《电路与信号》课件模块4

模块4互感与理想变压器4.1互感元件的基本模型及伏安关系

4.2互感元件的等效模型

4.3理想变压器

本模块小结习题4

4.1互感元件的基本模型及伏安关系

4.1.1耦合电感

相邻线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合。一对相耦合的电感，若流过其中一个电感的电流随时间变化，则在另一个电感两端将出现感应电压，而两电感间可能并无导线相连，这便是电磁学中所说的互感现象。图4.1.1所示为两个相互有耦合关系的线圈，匝数分别为N1和N2。若第一个线圈中有电流i1存在，则在线圈周围建立磁场，产生的磁通设为Φ11，称为自感磁通，方向如图4.1.1所示。在穿越自身线圈时，所产生的磁链设为Ψ11，称为自感磁链，它与电流i1成正比，即

Ψ11=N1Φ11=L1i1

(4.1.1)图4.1.1两个线圈的互感式中，L1称为线圈1的自感，它是一个与电流和时间无关的常量。线圈1产生的磁通的一部分或全部与线圈2相交链产生的磁链设为y21，称为互感磁链，它也与电流i1成正比，即

y21=N2F21=M21i1

(4.1.2)

同样，若线圈2中有电流i2存在，则产生自感磁通F22与自身线圈相交链，产生自感磁链y22，它与电流i2成正比，即

y22=N2F22=L2i2

(4.1.3)

式中，L2称为线圈2的自感，它是一个与电流和时间无关的常量。线圈2产生的磁通的一部分或全部与线圈1相交链产生的互感磁链设为y12，它与电流i2成正比，即

y12=N1F12=M12i2

(4.1.4)由以上分析可知，若两线圈中同时有电流i1和i2存在，则耦合线圈中磁链等于自感磁链和互感磁链两部分的代数和，如线圈1和线圈2的总磁链分别为y1和y2，则有

引入同名端的概念后，我们可从实际耦合线圈抽象出来理想化的耦合电感的电路模型，它是一种线性时不变双口元件，由L1、L2和M三个参数来表征。图4.1.1(a)和(b)所示的耦合线圈可用图4.1.2(a)和(b)所示的电路模型来表示。(4.1.5)图4.1.2耦合电感工程上为了定量描述两个耦合线圈的耦合紧疏程度，定义了耦合系数，记为k，即

将式(4.1.1)～式(4.1.4)代入式(4.1.6)，并考虑M=M12=M21，可得耦合系数(4.1.6)(4.1.7)4.1.2耦合电感的伏安关系

如果两个耦合电感L1和L2中有变动的电流，则各电感中的磁链将随电流变动而变动。设L1和L2的电压和电流分别为u1、i1和u2、i2，且都是关联参考方向,互感为M，由式(4.1.5)有(4.1.8)

【例4.1.1】试求图4.1.3所示耦合电感的电压-电流关系。

解：耦合电感的电压由自感电压和互感电压两部分组成。

自感电压正负号的确定方法与二端电感相同。图中，u1和i1

采用关联参考方向，自感电压为 ；u2和i2采用非关联参考方向，自感电压为 。互感电压正负号的确定与同名端有关。本例中，u1的“+”端和i2的流入端为标有“－”号的同名端，即电流i2在u1处产生的互感电压的“+”极即为u1的“+”端，互感电压取正号， ；u2的“－”端与i1的流入端为同名端，即i1在u2处产生的互感电压的图4.1.3例4.1.1图“+”极在u2的“－”端，互感电压取负号， 。最后得到图4.1.3所示耦合电感的电压-电流关系为

工作在正弦稳态条件下的耦合电感，其相量模型如图4.1.4所示。相应的电压-电流关系分别为(4.1.9(a))(4.1.9(b))图4.1.4耦合电感的相量模型此外，还可用电流控制电压源(CCVS)表示互感电压的作用。对图4.1.4(a)所示的耦合电感，用CCVS表示的电路如图4.1.5(相量形式)所示。图4.1.5用CCVS表示的耦合电感电路 4.2互感元件的等效模型

4.2.1将互感电压等效为电流控制的电压源

1.互感线圈的串联

当具有互感的两个线圈串联时，由于同名端的不同，有两种连接方式：顺串和反串。所谓顺串，就是把两个线圈的异名端连接起来，如图4.2.1(a)所示。这时电流i将从同名端流入，产生的互感电压高电位点在同名端上。将互感电压等效成受控源后的电路如图4.2.1(b)所示。图4.2.1顺串由图4.2.1(b)可写出端口电压-电流的关系为

相应的相量的伏安关系式为

如果把两个线圈的同名端连接起来，称为反串，如图4.2.2(a)所示。这时电流i将从异名端流入。图4.2.2反串由图4.2.2(b)可得端口的伏安关系为

相应的相量关系为

2.互感线圈的并联

两个线圈并联时也有两种连接方式：一种是把同名端接在同一节点上，如图4.2.3(a)所示；另一种是把异名端接在同一节点上，如图4.2.4所示。图4.2.3同名端并接图4.2.4异名端并接图4.2.3(a)去掉M后的相量模型如图4.2.3(b)所示，其KVL和KCL相量方程为

联立这组关系式可以得到端口的相量伏安关系为

同理，互感线圈异名端相并如图4.2.4所示，其端口的相量伏安关系为4.2.2互感化除法

本节我们通过图4.2.5所示的具有互感的三端电路来介绍互感化除法。图4.2.5(a)中，公共端子3为两线圈同名端的连接点。按图所示支路电流的参考方向，左、右两个回路的电压相量方程为

将 代入上式，可得图4.2.5具有互感的三端电路在上式中，如果将M看成是、同时流过的公共支路的电感，并把L1和L2分别以电感L1－M和L2－M代替，则可作出如图4.2.6(a)所示的等效电路，而图4.2.6(a)已经是一个没有互感的电路，可以按一般正弦电路的分析方法求解各支路的电压、电流。图4.2.6互感化除后的三端等效电路

【例4.2.1】利用互感化除法重解图4.2.1(a)所示的顺串和图4.2.3(a)所示的同名端并接的等效电感量Lab和Le。

解：图4.2.1(a)所示的顺串，属于异名端作为公共连接点，因此互感化除后的等效电路如图4.2.7(a)所示。由阻抗的串联公式可得等效电感Lab为

Lab=L1+M+L2+M=L1+L2+2M

图4.2.3(a)所示的同名端并接，属于同名端作为公共连接点，互感化除后的等效电路如图4.2.7(b)所示。由阻抗的串并联公式可得等效电感为图4.2.7例4.2.1图4.2.3含互感的正弦稳态电路分析

对于含有互感的正弦电路的计算，原则上与一般正弦电路的计算相同。但在计算时要注意：

(1)不要遗漏互感电压。

(2)要注意同名端，正确写出互感电压的表达式，不要搞错正负号。

(3)在应用戴维南定理时，有源单口网络内部与外电路之间不应有互感存在。

(4)对含有互感的电路，不易直接列出节点方程，在一般情况下，不使用节点电位法。

(5)采用互感化除法常有利于简化计算。

【例4.2.2】电路如图4.2.8(a)所示，已知R1=3Ω，R2=6Ω，ωL1=4Ω，ωL2=8Ω，ωM=1Ω，电压=1∠0°V，求当开关S打开和闭合时的电流。

解：S打开时，两个具有互感的线圈顺接串联，故得电路的输入阻抗为

Zi=(R1+R2)+jω(L1+L2+2M)

=(3+6)+j(4+8+2)

=9+j14=16.64∠57.3°Ω

电路的电流为图4.2.8例4.2.2图

S闭合时电路如图4.2.8(b)所示。应用互感化除法可得等效电路，如图4.2.8(c)所示。根据等效电路可求得也可直接根据图4.2.8(b)所示的电路列出回路电压方程：

由以上两式可解出

与上述结果完全相同。

4.3理想变压器

理想变压器是一种特殊的无损耗全耦合变压器，它是实际变压器的理想化模型。空芯变压器如果同时满足下列3个条件，则经“理想化”和“极限化”就演变为理想变压器：

(1)空芯变压器本身无损耗。

(2)耦合系数k=1。

(3)L1、L2和M均为无限大。

4.3.1理想变压器的基本模型及伏安关系

理想变压器也是一种耦合元件，但与耦合电感不同，表示的不是磁耦合关系，而是电压变换关系和电流变换关系，其电路模型如图4.3.1所示。图4.3.1理想变压器若端口电压、电流为关联参考方向，原边匝数为N1，副边匝数为N2，则根据理想变压器的三个条件，可以证明同名端如图4.3.1(a)所示的理想变压器其伏安关系为

对于同名端如图4.3.1(b)所示的理想变压器，其伏安关系为(4.3.1)(4.3.2)理想变压器用受控源表示的电路模型如图4.3.2所示。图4.3.2理想变压器的受控源表示4.3.2理想变压器的阻抗变换特性

理想变压器对电压、电流按变比变换的作用还反映在阻抗的变换上。如图4.3.3所示，在正弦稳态的情况下，当理想变压器的次级接负载阻抗ZL时，从理想变压器初级看进去的输入阻抗为

n2ZL即为次级折合到初级的等效阻抗。也就是说，图4.3.3(a)可用图(b)等效代替。(4.3.3)图4.3.3理想变压器的阻抗变换作用4.3.3含理想变压器的正弦稳态电路分析

【例4.3.1】含理想变压器的电路如图4.3.4(a)所示，试求和。

解：利用理想变压器的阻抗变换特性，将次级阻抗变换到初级，可得如图4.3.4(b)所示的电路，则

由理想变压器的伏安关系，可得

则图4.3.4例4.3.1图

【例4.3.2】在如图4.3.5所示的电路中，理想变压器匝比n=0.5，R1=R2=10Ω， ， ，试求流过R2的电流。

解：设理想变压器初、次级电压为和，网孔电流为和，则 ，电路的网孔方程为

代入数据，可计算出

本模块小结

1.耦合电感的伏安关系

耦合电感是具有磁耦合的多个线圈的电路模型。通常由L1、L2和M三个参数来表征理想化耦合电感。设两线圈电压、电流分别取关联方向，则有

其相量形式为

上面两式中，线圈电压、电流取关联参考方向，则自感电压取正；当两个线圈电流产生的磁通相互增强时，互感电压取正，否则取负。

2.耦合电感的同名端

若两电流分别流入这对端子，使线圈中的磁通相互增强，或线圈产生互感电压与自感电压方向相同，则这对端子称为同名端。

3.耦合电感的连接及去耦等效

(1)耦合电感的串联。其等效电感为

Leq=L1+L2±2M

式中，顺串时M前的符号取正，反串时M前的符号取负。

(2)耦合电感的并联。其等效电感为

式中，同侧并联(顺并)时M前的符号取负，异侧并联(反并)时M前的符号取正。

(3)耦合电感的三端连接。三端连接的耦合电感可等效为3个无耦合的电感构成的T形电路。当耦合电感同名端连接在一起时，等效为与此端连接的电感为M，其余两个电感分别为L1－M和L2－M；否则，改变上述3个电感M前的符号。

4.含理想变压器电路

(1)理想变压器的伏安关系。当耦合电感满足线圈无损耗，耦合系数k=1，L1、L2和M均为无限大，且保持

(匝比)的条件时，此元件模型称为理想变压器。理想变压器只有一个参数，即匝比n。虽然同名端的标注可能会有所不同，但其