《材料力学》课件第6章

第6章弯曲变形6.1引言6.2确定梁位移的积分法6.3确定梁位移的叠加法6.4梁的刚度条件及合理设计6.5简单静不定梁6.1引言

1.工程中的弯曲变形问题工程中的很多结构或构件在工作时，对于弯曲变形都有一定的要求。一类是要求构件的位移不得超过一定的数值。例如行车大梁在起吊重物时，若其弯曲变形过大，则小车行驶时就要发生振动；若传动轴的弯曲变形过大，不仅会使齿轮不能很好地啮合，还会使轴颈与轴承产生不均匀的磨损；输送管道的弯曲变形过大，会影响管道内物料的正常输送，还会出现积液、沉淀和法兰联结不密等现象；造纸机上的轧辊，若弯曲变形过大，生产出来的纸张就会厚薄不均，成为废品。另一类是要求构件能产生足量的变形。例如车辆钢板弹簧，变形大可减缓车辆所受到的冲击；又如继电器中的簧片，为了有效地接通和断开电源，在电磁力作用下必须保证触点处有足够大的位移。

2.挠度、转角及其相互关系

在平面弯曲中，梁变形后的轴线是位于纵向对称面内的一条连续光滑的平面曲线，称为梁的挠曲线，如图6－1所示。图6－1通常情况下，剪力对弯曲变形的影响可忽略不计。因此，即使是横力弯曲，梁的横截面在变形时仍保持为平面，且垂直于梁的挠曲线，“刚性”地绕中性轴转过某一角度。由此可见，梁的变形可用横截面形心的位移及截面的角位移来描述。

选取x－w平面坐标系。x轴沿梁变形前的轴线，向右为正，表示梁横截面的位置；w轴沿垂直于梁轴线的方向，向上为正，表示梁横截面形心的横向位移。横截面的形心沿w轴方向的线位移称为挠度，用w表示。不同横截面的挠度一般不同，挠度是坐标位置的函数，可表示为上式称为挠度方程。弯曲变形时，轴线位于中性层上，梁轴的长度保持不变，因此横截面的形心沿梁轴方向也存在位移，但在小变形条件下，横截面形心的轴向位移是二阶微量，远小于其横向位移，可忽略不计。所以挠度方程也称为梁的挠曲线方程（或挠曲轴方程）。

横截面的角位移称为转角，用θ表示。横截面的转角θ等于挠曲线在该截面处的切线与x轴的夹角，如图6－1所示。挠度的正负规定为向上为正、向下为负；转角的正负规定为逆时针为正、顺时针为负。工程中，梁的转角一般都很小，例如不超过1°（0.075rad），由图示几何关系可得（6－1）即在小变形情形下，梁的挠度对坐标位置的一阶导数等于转角。 6.2确定梁位移的积分法

6.2.1挠曲线微分方程

由上一章知，用曲率表示的弯曲变形公式（5－1）为这一公式是在纯弯曲情况下得到的，若忽略剪力对梁变形的影响，则此式也可用于一般横力弯曲，由于梁轴上各点的曲率和弯矩均是横截面位置x的函数，因而上式可写为（a）由高等数学知识可知，平面曲线上任一点的曲率为（b）将式（b）代入式（a）可得（c）式(c)称为挠曲线微分方程，是一个二阶非线性常微分方程。在小变形情形下，转角θ=(dw/dx)1，为一阶微量，(dw/dx)2为高阶微量,略去不计。式（c）可简化为（d）（6－2）式(6－2)称为梁挠曲线的近似微分方程。根据这个近似微分方程所得的解，在工程中，已足够精确。对于等截面梁，抗弯刚度EI为常量，式(6－2)可改写为（6－3）图6－26.2.2积分法求梁的变形

对式（6－3）积分一次，得转角方程为（6－4）再积分一次，得挠曲线方程为（6－5）式中C、D为积分常数。积分常数可利用梁的边界条件和挠曲线的连续光滑条件来确定。例如，在固定端处，横截面的转角和挠度均为零，即w=0,

θ=0在铰支座处，横截面的挠度为零，即w=0中间铰链左右两侧截面的挠度相等，满足连续条件，即梁横截面的已知位移条件或约束条件，称为梁位移的边界条件。当弯矩方程需要分段建立时，各段梁的挠度、转角方程也将不同，但在相邻梁段的交接处，左右两邻面应具有相同的挠度和转角，即应满足连续光滑条件,称为梁位移的连续光滑条件,可表示为一般来说，积分常数可由位移边界条件和连续光滑条件共同确定。当积分常数确定后，将其代入式（6－4）和式（6－5），即得梁的挠曲线方程和转角方程。这种通过两次积分确定梁位移的方法称为积分法。

例6－1有一支承管道的悬臂梁AB（见图6－3）。管道的重量为W，梁长为l，抗弯刚度为EI，求梁的最大挠度和转角。图6－3

解选取坐标系如图6－3所示。距梁左端为x处截面的弯矩为代入式（6－3），得挠曲线的近似微分方程为（a）将式（a）积分一次，得（b）再积分一次，得（c）确定积分常数C和D的边界条件为：在固定端截面处，挠度和转角均为零。即将（b）、(c)两式代入，得将所得积分常数代入（b）、(c)两式，得到梁的转角方程和挠度方程分别为显然在自由端处转角与挠度最大，即当x=l时，得式中转角为负值，表示梁变形时B横截面绕中性轴按顺时针方向转动；挠度为负，表明B截面形心向下移动。

例6－2

简支梁AB受力如图6－4所示（图中a>b），梁的抗弯刚度EI为常量，求此梁的转角方程和挠曲线方程，并确定最大挠度值。图6－4

解（1）求约束力。建立坐标系如图所示,求得约束力为方向均竖直向上。（2）写出弯矩方程。由于集中力加在两支座之间，弯矩方程在AC、BC两段各不相同。

AC段:CB段:（3）分段建立梁的挠曲线近似微分方程。写出挠曲线的近似微分方程分别为

AC段:CB段:（4）积分法求变形。分别积分两次，可得

AC段:CB段(a)(b)(c)(d)

确定上述四个积分常数需要四个条件。支座A、B两处的边界条件为由连续光滑条件可知，在AC和CB段的分段点C处（x=a），左右两邻面的挠度和转角必相等，即利用式（e）和式（f），即可解得于是，求得梁的转角方程和挠曲线方程分别为(e)(f)AC段:CB段:(g)（h）（i）（j）（5）求梁的最大转角与最大挠度。

将x=0代入式（g）可得梁左端面的转角为将x=l代入式（i）可得梁右端面的转角为若 ，则梁右端面转角绝对值最大，即：

简支梁的最大挠度应在处，先分析AC段梁，由挠度的一阶导数为零可解得当a>b时，此值小于a，因而最大挠度确实在AC段内，代入式（g）得(↓)若，即集中力作用在跨度中点，则梁中点处的挠度最大为(↓) 6.3确定梁位移的叠加法表6－1

用叠加法求梁的位移时应注意以下两点：一是正确理解梁的变形与位移之间的区别和联系，位移是由变形引起的，但没有变形不一定没有位移；二是正确理解和应用变形连续]条件，即在线弹性范围内，梁的挠曲线是一条连续光滑的曲线。下面举例说明叠加法的应用。例6－3

某桥式起重机力学模型如图6－5（a）所示，横梁自重可视为均布载荷，集度为q，作用于跨度中点的载荷为F＝ql，梁的抗弯刚度为EI，试求B点处截面的转角θB及C点处的挠度wC。图6－5

解用叠加法求解此题。

将载荷分解为中点作用集中力、全梁作用均布载荷的简支梁两种情况，查表6－1可得由集中力F引起的C处的挠度wCF和B处的转角θBF分别为由均布载荷q引起的C处的挠度wCq和B处的转角θBq分别为所以B截面处的转角和C截面处的挠度分别为例6－4

图6－6所示的简支梁受半跨度均布载荷作用，梁的抗弯刚度为EI。试求梁中点C处的挠度wC。图6－6

解本题可用两种方法求解。

解法一：均布载荷可视为作用在梁轴上的无数微小集中载荷。由表6－1（7）可知，在距梁左端为x(l/2<x<l)处的微小载荷qdx作用下（见图6－6(b)），简支梁中点的挠度为所以半跨度均布载荷在简支梁中点处所引起的挠度为

解法二：将图6－6(a)所示的梁上载荷分解为作用在整个梁上向下的均布载荷q（见图6－6(c)）和左半跨度上的均布载荷q（见图6－6(d)）。由表6－1（8）可查出，图6－1(c)所示载荷作用下，梁中点的挠度为

由对称性可知，在图9-6d所示的半跨度均布载荷作用下，简支梁中点的挠度与所要求的大小相等，方向相反，即

由叠加法可知，梁中点C的挠度为所以有图6－7

例6－5

图6－7(a)所示的组合梁由梁AB与梁BC用铰链连接而成。在梁AB上作用有均布载荷q，梁BC的中点作用有集中力F＝qa。试求截面B的挠度与截面A的转角。设两段梁的抗弯刚度均为EI。

解梁AB与梁BC的受力分别如图6－7(b)所示。由静平衡条件可求得支座A及中间铰链B处的约束力分别为分析悬臂梁BC，查表6－1（1)、(2）可得变形后挠曲线的大致形状如图6－7(c)中细实线所示。截面A的转角等于因中间铰链B处挠度所引起的截面A的转角与均布载荷作用于简支梁AB所引起截面A的转角的代数和，即 6.4梁的刚度条件及合理设计

1.梁的刚度条件

在机械设备及工程结构中，许多梁除应满足弯曲强度条件外，还应具备必要的刚度。在工程中应对许多梁的挠度加以限制，对于某些梁（如传动轴），还需要对其转角加以限制。

若许用挠度用［δ］表示，许用转角用［θ］表示，梁的刚度条件可表示为（6－6）（6－7）

式中wmax与θmax均取绝对值。刚度条件要求梁在工作时其最大挠度与最大转角分别不超过各自的许用值。而在有些情况下，还会限制某些特定截面的挠度、转角不超过其许用值。

许用挠度与许用转角的数值由梁的工作条件决定。例如对跨度为l的桥式起重机梁，其许用挠度为对于跨度为l一般用途的轴，其许用挠度为跨度为l的架空管道的许用挠度为对于高度为h的一般塔器的许用挠度为在安装齿轮或滑动轴承处，轴的许用转角则为至于其他梁或轴的许用位移值，可从有关设计规范或手册中查得。

例6－6一简支梁由单根工字钢制成，跨度中点承受集中载荷F，已知F＝35kN，跨度l＝3m，许用应力［σ］＝160MPa，许用挠度［δ］＝l／500，弹性模量E＝200GPa，试选择工字钢型号。

解（1）强度设计。

梁的最大弯矩为根据梁的弯曲正应力强度条件，可得

查型钢表得，18号工字钢的抗弯截面系数Wz=1.85×105mm3,满足强度条件。（2）刚度校核。

查型钢表得，18号工字钢对中性轴的惯性矩为Iz=1.66×107mm4，最大挠度在梁跨度的中点，它的数值为梁的许可挠度［δ］=l/500=6mm。所以wmax<［δ］满足刚度条件。大多数构件的设计过程都是先进行强度设计或工艺结构设计，确定截面的形状和尺寸，然后再进行刚度校核。

2.提高弯曲刚度的措施

梁的挠度和转角不仅与受力有关，而且与梁的抗弯刚度、跨度以及约束条件有关。据此，在梁的设计中可采取以下主要措施提高梁的刚度以减小其变形：增大梁截面的惯性矩；尽量减小梁的跨度或长度；增加支承；改善梁的受力情况等。

(1)提高梁的抗弯刚度EI。

各种钢材的弹性模量E的数值相差不大，故采用高强度优质钢来提高弯曲刚度的做法是不可取的。增大截面惯性矩I是提高抗弯刚度的主要途径。与梁的强度问题一样，可选用槽形、工字形、框形及空心圆等合理的截面形状。

(2)改善梁的载荷。

改善梁上载荷的作用位置、方向及作用形式，降低梁上的弯矩，可提高梁的弯曲刚度。这与提高梁的强度措施一致。

(3)减小梁的跨度或合理增加梁的支承。

因为梁的挠度与跨度的三次方（集中载荷）或四次方（分布载荷）成正比，随着梁的跨度的增加，梁的挠度迅速增大。在集中载荷作用下，简支梁的跨度若加长20％，则最大挠度相应增加48.8％。所以降低梁的跨度可明显提高梁的弯曲刚度。

6.5简单静不定梁

前面所研究的梁均为静定梁。在工程中，为了提高梁的强度和刚度，或由于结构上的需要，往往给静定梁增加约束，于是，梁的约束力数目超过独立静平衡方程的数目，即成为静不定梁。

在静定梁上增加的约束，对于维持构件平衡来说是多余的，因此，习惯上常把这种约束称为多余约束。与多余约束所对应的支座约束力或约束力偶，统称为多余约束反力。

通常把梁具有的多余约束反力数目，称为梁的静不定次数，静不定次数等于约束反力总个数减去独立静平衡方程数。

图6－8为了求解静不定梁，除需要列出静力平衡方程式外，还需要根据变形协调条件以及力与位移间的物理关系，建立补充方程，补充方程个数应与静不定次数相等，这样才能解出全部约束力。下面以图6－9(a)为例，说明静不定梁的求解方法。

该梁具有一个多余约束，为一次静不定梁。如以B处支座作为多余约束，则相应的多余约束力为FB。

为了求解，假想地将支座B解除，而以约束力FB代替其作用，于是得到一个承受集中力F和未知力FB的静定悬臂梁AB，如图6－9(b)所示。多余约束解除后，所得受力与原静不定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。图6－9相当系统在载荷F与未知的多余反力FB作用下发生变形，为了使其变形与原静不定梁相同，多余约束处的位移必须符合原静不定梁在该处的约束条件。在本例中，即要求相当系统横截面B的挠度为零，则图6－9(b)与图6－9(a)完全吻合。对于图6－9(b)，要求其挠度为零的条件称为变形协调条件。必须强调指出，这一变形协调条件是针对承受给定载荷和未知多余约束力的相当系统写出的。

利用叠加法可求图6－9(b)梁B点的挠度。由F力单独作用时，如图6－9(c)，B点挠度记为wBF,由FB力单独作用时，如图6－9(d)，B点挠度记为wBFB，所以变形协调条件可写为（a）查表6－1得（b）（c）将式（b）、（c）代入式（a）并求解，可得

FB取正号，表示实际FB的方向与图6－9(b)假设的方向相同。求出多余反力后，其余约束力即可由静平衡方程求出。

以上分析表明，求解静不定梁的关键在于确定多余约束力，其方法和步骤可概述如下：

（1）根据约束力与独立平衡方程的数目，判断梁的静不定次数。

（2）解除多余约束，并以相应的多余约束力代替其作用，得到原静不定梁的相当系统。

（3）计算相当系统在多余约束处的位移，并根据相应的变形协调条件建立补充方程，由此即可求出多余约束力。

例6－7

一悬臂梁AB，承受集中载荷F作用，因其刚度不够，用一短梁加固，两梁在C处的连接方式为铰链连接，如图6－10(a)所示。试计算梁AB最大挠度的减少量。假设二梁横截面的抗弯刚度均为EI。

解（1）判断静不定次数。

梁AB与梁AC均为静定梁，但由于在C处用铰链相连增加一约束，因而该结构属于一次超静定结构。

（2）确定相当系统。

选