《材料力学》课件1西电社 材力 第4章-扭转

第4章扭转第4章扭转§4.1扭转的概念§4.2外力偶矩、扭矩和扭矩图§4.3圆轴扭转时的应力与强度条件§4.4圆杆扭转时的变形及刚度条件§4.5非圆截面杆的扭转概念§4.1扭转的概念返回总目录工程中的受扭转杆件拧紧螺母的工具杆产生扭转变形返回工程中的受扭转杆件返回工程中的受扭转杆件返回作用在垂直于杆轴平面内的力偶。横截面绕轴线发生相对转动。1.外力特点2.变形特点以扭转变形为主的杆件

称为轴本章主要讨论圆轴扭转的强度和刚度问题。扭转变形的特点返回§4.2外力偶矩、扭矩和扭矩图返回总目录一、外力偶矩

工程上通常给出传动功率：P(kW)，转速：n(r/min)，则外力偶矩Me：

返回Me二、扭矩(T)

截面法T+截:

假想沿横截面将杆切开，留下左段或右段代:用内力代替去掉部分对留下部分的作用平:

对留下部分列平衡方程求出内力即扭矩值MeMex得正负号规定

按右手螺旋法则将扭矩表示为矢量，指向截面的为负，反之为正。MeT+说明：截面上的扭矩等于截面一侧所有外力偶矩的代数和，外力偶矩按右手螺旋法则表示为矢量，指向截面为负，反之为正。返回已知：

主动轮A的输入功率PA＝36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB＝PC＝11kW，PD＝14kW，转速n＝300r/min。试：画出轴的扭矩图。例题4-1返回解：1.由功率计算外力偶矩同样可解得:返回2.求各段的扭矩I-I截面II-II截面III-III截面3.画出扭矩图讨论:若将轮A与轮D调换位置，扭矩图将怎样变化？返回(b)讨论:若将轮A与轮D调换位置，扭矩图将怎样变化？解：可见:主动轮与从动轮位置不同,轴内最大扭矩也不同,显然(a)方案比(b)方案合理。返回§4.3圆轴扭转时的应力与强度条件返回总目录一、薄壁圆筒扭转时的切应力1.变形现象圆周线大小、形状、间距不变，纵向线相同倾斜。2.横截面上应力分析

因纵向纤维无正应变，有角应变，因此横截面上无

，有

，

与圆周相切。

又因壁很薄，可近似认为沿壁厚应力相等。返回分布内力系对x轴的矩应等于扭矩T。2.横截面上应力分析

横截面上只有

，

与圆周相切，且沿壁厚相等。T3.横截面上的应力公式返回4.切应力互等定理

取微块(单元体)如图相对面上,τ等值反向。返回4.切应力互等定理纯剪切

切应力互等定理：也称切应力双生定理，指在单元体相互垂直的两个面上，切应力必成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或背离这一交线。返回5.切应变、剪切胡克定律切应变剪切胡克定律

当切应力不超过剪切比例极限时有:G

切变模量(剪切弹性模量)三个弹性常数E,

,G间的关系薄壁圆筒的扭转试验返回1.变形现象圆周线大小、形状、间距不变，纵向线相同倾斜。二、圆轴扭转时的应力2.平面假设圆轴扭转时，横截面保持为平面,并且只在原地绕轴线

“刚性”转动。返回3.变形分布规律距圆心为

处即：各点的切应变与其到轴线的距离成正比。圆轴外表面纵向纤维无

，有

，因此横截面上只有

，且

⊥半径。返回变形几何关系剪切胡克定律切应力分布4.应力分布规律r

横截面上任一点的

⊥半径，并与该点到轴线的距离

成正比。返回T静力关系横截面上分布内力系对圆心的矩等于扭矩T。令：横截面对圆心O的极惯性矩。4.应力公式

dA返回代入最大切应力：令:将Wp(或Wt

)称为抗扭截面系数。——圆轴扭转横截面各点切应力公式T返回(1)以上公式只对等直圆杆(实心或空心截面)

成立,对截面缓慢变化的圆截面直杆可近似

采用上式计算。 5.以上公式的适用范围(2)以上公式另一适用条件是，

max应小于剪

切比例极限，即材料应符合胡克定律。返回d三、圆轴扭转强度条件实心圆轴四、Ip与Wp的计算空心圆轴式中:

d

dD返回已知：

传动轴为无缝钢管，外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,

扭矩T=1.5kN·m,[t]=60MPa.试：校核轴的强度解：计算Wp校核例题4-2因此轴满足强度条件。1.按空心轴校核强度返回已知：

传动轴为无缝钢管，外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,

扭矩T=1.5kN·m,[t]=60MPa.试：校核轴的强度解：因此轴满足强度条件。2.按薄壁圆筒校核强度返回已知:P=7.5kW,n=100r/min,许用切应力

＝40MPa,空心圆轴内外径之比

=0.5解：1.计算扭矩求：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。例题4-3返回2.实心轴直径d13.空心轴外径D2返回4.比较经济性空心轴D2＝46mmd2＝23mm实心轴d1=45mm可见，采用空心轴可以节省材料。原因：实心轴心部材料应力较小，其作用没有得到充分发挥。返回§4.4圆轴扭转时的变形与刚度条件返回总目录一、扭转角——两个横截面绕轴线的相对转角长为l的轴的扭转角由前面的推导得：

阶梯轴或扭矩分段变化返回

二、单位长度扭转角三、刚度条件(rad/m)工程上[’]的单位常用（°/m）[

’]值一般为：

精密机器的轴(0.25～0.5)°/m

一般传动轴(0.5～1.0)°/m

较低精度的轴(1.0～2.5)°/m则——刚度条件返回例题4-4已知:

mA=7024N·m

mB=2809.6N·m

mC=4214.4N·mG=80GPa,[τ]=70MPa,[’]=1º/m求：AB和BC段直径解：1.内力分析作扭矩图

T1=－mA=－7024N·m

T2=－mC=－4214.4N·m返回AB段：由扭转强度条件得2.计算各段直径返回

由刚度条件得取

d1=84.6mm返回取

d2=74.5mmBC段：同理，由强度条件，d2≥67㎜由刚度条件，d2≥74.5㎜返回§4.5非圆截面杆的扭转概念返回总目录

横向线变为空间曲线，横截面发生翘曲,平面假设不再成立。一、变形特点自由扭转翘曲不受限制，各横截面翘曲程度相同，纵向纤维长度不变，横截面上只有切应力。二、自由扭转与约束扭转

约束扭转由于约束等限制，杆件各横截面的翘曲程度不同，纵向纤维长度发生改变，横截面上除切应力外还有正应力。但一些实体杆件，扭转引起的正应力很小。返回三、横截面上的切应力1.边缘各点

与边界相切2.凸角处

=0四、矩形截面杆自由扭转时

的分布1. 边缘各点的

与周边相切，沿周边方向形成剪