于刚架轴线所在平面外的分量T、FSy与Mz称为面外内力分量。若外载荷均垂直于刚架的轴线平面（见图12－15(a)），且当结构变形很小时，刚架横截面的形心在轴线平面内的位移可以忽略不计，因此，面内的三个内力分量以及面内的约束力一般可以忽略不计，这时，仅需考虑剩下的面外三个内力分量（见图12－15(c)），结构静不定次数明显降低。图12－15

例如，图