《电路分析简明教程》课件第2章

2.12b法和支路法2.2回路法和网孔法2.3节点法2.4齐次定理和叠加定理2.5替代定理2.6等效电源定理2.7最大功率传输定理2.8电路的对偶性2.9应用实例习题2分析电路的一般方法是首先选择一组合适的电路基本变量(电流或/和电压),根据KCL和KVL及元件的伏安关系(VAR)建立该组变量的独立方程组,即电路方程,然后从方程中解出电路变量。除独立源外,仅含有线性电阻和线性受控源的线性电阻电路简称电阻电路,其电路方程是一组线性代数方程。本章以电阻电路为讨论对象。许多实际电路都可看做是线性电阻电路。电阻电路是研究动态电路、非线性电路以及电路的计算机辅助分析和设计的基础。第2章电阻电路分析2.12b法和支路法

当研究电路中各元件的连接关系时,一个二端元件可以用一条线段来表示,称为支路;各支路的连接点画为黑点,称为节点(或结点)。如果将电路中每一条支路抽象成线段所形成的节点和支路集合称为拓扑图。能够画在平面上,并且除端点外所有支路都没有交叉的图称为平面图,否则称为非平面图。图中任何一个闭合路径,即始节点和终节点为同一节点的路径称为回路;平面电路中,内部不含节点和支路的回路称为网孔。

2.1.1KCL和KVL的独立方程

设某电路拓扑图如图2.1-1(a)所示,对图中的节点和支路分别编号,支路的参考方向(即支路电流方向,支路电压取关联参考方向)如图所示。图2.1-1KCL与KVL的独立方程对于图2.1-1(a)节点a、b、c、d列出的KCL方程为(设流出电流取“+”,流入取“-”)

在以上方程组中,每个支路电流都出现两次,其前面的符号一次为“+”,另一次为“-”,这是因为每一支路都连接2个节点,支路电流必从一个节点流出,而流入另一个节点。因此,将式(2.11)中任意3个方程相加,就得到另一个方程。也就是说,式(2.11)中4个方程中,最多3个是独立的。结论1:对n个节点的电路,有且仅有(n-1)个独立的KCL方程。①任取(n-1)个节点列写的KCL方程相互独立;②取(n-1)个基本割集列写的KCL方程相互独立。对于图2.11(b)所示的电路,选回路列出KVL方程为(支路电压与回路方向一致取“+”;支路电压与回路方向相反取“-”)

将式(2.1-2)中任意3个方程相加,就得到另一个方程。也就是说,式(2.1-2)中4个方程中,最多3个是独立的。即每一个回路至少包含一条其他回路所不包含的支路,这样的一组回路即独立回路组成基本回路组。独立回路组列写的方程组是一组独立的方程。结论2:对具有n个节点、b条支路的连通图,有且仅有(b-n+1)个独立的KVL方程。将能列出独立KVL方程的回路称为独立回路。常见的独立回路有:①(b-n+1)个基本回路;②平面电路的(b-n+1)个网孔。2.1.22b分析法

对于给定的电路,电路分析的任务就是计算出各个支路电流和支路电压,以便对电路有一个全面的了解。对于一个具有b条支路和n个节点的电路,当以支路电压和支路电流为变量列写电路方程时,共有2b个未知变量,所以需要列写2b个相互独立的电路方程并求解,进而完成对该电路的分析任务。那么,如何列写分析电路所需要的2b个相互独立的电路方程呢?

分析如下:(1)对于具有n个节点的电路而言,其n-1个节点是独立的,因此,根据KCL可列出n-1个相互独立的节点方程。(2)对于一个具有b条支路和n个节点的电路而言,其具有b-n+1个独立的回路,因此根据KVL可以列写b-n+1个独立回路方程。(3)根据元件的伏安关系,可以列写出b个相互独立支路电压和电流关系的方程。

这样,就可列写出总数为2b个相互独立(即方程之间是线性无关的)的方程,求解该方程组,就可以求得电路中b个支路电压和电流,进而全面分析该电路。由于求解电路的方程个数为2b个,所以也将这种方法称为2b分析法。

2b分析法是电路分析中最基本的方法,其中包含许多电路分析的基本思想和基本概念,是其他电路分析方法的基础,因此具有重要的理论价值。2b分析法方程数目较多,它所能直接求出的未知量也较多,但使用起来比较灵活,能适应各种情况。这种方法由于方程个数较多,手工计算量大且繁琐,因此并不适合手工理论分析,但是,2b分析法分析思想直接,方程列写简单实用,所以这种方法是各种分析方法的基础,特别是计算机辅助分析方法的基础。

上述分析告诉我们,电路分析的基本方法就是应用KCL、KVL、OL对电路列写方程并进行求解,下面所讨论的各种分析方法都是基于2b分析法进一步分析推导而得的。2.1.3支路法利用2b分析法列写出可以求解电路的2b个方程。根据数学知识可以得知,要求解电路,必须化简方程组并进行求解,即减少方程数目。因此人们提出利用支路法求解电路。以支路电流(或电压)为未知变量列出方程,求解支路电流(或电压),称为支路电流(或电压)法,简称支路法。支路法是在2b法的基础上,利用支路的伏安关系,用支路电流表示支路电压(或用支路电压表示支路电流),即以支路电流(或电压)作为电路变量,这样,只要列写b个电路方程就可以求解电路了。b个方程分别是(n-1)个独立的KCL节点电流方程和(b-n+1)个独立的KVL回路方程。求出这b个支路电流(或电压)后,再利用各个支路的伏安关系求出b个电压(或电流),进而再计算出电路的其他变量(如电功率或能量)。相对于2b法,支路法的方程数减少了一半,其计算量同样也减小了很多。综上所述,以支路电流法为例,用支路分析法分析求解电路的步骤如下:(1)选定个支路电流的参考方向。(2)对(n-1)个独立节点,列出独立KCL方程。(3)选定(b-n+1)个独立回路,指定回路绕行方向,根据KVL和OL列出回路电压方程。列写过程中将支路电压用支路电流来表示。(4)联立求解上述b个支路电流方程。(5)进而求题中要求的支路电压或功率等。支路电流法共有b个方程,能直接解得b个支路电流,这比2b分析法方便了许多。不过支路电流法要求每一条支路电压都能用支路电流来表示,否则就难写成以支路电流为变量的电路方程。譬如,若某一支路仅有电流源(或受控电流源),我们把这种电流源称为无伴电流源,则该支路电压为未知量,而且不能用该支路电流表示。在这种情况下,就需要另行处理,而2b分析法不受这种限制。

例2.1-1

如图2.1-2所示的电路，求各支路电流。

解图2.1-2的电路中，如将电压源(受控电压源)与电阻的串联组合看做是一条支路，则该电路共有2个节点，3条支路。用支路电流法可列出1个KCL方程，2个KVL方程。选节点a为独立节点，可列出KCL方程为－i1+i2+i3=0(1)图2.1-2例2.1-1图选网孔为独立回路，如图所示。可列出KVL方程为3i1+i2=9

(2)

-i2+2i3=-2.5i1(或2.5i1-i2+2i3=0)(3)联立3个方程可解得i1=2A,i2=3A,i3=-1A

例2.1-2用支路法求解图2.1-3所示电路中各支路电流及各电阻吸收的功率。解:

(1)标出支路电流的参考方向,如图所示。例2.1-2用支路法求解图2.1-3所示电路中各支路电流及各电阻吸收的功率。解(1)标出支路电流的参考方向,如图所示。(2)选定独立回路。这里选网孔。(3)对无伴电流源的处理方法:在其设定一电压U。(4)对独立节点a,列KCL方程为i2-i1-2=0(1)(5)对两个网孔,利用KVL和OL列回路方程为2i1

+U-12=0(2)

2i2+2u1

-U=0

(3)(6)上面3个方程中,有4个未知量。补一个方程:将受控源控制量u1用支路电流表示,有u1=2i1(4)(7)解式(1)、(2)、(3)、(4)得支路电流为i1=1A,i2=3A(8)电阻吸收的功率为P1=i21×2=2W,P2=i22×2=18W2.2回路法和网孔法

回路法是以平面电路或非平面电路的一组独立回路电流为电路变量,并对独立回路应用KVL列出用回路电流表达有关支路电压的方程的求解方法。对于平面电路,其网孔就是一组独立回路,所以在分析平面电路时,常选择网孔作为该电路的独立回路组,以网孔电流作为变量列写方程并求解电路,因此,也常把这种方法称为网孔法(注:网孔法仅适用于平面电路)。2.2.1回路法与网孔法对于具有n个节点、b条支路的电路,以回路电流为变量,则能够列写出(b-n+1)个独立的回路电流方程进行电路分析。如图2.21所示的平面电路,共有n=4个节点、b=6条支路(把电压源与电阻串联的电路看成一条支路),显然,独立回路数=网孔数=b-n+1=3个。图2.2-1回路法示例列写回路电流方程,首先要选择一组独立回路,并确定回路电流的参考方向。在每个独立回路中假想有一个电流在回路中环流一周,而各支路电流看做是由独立回路电流合成的结果,回路的巡行方向也是回路电流的方向。如图2.2-1所示电路,选网孔作独立回路,并设定回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的回路电流方向i1、i2、i3如图2.2-1所示。各支路电流看成是由回路电流合成得到的,为回路Ⅰ电流i1,回路Ⅱ电流i2,回路Ⅲ电流i3。R4支路上有两个回路电流i1、i2流经,且两回路电流方向均与i4相反,故

i4

=-i1

-i2R5支路上有两个回路电流i1、i3流经,故i5

=-i1+i3R6支路上有两个回路电流i2、i3流经,故i6=-i2

-i3注:相邻两个网孔间的公共支路电流可以用两个网孔电流的代数和表示,方向与支路电流相同取正值,反之,取负值。对节点a列出KCL方程,有i1+i4+i2=i1+(-i1-i2)+i2≡0

显然,根据式(2.21)可以解出3个回路电流i1、i2、i3,再根据各个回路电流,可以进一步求出各个支路的电流。式(2.21)就是回路法的方程,且常称为回路方程。为此,将上式整理写成如下形式:式中,Rkk称为回路k的自电阻,它是绕过该回路包含的所有电阻之和,恒取“+”,例如:R11=R1+R4+R5,R22=R2+R6+R4,R33=R5+R3+R6Rkj(k≠j)称为回路k与回路j的互电阻,它是回路k与回路j公共支路上所有公共电阻之和。如果流过公共电阻上的两个回路电流方向相同,其取“+”号,方向相反,取“-”号,例如:R12=R21=R4,R13=R31=-R5,R23=R32=R6如果两个回路间无公共支路。显然也无公共电阻,则对应的互电阻为零。uskk

是回路k中所有电压源电压的代数和。取和时,与回路电流相反的电压源(即回路电流从电压源的“-”极流入,“+”极流出)前面取“+”号,否则取“-”,例如:us11=us5,us22=-us2,us33=-us5-us3如有电流源与电阻并联的组合,可将其变换为电压源。根据式(2.2-2)可以得到回路电流方程的一般形式:自电阻×本回路电流±Σ(互电阻×相邻回路电流)=本回路电压源沿电位升方向的代数和。

对于具有n个节点、b条支路的电路,其方程组的独立回路方程是b-n+1个。这可以根据式(2.2-2)推广。

需要指出,回路方程式(2.2-2)是各个独立回路的KVL方程,其等号左端是各个回路电流产生的电压(降),而等号的右端是电压源的电压(升)。由电路直接列写回路方程的规律总结:Rkk

称为回路k的自电阻,其值为绕过第k个回路所有电阻之和,恒取“+”号。Rkj称为回路k与回路j的互电阻,其值为回路k与回路j共有支路上所有公共电阻的代数和。若流过公共电阻上的两回路电流方向相同,则其前取“+”号;方向相反,取“-”号。uskk称为回路k的等效电压源,其值为回路k中所有电压源电压的代数和。当回路电流从电压源的“+”端流出时,该电压源前取“+”号;否则取“-”。回路法步骤归纳如下:(1)选定一组(b-n+1)个独立回路,并标出各回路电流的参考方向。(2)以回路电流的方向为回路的巡行方向,按照前面的规律列出各回路电流方程。自电阻始终取正值。互电阻前的符号由通过互电阻上的两个回路电流的流向而定:两个回路电流的流向相同,取正;否则取负。等效电压源是电压源电压升的代数和,注意电压源前的符号。(3)联立求解,解出各回路电流。(4)根据回路电流再求其他待求量。

例2.2-1

如图2.2-2所示的电路，求各支路电流。图2.2-2例2.2-1图

解图2.2-2是平面电路，可用网孔法求解。选定三个网孔，其网孔电流分别为i1、i2和i3，如图所示。按图列出网孔方程为由以上方程可解得

i1=3A，i2=2A，i3=1A

由图2.2-2可求得其它各支路电流为2.2.2特殊情况的处理1.电流源的处理方法例2.2-2如图2.2-3所示电路,用回路法求电压Uab。

解法一:选网孔为独立回路,如图所示。对于两个网孔公共支路上的1A电流源,处理方法是先假设该电流源两端的电压U,并把它看作电压为U的电压源即可。由图得网孔方程为补一个方程:小结:①如果流经电流源上的回路电流只有一个,则该回路电流就等于电流源电流,这样就不必再列该回路的方程;②若多个回路电流流经电流源,则在该电流源上假设一电压,并把它看成电压源即可。解法二:选择的独立回路及绕行方向如图2.24所示。这样3个回路电流分别是IS1、IA和IS2。由于其中两个回路电流已知,故只需列一个回路方程即可。图2.2-4例2.22图由图得该回路方程为解得IA=0A,故Uab

=2IA

+16=16V

说明:解法一选网孔作为独立回路,常称为网孔法,它只适用于平面电路;解法二选基本回路作独立回路,常称为回路法,它更具有一般性和一定的灵活性,但列写方程不如网孔法直观。2.受控源的处理方法例2.2-3如图2.2-5电路,用回路法求电压u。图2.2-5例2.23图

解本例中含受控源(VCCS),处理方法是:先将受控源看成独立电源。这样,该电路就有两个电流源,并且流经其上的回路电流均只有一个,故该电流源所在回路电流已知,就不必再列它们的回路方程了。如图中所标回路电流,可知i1=0.1u,i3=4对回路2列方程为26i2-2i1-20i3=12上述一些方程中会出现受控源的控制变量u,用回路电流表示该控制变量,有u=20(i3-i2)解得i2=3.6A,u=8V小结:对受控源首先将它看成独立电源;列方程后,再补一个方程将控制量用回路电流表示。2.3节点法2.3.1节点法

在电路中任意选择一个节点为参考节点,其余节点与参考节点之间的电压,称为节点电压或节点电位。各节点电压的极性均以参考节点为“-”极。如图2.3-1所示电路,共有4个节点,若选节点4作参考点,其余各节点的电压可以分别用u1、u2和u3表示。实际上,它们分别是节点1、2、3与参考节点4之间的电压,即u14=u1,

u24=u2,

u34=u3。节点法是以节点电压为未知变量列出并求解方程并对独立节点用KCL列出用节点电压表达有关支路电流方程的求解方法。图2.3-1节点法示例电路中任一支路都与两个节点相连,所以任一支路电压都等于该支路的两个节点的电位之差。例如在图2.31中,u12=u1-u2,u23=u2-u3,u13=u1-u3,u14=u1,u24=u2,u34=u3。这样,全部支路电压都可用有关节点电压来表示,于是KVL电路方程自动满足,所以节点法中不需要列出KVL方程。例如对图2.31中回路A列写回路的KVL方程有u13-u23-u12=u1-u3-(u2-u3)-(u1-u2)≡0所以,节点电压自动满足KVL方程,而只需列出KCL方程。如果电路具有n个节点,对除参考节点以外的独立节点,列出KCL方程,并将式中的各个支路电流用有关节点电压表示,就可得到与节点电压数目相等的(n-1)个独立方程。由所列方程解得节点电压后,不难求出所需各个支路的电流电压。如图2.3-1所示电路中,对节点1、2、3,根据KCL(设流出节点的电流取“+”,则流入节点的电流取“-”)分别列出方程:利用OL,各电阻上的电流可以用节点电压表示为将式(2.32)代入KCL方程式(2.31),得到合并整理后得显然,根据式(2.3-4)可以解出3个节点电压u1、u2、u3,再根据各个节点电压,可以进一步求出各个支路的电压和电流。式(2.3-4)就是节点法的方程,且常称为节点方程。为此,将上式整理写成如下形式:式中,Gkk称为节点k的自电导,它是与该节点相连的所有电导之和,恒取“+”号,例如:G11=G1+G2+G4,G22=G2+G3+G5,G33=G1+G3+G6Gkj(k≠j)称为节点k与节点j互电导,它是节点k与节点j之间公共支路上所有公共电导之和,恒取“-”号。例如:G12

=G21=-G2,G13

=G31=-G1,G23

=G32

=-G3如果两个节点之间无公共支路。显然也无公共电导,则相应的互电导为零。iskk

是注入节点k的所有电流源电流的代数和。例如:iS11=iS4-iS2,iS22=iS2,iS33=-iS6根据式(2.3-5)可以得到节点电压方程的一般形式:自电导×本节点电压+Σ(互电导×相邻节点电压)=流入本节点所有电流源的代数和对于具有n个节点的电路,其独立节点方程组包含(n-1)个方程。这可以根据式(2.35)推广。利用节点法列写方程时,只要选定了参考节点,其余各独立节点也就确定了。以独立节点电压为变量,按式(2.35)的形式列出各节点方程。方程中自电导恒取正值,互电导恒取负值,这是由于任一节点电压都是其端节点电压之差的缘故。对于仅含独立源和线性电导的电路恒有Gkj=Gjk。

需要指出,节点电压方程式(2.35)是各个独立节点的KCL方程,其等号左端是各个节点电压引起的流出该节点的电流,而等号的右端是电流源注入该节点的电流。由电路直接列写节点方程的规律总结Gkk(k=1,2,3)称为节点k的自电导,其值为与节点k相连的所有支路的电导之和,恒取“+”。Gkj称为节点k与节点j的互电导,其值为节点k与节点j之间共有支路电导之和,恒取“-”。ISkk称为节点k的等效电流源,其值为流入节点k的所有电流源电流的代数和。电流源电流流入该节点时取“+”;流出时取“-”。节点法步骤归纳如下:(1)指定电路中某一节点为参考点,并标出各独立节点的电压。(2)按照规律列出节点电压方程。自电导恒取正值,互电导恒为负。(3)联立求解,解出各节点电压。(4)根据节点电压再求其他待求量。例2.3-1如图2.3-2所示电路,求各节点电压。图2.3-2例2.3-1图解选节点0为参考节点,其余各节点电压分别设为u1、u2、u3。图2.3-2电路中各支路给出的是电阻值,而节点方程中采用电导,这应特别注意。根据图2.3-2列出节点电压方程为整理后,得

由上式可解得u1=-43/35V,u2=34/35V,u3=9/35V。以上所讨论的电路中只含有独立电流源,对于含有独立电压源,受控源及有伴电流源等特殊情况在后续内容中将进一步讨论。2.3.2特殊情况的处理1.电压源的处理方法例2.32列出图2.3-3所示电路的节点电压方程。图2.3-3例2.32图解选节点4为参考节点,其余节点电压依次为u1、u2、u3。图中有3个电压源,其中电压源uS3有一电阻与其串联,称为有伴电压源,可将它转换为电流源与电阻并联的形式,如图2.33所示。由于节点1和节点3之间的公共支路只含有电压源uS2,称为无伴电压源,且对电压源uS2的处理办法是:先假设uS2上的电流为I,并把它看成是电流为I的电流源即可。节点2与参考节点的支路只含有一个电压源uS1,因此,节点2的电压u2就等于该电压源的电压uS2,所以该节点的电压方程不必再列写。列节点1和3的方程为分析该方程组,2个方程,3个变量,且增加的变量是uS2上的电流为I,因此对uS2补一方程:u1-u3=uS2此时,有3个方程、3个变量,可以求解该电路。小结:①对有伴电压源,将其等效为电流源与电阻并联的形式;②对于无伴电压源,若其有一端接参考点,则另一端的节点电压已知,对此节点就不用列节点方程了;否则在电压源上假设一电流,并把它看成电流源,最后再增加一个辅助方程。2.受控源的处理方法例2.3-3如图2.3-4(a)所示电路,用节点法求电流i1和i2。解本例中含受控源(CCCS),处理方法是:先将受控源看成独立电源,再将有伴电压源转换为电流源与电阻的并联形式,如图2.3-4(b)所示。图2.3-4例2.3-3图设独立节点电压为ua和ub,则可列出节点方程组为再将控制量用节点电压表示,即解得小结:对受控源首先将它看成独立电源;列方程后,对每个受控源再补一个方程将其控制量用节点电压表示。3.有伴电流源的处理方法例2.3-4如图2.3-5所示电路,求节点电压。解选节点4为参考节点,其余各节点电压分别设为u1、u2和u3。图2.3-5例2.3-4图首先,图2.3-5电路中各支路给出的是电阻值,而节点方程中采用电导,这应该特别注意。其次,图中3Ω电阻和1A电流源相串联,按电流源与电阻串联的规则仍等效为1A的电流源,该支路电导为零。根据图2.3-5列出节点电压方程为整理后,得由上式可解得u1=1V,u2=3V,u3=2V。2.4齐次定理和叠加定理2.4.1齐次定理

齐次定理描述了线性电路的齐次性或比例性。其内容如下:对于具有唯一解的线性电路，当只有一个激励源(独立电压源或独立电流源)作用时，其响应(电路任一处的电压或电流)与激励成正比,见图2.4-1和图2.4-2。譬如:

图2.4-1图2.4-2i0=K1uS(常量K1单位为S),i0=K2uS(常量K2无单位),如图2.41所示;i0=K3iS(常量K3无单位),u0=K4iS(常量K4单位为Ω)。上述描述中,K1、K2、K3及K4为常数,它们只与电路结构和元件参数有关,与激励源uS或iS无关。注意:(1)齐次定理只适用于具有唯一解的线性电路,不适用于非线性电路。(2)齐次定理适用于电路中只有一个激励源的情况。(3)线性电路的电压和电流具有线性关系,但由于功率不是电压或电流的线性函数,因此功率与激励源之间不具有线性关系。(4)激励源(excitation)也称为输入(input),指电路中的独立电压源或独立电流源,但受控源不是激励源。

例2.4-1

如图2.4-3所示的电路，求i1、i2与激励源us的关系式。

解如图所示电路共有3个网孔，选受控源的电流为网孔电流之一，其余网孔电流为i1和i2，如图2.5-1所示。由图可列出回路方程为(2.4-1)图2.4-3例2.4-1图由上式可解得(2.4-2)式中=R1R2+(R1+R2)(R3+R4)－αR2

R3(2.4-3)根据线性代数理论，当Δ≠0时，式(2.4-1)有唯一解，即式(2.4-2)。这就是齐次定理表述中“具有唯一解的”线性电路的含义。式(2.4-2)表明，对于线性电路，由于各电阻Rk的值和线性受控源的系数α等均为常数，因而i1、i2均与激励源us成正比。显然，非线性电路一般不具有齐次性。例2.4-2如图2.4-4所示梯形电阻电路,求电流i1。图2.4-4例2.42图

分析:该电路只有一个独立源,根据齐次定理,各处响应与该激励成正比。因此只要能找出激励源与响应i1之间的比例关系即i1=KuS,确定系数K,就可以求出任意激励源电压下的响应i1。对图中所示的梯形电路可采用逆推方法。解设i1=1A,则利用OL、KCL、KVL逐次求得故所以,当uS=306V时,电流例2.4-3如图2.4-5所示电路,N是不含独立源的线性电路,当US=100V时,i1=3A,u2=50V,R3的功率P3=60W,若US降为90V,试求相应的i1、u2和P3。分析:该电路是只有一个独立源的线性电路,可用齐次定理求解。解根据齐次定理,激励降为原来的90/100=0.9倍，故

小结:本题目中由于功率不是激励的线性关系,因此不能直接用齐次定理来求解。2.4.2叠加定理

叠加定理描述了线性电路的可加性或叠加性，其内容是:对于具有唯一解的线性电路，多个激励源共同作用时引起的响应(电路中各处的电流、电压)等于各个激励源单独作用(其它激励源置为零)时所引起的响应之和。例2.4-4图2.46(a)是含有两个独立源的电路,求支路电压u。图2.4-6叠加定理的说明解根据图2.4-6(a)所示电路,利用节点法列方程得解得u=10V。图2.4-6(b)是电压源uS单独作用时,电流源置为零(即电流源开路)时的电路。由分压公式得图2.4-6(c)是电流源iS单独作用时,电压源置为零(即电压源短路)时的电路。可得可见这就证实了uS、iS共同作用时产生的响应等于uS、iS单独作用时产生的响应之和。上述验证过程可推广到包含多个激励的一般电路。叠加定理反映了线性电路的基本性质。应用叠加定理时,可以分别计算各个独立电压源和电流源单独作用时的电流或电压,然后将它们相叠加;也可以将电路中的所有独立源分为几组,按组计算出各自的电流或电压,再相叠加。使用叠加定理时应注意以下几点:(1)叠加定理仅适用于线性电路(包括线性时变电路),而不适用于非线性电路。(2)叠加定理仅适用于计算电路中的电压和电流响应,而不能直接用来计算功率。(3)当一个或一组独立源作用时,其他独立源均置为零(即其他独立电压源置零用短路代替,独立电流源置零用开路代替),而电路的结构和所有电阻和受控源均应保留原样。注意受控源不是激励源。(4)叠加的方式是任意的。可以一次使一个独立源单独作用,也可以一次使几个独立源同时作用,即:可以将独立源分成若干组分别单独作用,每组的独立源数目可以是一个或多个。例2.4-5如图2.4-7(a)所示电路,求ix

和ux

。图2.4-7例2.4-5图解用叠加定理求解。当电路电压源单独作用时,将独立电流源置为零,受控源保留,如图2.4-7(b)所示。由于这时控制变量为,故受控电压源的端电压为。由图2.4-7(b)可得可解得当独立电流源单独作用时,将独立电压源置为零,受控源保留,如图2.4-7(c)所示。这时控制量为,故受控电压源的端电压为。由图2.4-7(c),根据KVL有可解得最后,根据叠加定理,可得图2.4-7(a)电路中例2.4-6如图2.4-8所示电路,N是含有独立源的线性电路,已知:当uS=6V,iS=0时,开路电压uo=4V;当uS=0V,iS=4A时,uo=0V;当uS=-3V,iS=-2A时,uo=2V;求当uS=3V,iS=3A时的电压uo。图2.4-8例2.4-6图解上式得将它们代入式(2.44),得因此,当uS=3V,iS=3A时有小结:叠加定理对于一些黑盒子电路的分析十分有用。2.5替代定理替代定理也称为置换定理,它对于简化电路的分析非常有用。替代定理既可用于线性电路,也可用于非线性电路。替代定理的内容:对于具有唯一解的线性或非线性电路,若某支路的电压u或电流i已知(如图2.51(a)所示),则该支路可用uS=u的电压源替代(如图2.51(b)所示),或用iS=i相同的电流源替代(如图2.51(c)所示),替代后电路其他各处的电流和电压均保持原来的值。即:支路A用电压源或电流源替代后,N中的电流、电压保持不变。图2.5-1替代定理替代定理所说的某支路可以是无源的,也可以是含有独立源的支路,甚至是一个二端电路,但是,被替代的支路与原电路的其他部分(图2.5-1(a)中电路N)间不能有耦合。也就是说,在被替代部分的电路中不应有控制量在N中的受控源,而N中受控源的控制量也不应在被替代部分的电路中。例如,对图2.5-2(a)所示电路,求电压ua

、i1、i2、i3。图2.5-2列图2.52(a)节点方程得解得根据替代定理,图2.5-2(a)中i2支路可用iS=0.5A的电流源替代,得图2.5-2(b),列节点方程为解得替代前后,未被替代的部分中,各电流、电压保持原来的值。应用替代定理时,必须注意以下几点:(1)替代定理对线性和非线性电路均适用。(2)区别替代定理与等效变换的本质。替代定理针对某个具体电路,在替代前后,被替代支路以外电路的拓扑结构和元件参数不能改变,否则无法替代;而等效变换针对任意电路,与变换以外的电路无关。也就是说,替代只是在静态的情况下对电路的置换,当电路状态变化时替代也就发生了变换;而等效对外电路来讲电路性质完全相同,外电路发生变化时等效部分能完全按原电路应有的行为发生变换。如图2.5-3(a)中的N1与图2.5-3(b)中的N2是替代关系,不是等效关系。图2.5-3(3)替代定理应用时,注意不要把受控源的控制量替换掉。如图2.5-4所示电路,不能对虚框内的部分进行替代。图2.5-4例2.5-1如图2.5-5(a)所示电路,已知电压u=9V,求二端电路N吸收的功率PN。图2.5-5例2.5.1图

分析利用替代定理将电路N用电压为9V的电压源替代,得到图2.5-5(b);9V电压源吸收的功率就是电路N吸收的功率。解设节点a及参考点,如图2.5-5(b)所标,列出节点电压方程为解得ua=12V因此故例2.5-2如图2.5-6(a)所示电路,求电流i。图2.5-6例2.5-2图解根据等电位节点可以分裂和合并的原则,将图2.56(a)等效为图2.5-6(b),再利用替代定理,将图2.5-6(b)等效为图2.5-6(c),将图2.5-6(c)表示为大家熟悉的形状,如图2.5-6(d),再利用等效变换将4A电流源与2Ω电阻并联等效为2Ω电阻与8V电压源串联形式,如图2.5-6(e)。由图2.5-6(e)可得2.6等效电源定理2.6.1戴维南定理

戴维南定理内容可表述为:任意一个线性二端含源电路N(如图2.6-1(a)所示),对其外部而言,可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效(如图2.6-1(b)所示)。该电压源的电压值uoc等于电路N二端子间的开路电压,其串联电阻值R0等于电路N内部所有独立源为零时二端子间的等效电阻,如图2.6-1(c)所示。图2.6-1戴维南定理图示对于图2.6-1(b)所示电路,上述电压源与电阻的串联组合称为戴维南等效电路,R0称为戴维南等效电阻。应用戴维南定理时的注意事项如下:(1)戴维南定理只适用于线性含源的二端电路(或一端口电路),即其二端含源电路内部可包含线性电阻、独立源和线性受控源。当二端电路接外电路时,电路必须有唯一解。至于外电路,没有限制,可以是线性的,也可以是非线性的。(2)二端电路N和外电路之间必须无任何耦合联系(如二端电路中受控源受到外电路中电流或电压的控制,或者外电路中的受控源其控制量在二端电路中,等等),如图2.6-2所示。例如:对图2.6-2(a)和图2.6-2(b)不能对N应用戴维南定理。但如果控制量位于端口上(图2.6-2(c)),则可以使用。(3)求戴维南等效电阻R0时,受控源不能置零值,必须保留在原电路中一并计算R0。(4)应用戴维南定理的关键是求出二端电路N的开路电压uoc和等效电阻R0。开路电压uoc的计算方法如下:

先将负载支路(或外接电路)断开,设出开路电压uoc的参考方向,如图2.6-3所示。注意与戴维南等效电路相对应。然后计算该电路的开路电压uoc。其计算方法视具体电路而定,前面介绍的电路分析方法都可使用。图2.6-3开路电压uoc的求解等效电阻R0的计算方法如下:(1)串并联方法。若二端电路N中无受控源,当令N中所有独立源的值为零(电压源短路,电流源开路)后,得到的N0是一个纯电阻电路。此时,利用电阻的串并联公式和Y-△等效公式求R0最简单。(2)外加电源(独立电压源或电流电流源)法。若二端电路N中含有受控源,令N中所有独立源的值为零(电压源短路,电流源开路)。注意:受控源要保留,此时得到的N0有内部含受控源,则根据电阻的定义,在N0的二端子间外加电源。若加电压源u,就求端上的电流i(如图2.6-4(a));若加电流源i,则求端子间电压u(如图2.6-4(b))。注意:u与i对N0来说,必须关联。则图2.6-4外加电源法求R0(3)开路短路法。根据开路电压uoc、短路电流iSC和R0三者之间的关系求R0。先求出uoc,再求出iSC。电流电压参考方向如图2.65(a)、(b)所示,(注意:若求uoc时其参考方向a为“+”极,求isc时其参考方向应设成从a流向b)。则图2.6-5开路电压uoc及短路电流isc(4)伏安关系法(或称为外特性法)。戴维南等效电路如图2.6-6所示,端口上电压u与电流i取关联参考方向,其端口的伏安关系(VAR)为

所谓伏安关系法,就是直接对二端线性电路N,推导出两端子上的电压u和电流i之间的一次关系式(即N端子上的伏安关系式(VAR)),其常数项即为开路电压uoc,电流前面所乘的系数即为等效内阻R0。下面具体介绍求解戴维南等效电阻R0的各种方法。(1)不包含受控源的二端电路N———串并联方法。例2.61如图2.6-7(a)所示电路N,求其戴维南等效电阻R0。图2.6-7例2.6-1图

解根据N0的定义,将N中的电压源短路,电流源开路得N0,如图2.6-7(b)所示。由图2.6-7(b)很容易求出N0的ab端等效电阻,该电阻就是戴维南等效电阻:(2)含有受控源的二端电路N———外加电源法。例2.6-2如图2.6-8(a)电路,求R0。图2.6-8例2.6-2图解将N中电压源短路、电流源开路,受控源保留,得到N0,并外加电流源i,如图2.6-8(b)所示。对图2.6-8电路(b),已知i(可以给定具体的值,也可以不给定),求u。由图(2.6-8),可见i1

=-i在c点列KCL,有i2+i1-0.5i1=0i2=-0.5i1=0.5iu=2i2+2i=i+2i=3i因此(3)开路短路法。例2.6-3如图2.6-9(a)电路,求R0。图2.6-9例2.63图解对图2.6-9(a)电路,由于ab端开路,故有i1=0。此时,受控电流源相当于开路。因此

uoc=2×(2+2)+4=12V将N的端口短路,并设定短路电流isc,如图2.69(b)所示,可见i1=isc在节点c、d分别列KCL,有i2

+0.5i1

+2=i1i3

+2=isc故i2

=-2+0.5i1

=-2+0.5isci3

=isc-2对回路B利用KVL和OL,有2i2

-4+2i3

=0代入得2(-2+0.5isc)-4+2(isc-2)=0解得isc=4A故(4)伏安关系法(或外特性法)。例2.6-4如图2.6-10(a)电路N,求uoc和R0。图2.6-10例2.6-4图解求该二端电路的VAR,常用外加电源法。对N外加电流源i,如图2.6-10(b)。在c、d点列KCL得i2=2+0.5i1

-i1

=2–0.5i1=2+0.5ii3=2+i在图2.610(b)中,设定回路B的巡行方向,由KVL和OL定律有

u=2i2+2i3+4=12+3i故uoc=12V,R0=3Ω

例2.6-5如图2.611(a)所示电路中,N为线性含源单口网络。已知:u=2000i+10V,iS=2mA,求N的等效电路。图2.6-11例2.6-5图解依据戴维南定理,原电路N可等效为戴维南等效电路,如图2.6-11(b)所示。电路的VAR方程为由于已知u=2000i+10,所以解得R=2000Ω,uS=6V2.6.2诺顿定理具体内容表述任意一个线性二端含源电路N如图2.6-12(a)所示,对其外部而言,可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效N,如图2.6-12(b)所示。该电流源的电流值isc等于电路N二端子短路时其上的短路电流,其并联电阻值R0等于电路N内部所有独立源置零时二端子间的等效电阻,如图2.6-12(c)所示。图2.6-12诺顿定理图示一般情况下,戴维南等效电路与诺顿等效电路本质上是相同的,两者互为等效,如图2.6-13所示。可将诺顿定理看作是戴维南定理的另一种形式。注意:若电路N的等效内阻为0时,则该电路等效为理想电压源,其诺顿等效源不存在。若电路N的等效内阻为∞时,则该电路等效为理想电流源,其戴维南等效源不存在。图2.6-13两种模型互为等效示意图例2.6-6如图2.6-14(a)所示电路中,利用诺顿定理求电流i。图2.6-14例2.6-6图

解诺顿等效电路如图2.614(b)所示。求解等效内阻R0如图2.614(c)所示,根据串并联关系可得R0=8Ω求解短路电流isc电路如图2.614(d)、(e)所示。在图2.614(d)中,根据串并联关系、分压公式和欧姆定理可得4Ω电阻上的电流为由图2.6-14(e)可得isc=0.5A故isc=0.5+1=1.5A在图2.6-14(b)中,由分流公式可得当然,此题也可以用戴维南定理求解。2.7最大功率传输定理许多电子设备所用的电源或信号源内部都比较复杂,我们可将其视为一个有源的二端电路N(或一端口电路),如图2.7-1(a)所示。用戴维南定理可将该二端电路进行等效,如图2.7-1(b)虚框所示。由于电源或信号源给定,因而戴维南等效电路中独立电压源uoc和电阻R0为给定值。负载电阻RL所吸收的功率PL只随电阻RL的变化而变化。

图2.7-1功率传输图2.7-1(b)所示的电路中，流经负载RL的电流负载RL吸收的功率(2.7-1)为求得RL上吸收的功率PL为最大的条件，对上式求导，并令其等于零，即得(不难求得负载RL获得最大功率时的条件为

RL=R0

(2.7-2)将以上条件代入式(2.7-9)，得负载RL获得的最大功率(2.7-3)RL=R0也称为最大功率匹配条件。例2.7-1如图2.7-2(a)所示电路,设负载RL可变,问RL为多大时它可获得最大功率?此时最大功率PLmax为多少?图2.7-2例2.7.1图解

首先将RL以外的电路等效为戴维南电路,如图(b)所示。在图2.72(a)中,当RL断开时,a、b处的开路电压为

uoc=4-1×2=2V再令独立源为零,容易得到ab端的等效电阻为R0=2Ω从而得图2.7-2(b)电路,所以,RL=R0=2Ω时负载与电源匹配。此时最大功率为2.8电路的对偶性在以上的研究中，我们可以发现，电路中的许多变量、元件、结构及定律都是成对出现，并且存在相类似的一一对应的特性。这种特性就称为电路的对偶性。譬如，对电阻元件，其元件约束关系是欧姆定律，即u=Ri

或i=Gu。如果将一个表达式中的u与i对换，R与G对换，就得到另一个表达式。电路中结构约束是基尔霍夫定律，在平面电路中，对于每个节点可列一个KCL方程而对每个网孔可列一个KVL方程这里节点与网孔对应，KCL与KVL对应，电压与电流对应。具有这样一一对应性质的一对元素（电路变量、元件参数、结构、定律等），可称为对偶元素。电路中的一切公式和定理都是从电路的结构约束和元件约束推导出来的。既然这两种约束都具有对偶的特性，那么由它们推导出的关系显然也会有对偶特性。电路的对偶特性是电路的一个普遍性质，电路中存在大量对偶元素，表2-1中列出了一些常用的互为对偶的元素。表2-1电路中一些常用的互为对偶的元素对于图2.8-1所示的电路，图2.8-1(a)的网孔方程(网孔电流均为顺时针方向)，图2.8-1(b)的节点方程分图2.8-1对偶电路比较这两组方程可以看出,它们的形式相同,对应变量为对偶元素,所以通常把这两组方程称为对偶方程。电路中把像这样一个电路的节点方程与另一个电路的网孔方程对偶的两电路称为对偶电路。显然,图2.8-1(a)、(b)两电路对偶。2.9应用实例2.10.1D/A转换电路

在现代测控系统中，通常需要将经计算机处理后的数字信号(二进制数码0和1)转换为模拟信号(连续变化的电流或电压)，以便直接输出或控制执行机构(如电动机等)。将数字信号转换为模拟信号的电路称为数