《电路与线性系统分析》课件第2章

2.1等效电路与等效分析法2.2单口电阻电路的等效化简2.3含独立源电路的等效化简2.4含受控源电路的等效化简2.5应用习题二

从上章最后一节的几个举例中我们能够感受到：结构简单的电路比结构复杂的电路容易分析。那么，能否让复杂电路的分析也容易呢？采用什么方法能简化复杂电路的分析？本章就讨论这个问题。首先，介绍等效电路的概念和等效分析的思路，然后，具体讨论各类复杂电路的等效化简方法。2.1等效电路与等效分析法

两个内部结构、元件参数不同的一端口(单口)电路，如果它们的端口伏安关系完全相同(外特性相同)，则称这两个电路互为等效电路。等效电路的物理含义可以用图2.1-1给予诠释。当描述电路A和电路B的端口伏安关系表达式u=f1(i)(或者i=f2(u)，或者f(i,u)=0)完全相同时，从端口看，这两个电路的作用是一样的，没有区别。因此，对于接入端口的外电路而言，无论接哪一个电路，对其作用都一样，故把电路A和电路B视为等效电路。请考虑这样一个问题：若某电路如图2.1-2所示，由单口电路A与外电路互联组成，要求计算外电路中的电量(电压、电流或功率)。假如电路B是电路A的等效电路，并且结构比电路A简单得多，能否用电路B替换电路A，然后，依据电路B与外电路互联组成的简单电路来计算外电路中的电量呢？换句话说，用替换后电路计算的外电路电量会是图2.1-2电路的结果吗？回答是肯定的。这就是等效法的分析思路。图2.1-1电路A与电路B互为等效电路图2.1-2电路A与外电路互联在求一条支路的问题时，常用等效分析法。等效分析法的解题步骤用图2.1-3示意。第一步，把电路N分解为两个单口电路。如何分解呢？把待求电量所在支路划分出来，作为一个单口电路，即外电路；剩下的电路N1为另一个单口电路，见图2.1-3(a)。第二步，寻找结构比N1简单的等效电路N2。第三步，用电路N2替换电路N1，这样，原电路N就化简为图2.1-3(b)。通常，电路最简可化简为单网孔或单节点偶电路结构。最后，根据图2.1.3(b)，把所关心的待求支路电量求出。图2.1-3等效分析法示意图以下重点讨论第二步，等效化简复杂电路。化简思路是：先求出复杂电路的端口伏安关系式，再找有同样伏安关系、结构最简单的等效电路。2.2单口电阻电路的等效化简这里所说“电阻电路”指由电阻元件构成的电路。通过本节的学习，我们将知道单口复杂电阻电路的最简等效电路是什么，并学会等效化简复杂单口电阻电路。2.2.1电阻串联与分压公式

n个电阻串联构成的单口电路如图2.2-1(a)所示，其最简等效电路是一个电阻，为图2.2-1(b)，等效电阻的阻值为(2.2-1)图2.2-1

n个电阻串联及等效电路推导：设图2.2-1(a)的端口电流、电压及各电阻电压的参考方向关联，如图2.2-1所示。列回路电压方程，有把电阻的伏安关系uk=Rki，k=1,2,…,n代入以上电压方程，得或者(2.2-2)由式(2.2-2)可见，端口伏安关系的形式如同欧姆定律u=Ri，故有结论：n个电阻串联可等效化简为一个阻值的电阻。在图2.2-1(a)所示的电压参考方向下，第m个串联电阻Rm两端的电压um为(2.2-3)式(2.2-3)为分压公式的一般形式。不难看出，在串联结构中，电阻电压的大小与电阻值成正比；阻值大，分压大，阻值小，则分压小。当两个电阻串联时，在图2.2-2所示参考方向下，分压公式为图2.2-2两个电阻串联(2.2-4a)(2.2-4b)电压表是应用分压原理的一个实例。模拟电压表的核心部件是一个指示电流大小的表头，见示意图2.2-3。表头性能取决于表头内阻Rg和满度电流Ig两个参数。所谓满度电流是指当通过表头电流达到Ig时，表头指针指示最大，即满刻度。这就是说，Ig是表头可以直接测量的最大电流，大于Ig的电流不能用表头直接测量，否则表头将损毁。表头可直接测量的最大电压是Rg×Ig。通常，磁电式表头内阻Rg为几千欧姆，满度电流Ig多在几百微安以下，它能直接测量的最大电压只有几百毫伏，这显然不能满足实际需要。扩大表头的测量电压范围(量程)可通过在表头支路串联电阻Rs来实现，见图2.2-4。这个串联电阻起分压与限流作用，保证在规定的电压范围内，通过表头的电流不会超过满度电流Ig。图2.2-3表头示意图图2.2-4电压表的结构示意图2.2.2电阻并联与分流公式

n个电阻并联构成的单口电路如图2.2-5(a)所示，其最简等效电路是一个电导，见图2.2-5(b)，等效电导值为或者用电阻表示

(2.2-5a)(2.2-5b)图2.2-5

n个电阻并联及等效电路推导：在图2.2-5(a)所示电流、电压的参考方向下，节点电流方程为把，k=1,2,…,n代入以上电流方程式，得或者(2.2-6)端口伏安关系与一个值为的电导相同，故有结论：n个电导并联可等效化简为一个值为的电导。在图2.2-5(a)所示电流参考方向下，第m条支路的电流im为(2.2-7)式(2.2-7)是一般形式的分流公式。特殊地，当两个电阻并联时，在图2.2-6所示电流参考方向下，分流公式为(2.2-8a)(2.2-8b)在并联结构中，支路电流大小与支路电阻值成反比，支路电阻小，分流大；支路电阻大，分流小。两个电阻并联的等效电阻值可由式(2.2-5)推出，有由式(2.2-9)不难看出，电阻越并越小，并联等效电阻值R小于最小的并联电阻值。特殊地，若某条并联支路短路，则等效阻值为零。(2.2-9)模拟电流表是利用分流原理来扩大表头测量范围的一个应用实例，见示意图2.2-7。由于表头只能直接测量微安级电流，所以，若待测电流大于Ig，就需要通过与表头并联电阻Rp

的分流来扩大测量范围。根据允许的最大电流值，选择电阻值Rp，从而确保流过表头的电流不超过满度电流Ig。图2.2-7电流表结构图2.2.3串并混联电阻电路的等效化简在实际应用中，可直接使用以上得到的电阻串并联等效结论来化简电阻电路，不需要再从寻找端口伏安关系一步步做起。化简电路的关键是正确判别元件之间的互联关系，是串联、并联还是其他连接形式。元件串联的电特征是流过的电流为同一个电流；元件并联的电特征为元件两端是同一电压。此外，同一电路结构有许多画法，若从某一画法中分辨不清元件的连接关系，改变画法可能会使连接关系一目了然。

例2.2-1电路如图2.2-8(a)所示，求ab端口的最简等效电路。图2.2-8例2.2-1电路解：第一步，把6Ω与3Ω并联电阻等效化简为一个阻值为的电阻；1Ω与5Ω串联电阻等效为一个阻值为1Ω+5Ω=6Ω的电阻，则图2.2-8(a)等效化简为图2.2-8(b)。第二步，进一步化简图2.2-8(b)电路。图中，两个2Ω电阻串联后与6Ω电阻并联，等效电阻为，电路化简为图2.2-8(c)。第三步，由图2.2-8(c)可得Rab=4+2.4+8=14.4Ω

例2.2-2求图2.2-9(a)所示电路的端口等效电阻Rab。图2.2-9例2.2-2电路解：在图2.2-9(a)电路中，d、c、e三点等电位，合为一点，把图(a)改画为图(b)，从图(b)容易看清电阻之间的互联关系。合并图(b)中的并联电阻支路，得到简化电路图(c)；根据图(c)得Rab=［(2+2)∥4+1］∥3=1.5Ω例2.2-3电路如图2.2-10(a)所示，求三条支路电流I1、I2和I。图2.2-10例2.2-3电路思路：以ab端口为界面，把电路分为左右两个单口电路；先求右侧电阻电路在ab端口的等效电阻，把原电路化简为图(b)单回路电路，求出电流I；然后回到原电路图(a)，再利用分流公式求I1和I2。

解：右侧电阻电路在ab界面的等效电阻为原电路化简为图(b)，从图(b)不难求出回到图(a)，利用分流公式，求得根据节点电流方程，求得I2=I1-I=4-12=-8A注意：分流公式与分压公式都与参考方向有关，若用分流公式求I2，在图示参考方向下，计算式为

例2.2-4图2.2-11(a)所示电路是一个分压器。R=1kΩ是一个有三个端子的可变电阻，通过滑动触头C的位置，把电阻R分为R1和R2两部分，见等效电路(b)。当触头C移到位置A时，R1=0Ω，输出电压U0=0V；当触头C移到位置B时，R1=1kΩ最大，输出电压U0=Us。因此，该分压器可提供0~Us范围内的电压。已知Us=18V，(1)若空载(指负载电阻RL未接入)输出电压U0=7.2V，求R1和R2的阻值；(2)在CA端口接上RL=1.2kΩ负载后，求输出U0。图2.2-11例2.2-4电路解：(1)由题意知R=R1+R2=1000Ω(a)空载时，R1与R2串联，U0与Us呈分压关系，有，代入已知电压，得

7.2(R1+R2)=18R1(b)联立(a)、(b)两式，解得R1=400Ω，R2=600Ω

(2)接入负载电阻RL后，CA端口的等效电阻为利用分压公式得可见，接上负载后的输出电压6V比空载输出电压7.2V小。类似的情况会在测量电压时出现，见图2.2-12。R1两端的实际电压为U0，见图2.2-12(a)；若在R1两端接上一个电压表测量该电压，假如电压表的内阻为RL，接入电压表后的等效电路为图2.2-12(b)。由以上分析不难推知，电压表的测试值U

0会比真实电压值U0小，存在误差。误差值与电压表的内阻RL有关，电压表的内阻RL小，测量误差大；内阻RL大，则测量误差小。只有当RL=∞时，才没有测量误差。所以，电压表内阻越大测量精度越高。图2.2-12测量电压U0的电路2.3含独立源电路的等效化简

2.3.1电压源的等效化简在日常生活与工作中，许多电子装置的电源是由若干节电池首尾相连构成的，这种连接叫做电源串联，用以提高供电电压。图2.3-1(a)是两个电压源串联电路，该电路ab端口的电压为或者其中电压源us1(t)与us2(t)是固有值，两个固有值的代数和仍为固有值；流过理想电压源的电流i(t)是任意值，i(t)也是ab端口电流，因此，图2.3-1(a)电路呈现理想电压源的伏安关系，所以，两个电压串联可等效为一个电压源，这个电压源有两种等效电路形式，见图2.3-1(b)与图2.3-1(c)，两种等效电路仅是电压极性的差别。图2.3-1电压源串联及等效化简电路一般而言，n个电压源串联可等效为一个电压源，该电压源的大小等于n个电压源的代数和，其参考极性与代数和中取“+”号的电压源一致。

例2.3-1电路如图2.3-2(a)所示，求ab端口的最简等效电路。图2.3-2例2.3-1电路

解：三个电压源串联，等效为一个大小是6+3-4=5V的电压源，极性同6V电压源一致。两个串联电阻等效为一个阻值为4+3=7Ω的电阻，最简等效电路见图2.3-2(b)。电压源并联有条件限制。其一，电压值要相同；其二，要同极性相连。图2.3-3是两个12V电压源并联的正确接法。两个同值电压源并联，每个电压源只需提供外电路所需电流的一半。当一个电压源不能提供外电路所需的功率时，可通过电压源并联提高输出功率。图2.3-3电压源并联例2.3-2图2.3-4是两个不同值的实际电压源并联，电源内阻都很小，求空载时，电源中流动的I及电源的功率。图2.3-4例2.3-2电路

解：电路空载时，是单回路电路，四个元件串联，得两个电压源的功率分别为由分析结果可知，实际电源的内阻很小，如果不同值的实际电源并联，空载时，将有一个大电流流过电源，这将导致电源功率过大，烧毁电源。2.3.2电流源的等效化简两个电流源并联的电路模型如图2.3-5(a)所示。其ab端口伏安关系为图2.3-5电流源并联及等效化简电路它呈现为电流源的伏安关系。所以，两个电流源并联可等效为一个电流源，等效电路有两种形式，见图2.3-5(b)和(c)。两种等效电路的差别是电流方向不同。通常，n个电流源并联可等效为一个电流源，该电流源的大小等于n个电流源的代数和，其参考方向与代数和中取“+”号的电流源一致。电流源不能随意串联，只能把大小相同的电流源按同一流向串联，见图2.3-6。

图2.3-6电流源串联

例2.3-3电路如图2.3-7(a)所示，求其等效电路。图2.3-7例2.3-3电路解：把两个不同方向的并联电流源合并为一个电流源，该电流源的大小为5-1=4A，方向与5A电流源一致；把两个并联电阻合并为一个的电阻；简化的等效电路见图2.3-7(b)。2.3.3两种实际电源模型的等效变换

一个实际电源既能用电压源与电阻串联的电路模型描述，也能用电流源与电阻并联的电路模型描述。在理论上，这两种实际电源模型之间能够进行相互转换；在分析电路时，也有这个需求。实际电源模型之间的等效变换有两种情况，见图2.3-8。(1)把实际电压源等效变换为实际电流源，即已知实际电压源的参数us、Ru，求实际电流源的参数is、Ri；(2)把实际电流源等效变换为实际电压源，即已知参数is和Ri，求参数us和Ru。在图2.3-8(a)、(b)端口u、i参考方向相同的情况下：图2.3-8(a)的端口伏安关系为u=us-Rui

图2.3-8(b)的端口伏安关系为u=Riis-Rii

图2.3-8两种实际电源模型的等效变换比较两个方程不难看到：当Ru=Ri，us=Riis(或is=us/Ru)时，两个电路的端口伏安关系相同，这时它们互为等效电路。因此，在进行两种实际电源模型的等效变换时，存在如下等效变换关系：电源内阻不变，Ru=Ri；把图2.3-8(a)等效变换成图2.3-8(b)时，is等于图(a)电路ab端口的短路电流，见图2.3-9，电流源大小为is=us/Ru，is的方向指向us正极。在把图2.3-8(b)变换为图2.3-8(a)时，电压us是图2.3-8(b)电路ab端口的开路电压，见图2.3-10，电压源大小为us=Riis，us的极性与开路电压一致。利用两种实际电源模型间的等效变换能够化简含源电路。

图2.3-9

is是ab端口的短路电流图2.3-10

us是ab端口的开路电压例2.3-4

电路如图2.3-11所示，求其最简等效电路。图2.3-11例2.3-4电路解：第一步，把32V实际电压源转换为实际电流源，见图2.3-12(a)。第二步，合并图2.3-12(a)中的两个实际电流源，电路简化为图2.3-12(b)。第三步，把图2.3-12(b)中的实际电流源转换为实际电压源，再合并串联的3Ω电阻与1Ω电阻，电路简化为图2.3-12(c)所示的实际电压源。图2.3-12例2.3-4电路的化简过程

例2.3-5电路如图2.3-13(a)所示，求8Ω支路电流I。图2.3-13例2.3-5电路思路：为了便于分析，改变电路画法，对调并联的8Ω电阻支路与9V电源支路，见图2.3-13(b)；以虚线为界，把电路划分为两个单口电路，虚线右边8Ω支路为一个单口电路，虚线左边为一个复杂单口电路；化简虚线左边的含源电路；再根据等效化简电路求8Ω支路的电流I。解：电路化简过程如图2.3-14所示。图2.3-14例2.3-5电路的化简过程首先，把图2.3-13(b)虚线左边3A实际电流源变换成实际电压源；9V实际电压源变换为实际电流源，变换后电路见图2.3-14(a)。随后，合并图2.3-14(a)中2Ω与4Ω串联电阻；再把12V实际电压源变换为2A的实际电流源，见图2.3-14(b)。最后，把图2.3-14(b)左边两个实际电流源合并为一个，电路化简为图2.3-14(c)所示的单节点偶电路。利用分流公式，求得

由以上两个例题可见，含源单口电路化简的最简等效电路是实际电源。

2.4含受控源电路的等效化简当电路中含有受控源时，原则上，受控电压源与受控电流源之间可以像实际电源一样进行等效变换，见图2.4-1。图中x、y是电路某处的控制电压或电流；α、β是比例系数。化简含受控源电路时，要把等效变换与求端口伏安关系结合在一起使用。一般先用等效变换法最大限度地化简电路，直到再化简下去就会丢失控制电量为止；然后，再通过求端口伏安关系找到最简等效电路。下面通过例题学习含受控源电路的等效化简方法。图2.4-1两种受控电源模型的等效变换

例2.4-1电路如图2.4-2(a)所示，求ab端口的最简等效电路。图2.4-2例2.4-1电路及化简过程解：利用电源的等效变换，把图2.4-2(a)中的电流源等效变换为电压源，见图2.4-2(b)。在图(b)电路中，受控电压源与独立电压源不能再合并，这时，通过求端口伏安关系化简电路。设端口电压U的参考方向如图(b)所示，列回路电压方程，有U=I+5I-8+4I=10I-8电路端口伏安关系的形式同实际电源，因此，该电路可化简为一个实际电源。电压源的大小为8V，方向与端口电压U的参考方向相反；串联电阻为10Ω，等效电路如图2.4-2(c)所示。在本题中，受控电流源的控制电量是端口电流I，因此，在对电路进行等效变换时，不会消除控制量I。如果控制量不是端口电量会出现什么问题？又该怎样处理呢？请注意下面这道例题。

例2.4-2求图2.4-3(a)所示电路的最简等效电路。图2.4-3例2.4-2电路分析：题中受控电压源的控制量i1不是端口电量，试想，若合并两个电阻，3Ω支路会消失，一旦3Ω支路不存在，控制量i1将丢失，受控源便成了“无源之水，无本之木”，电路将无法再化简下去。所以，不能合并两个电阻支路，只有通过求端口伏安关系化简电路。解：设端口电压、各支路电流的参考方向如图2.4-3(b)所示。左边网孔电压方程为6(i-i1)=3i1整理得6i=9i1(1)

右边网孔电压方程为

u=6i1+3i1=9i1(2)

把式(1)代入式(2)，消去i1，得电路的端口伏安关系u=6i呈现为欧姆定律的形式，所以，原电路等效为一个6Ω的电阻，如图2.4-3(c)所示。

以上两题虽是特例，但包含了受控源电路的某些共性。由例2.4-1可见，电阻、独立源和受控源组成的单口电路等效化简为实际电源，即一个实际电压源或一个实际电流源。由例2.4-2可见，电阻与受控源组成的单口电路等效化简为电阻。

例2.4-3电路如图2.4-4(a)所示，求电压U。图2.4-4例2.4-3电路思路：从虚线处把电路一分为二，先化简虚线右边的单口电路，然后根据简化电路列方程，求电压U。

解：显见，在化简虚线右边单口电路时，不会消除控制量U，所以，大胆地对右边电路做等效变换，化简过程见图(b)与(c)。列图(c)的回路电压方程把3Ω电阻的伏安关系代入上式，消去I，得解得

2.5应用2.5.1电压表

用内阻Rg=2kΩ，满度电流Ig=100μA的表头，设计一个能测量0~1V、0~5V和0~50V三种量程的电压表。该表头能直接测量的最大电压为2kΩ×100μA=0.2V，因此，需要串联分压电阻来扩大表头量程。选择串联分压电阻Rs的方法：首先确定电压表可以测量的最大电压Ur(注意：任何仪表都有使用范围的限制，一旦超过限制，仪表将损坏)。当被测电压等于Ur值时，表头电流达满度电流Ig，见图2.5-1。这时回路电压为Ur=(Rg+Rs)Ig

则(1)图2.5-1电压表的结构

(1)当电压量程为0~1V时，最大电压Ur=1V，代入式(1)

(2)当电压量程为0~5V时，最大电压Ur=5V，代入式(1)

(3)当电压量程为0~50V时，最大电压Ur=50V，代入式(1)该电压表的结构见示意图2.5-2。根据不同的待测量电压，通过转换开关切换至不同的电压量程。图2.5-2多量程电压表结构图2.5.2电流表要求：用内阻Rg=2kΩ，满度电流Ig=100μA的表头，设计一个能测量0~10mA和0~1A两种量程的电流表。该表头只能直接测量100μA电流，不能满足要求，因此，需要通过并联分流电阻Rp来扩大表头的量程，见图2.5-3。选择Rp的方法：先确定电流表允许测量的最大电流Ir，当待测电流为Ir时，通过表头的电流达满度电流Ig。这时，节点电流方程为整理得(2)(1)当量程为0~10mA时，取Ir=10mA，代入式(2)，得

(2)当量程为0~1A时，取Ir=1A，代入式(2)，得该电流表的结构见示意图2.5-4，通过转换开关切换至不同的电流量程。图2.5-4多量程电流表结构图2.5.3惠斯顿电桥

桥路结构在测试仪表中常见，图2.5-5结构被称为惠斯顿电桥，用来测量电阻值。用欧姆表测量电阻值的精度不如使用惠斯顿电桥的测量精度高。图中，Rx为待测电阻，R1和R3是已知电阻，R2为可调电阻，A为电流表。电桥电路有两种状态：平衡状态与非平衡状态；

图2.5-5惠斯顿电桥接入待测电阻Rx后，调节可变电阻R2，使电流表的指示电流为0，电桥达平衡状态。这时，I1=I2，I3=I4；若电流表用电阻Rs等效，则uab=Rs×0=0V，a、b两点等电位，有R1I1=R3I3(1)R2I1=RxI3(2)用式(2)除式(1)，得或(3)待测电阻值为(4)在式(4)中，比值R3/R1、阻值R2都是已知的，因而可知Rx的阻值。如果把图2.5-5中的电流表换成电阻，如图2.5-6所示，请你在这停顿一下，判断这五个电阻是串、并连接吗？图2.5-6桥路结构在电路中，元件之间除了串、并连接外，还有图2.5-6所示的非串、非并连接。对于虚线右边的电阻电路，不能用串并联等效电阻公式进行电路化简。若想了解如何等效化简非串、非并电阻电路，请看其他参考书。习题二

2-1求题图2-1中各电路ab端口的等效电阻。题图2-1

2-2求题图2-2中各电路ab端口的等效电阻。题图2-22-3电路如题图2-3所示，求图中标出的各支路电流题图