松原市乾安县2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

6/23松原市乾安县2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、单项选择题每小题2分，共12分。1．（2分）北京2022年冬奥会会徽“冬梦”已经发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．2．（2分）一个多边形的边数由原来的3增加到n时（n＞3，且n为正整数），它的外角和（）A．增加（n﹣2）×180° B．减小（n﹣2）×180° C．增加（n﹣1）×180° D．没有改变【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题．【解答】解：因为多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以凸多边形的边数由3增加到n时，其外角度数的和还是360°，保持不变．故选：D．3．（2分）若等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于3，则它的周长等于（）A．10 B．11 C．13 D．11或13【分析】由若等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于3，分别分别从腰长为5，底边长为3与腰长为3，底边长为5去分析求解即可求得答案．【解答】解：若腰长为5，底边长为3，因为5+3＞5，所以5，5，3能组成三角形，则它的周长等于：5+5+3＝13，若腰长为3，底边长为5，因为3+3＝6＞5，所以3，3，5能组成三角形．所以它的周长为11或13．故选：D．4．（2分）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（）A．1m B．2m C．3m D．4m【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，而D是AB中点，可知AB＝BD，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE＝AD：BD，从而有AE＝CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE＝BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．【解答】解：如右图所示，因为立柱BC、DE垂直于横梁AC，所以BC∥DE，因为D是AB中点，所以AD＝BD，所以AE：CE＝AD：BD，所以AE＝CE，所以DE是△ABC的中位线，所以DE＝BC，在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，所以DE＝2．故选：B．5．（2分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC【分析】求出AF＝CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：因为AE＝CF，所以AE+EF＝CF+EF，所以AF＝CE，A、因为在△ADF和△CBE中所以△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD＝CB，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；C、因为在△ADF和△CBE中所以△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、因为AD∥BC，所以∠A＝∠C，因为在△ADF和△CBE中所以△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选：B．6．（2分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，所以△ADC≌△ABC（SSS），所以∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．故选：A．二、填空题每小题3分，共24分。7．（3分）已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称，那么x+y的值为7．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得x、y的值，进而可得x+y的值．【解答】解：因为点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称，所以x＝3，y＝4，所以x+y＝7，故答案为：7．8．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．【分析】由图可得，固定窗钩BC即，是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．故应填：三角形的稳定性．9．（3分）如图，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝220度．【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解．【解答】解：∠1+∠2＝180°+40°＝220°．故答案为：220°．10．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF），使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的条件是：AB＝ED，理由是：因为在Rt△ABC和Rt△EDF中，所以Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA），故答案为：AB＝ED．11．（3分）如图，AD、CE分别为△ABC的中线与角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是35°．【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求出∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE＝35°．【解答】解：因为AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，所以∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）÷2＝70°．因为CE是△ABC的角平分线，所以∠ACE＝35°．故答案为：35°．12．（3分）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为18cm．【分析】根据线段垂直平分线性质知，EA＝EC．△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+AE＝BC+AB．【解答】解：因为DE垂直平分AC，所以EA＝EC．△EBC的周长＝BC+BE+EC，＝BC+BE+AE，＝BC+AB，＝8+10，＝18（cm）．故答案为：18cm．13．（3分）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：因为等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，所以EF＝2，因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝∠C＝60°，又因为DE∥AB，DF∥AC，所以∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，所以△DEF是等边三角形，所以剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．14．（3分）如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①BE＝CG；②DF＝DH；③BH＝CF；④AF＝CH．其中正确的是①②③④．【分析】先判定△DBE≌△DCG，即可得出DE＝DG，BE＝CG．再判定△DCH≌△DAF，即可得出FG＝HE，DF＝DH，再根据线段的和差关系，即可得到正确结论．【解答】解：如图，连接CD，因为D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，所以BD＝DC，∠B＝∠DCA＝45°．又因为∠BDC＝∠EDH＝90°，所以∠BDE+∠EDC＝∠EDC+∠CDH，所以∠BDE＝∠CDH，在△DBE与△DCG中，，所以△DBE≌△DCG（ASA），所以DE＝DG，BE＝CG．故①正确；因为∠F+∠DEC＝∠H+∠DEC＝90°，所以∠F＝∠H，又因为∠FDG＝∠HDE＝90°，所以△DCH≌△DAF（AAS），所以FG＝HE，DF＝DH，故②正确；所以FG+GC＝HE+BE，即FC＝BH，即③正确；又因为BC＝AC，所以BH﹣BC＝CF﹣AC，即AF＝CH，故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题每小题5分，共20分。15．（5分）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数和对角线条数．【分析】一个多边形的内角和等于外角和的4倍而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于1440°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．【解答】解：设这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1440°，解得n＝10．则从这个多边形一个顶点可以引7条对角线，故这个多边形的对角线总条数为＝35条．16．（5分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．【分析】由AD是BC边上的高，∠B＝42°，可得∠BAD＝48°，再由∠DAE＝18°，可得∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝30°，然后根据AE是∠BAC的平分线，可得∠BAC＝2∠BAE＝60°，最后根据三角形内角和定理即可推出∠C的度数．【解答】解：因为AD是BC边上的高，∠B＝42°，所以∠BAD＝48°，因为∠DAE＝18°，所以∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝30°，因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAC＝2∠BAE＝60°，所以∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝78°．17．（5分）如图所示，D是边AB的中点，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．【分析】根据中点的定义得到AD＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：因为D是边AB的中点，所以AD＝DB，因为△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，所以（BC+CD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝3cm，所以BC+CD+BD﹣AC﹣CD﹣AD＝3cm，所以BC﹣AC＝3cm，因为BC＝8cm，所以AC＝5cm．18．（5分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．求证：△ABE≌△DCE．【分析】根据全等三角形的判定定理AAS推出即可．【解答】证明：因为在△ABE和△DCE中所以△ABE≌△DCE（AAS）．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2）、B（3，1）、C（﹣2，﹣1）（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）写出A1、B1、C1的坐标；（3）求△A1B1C1的面积．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）A1（﹣1，2）B1（﹣3，1）C1（2，﹣1）；（3）△A1B1C1的面积＝5×3﹣×1×2﹣×2×5﹣×3×3，＝15﹣1﹣5﹣4.5，＝15﹣10.5，＝4.5．20．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．【分析】（1）根据角平分线性质求出CD＝DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；（2）求出∠DEB＝90°，DE＝1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．【解答】（1）证明：因为AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，所以CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，因为在Rt△ACD和Rt△AED中，所以Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）因为DC＝DE＝1，DE⊥AB，所以∠DEB＝90°，因为∠B＝30°，所以BD＝2DE＝221．（7分）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．（1）直接写出c及x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数①求c的长；②判断△ABC的形状．【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；（2）①根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求解；②利用等腰三角形的判定方法得出即可．【解答】解：（1）因为a＝4，b＝6，所以2＜c＜10．故周长x的范围为12＜x＜20．（2）①因为周长为小于18的偶数，所以x＝16或x＝14．当x为16时，c＝6；当x为14时，c＝4．②当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．综上，△ABC是等腰三角形．22．（7分）如图，已知OC是∠AOB的平分线，将直尺DEMN如图摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．（1）猜想△DOP是等腰三角形．（2）证明你的猜想，写出解答过程．【分析】猜想△DOP是等腰三角形，根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明．【解答】解：（1）△DOP是等腰三角形，故答案为：等腰；（2）证明：因为OC平分∠AOB，所以∠DOP＝∠BOP，因为DN∥EM，所以∠DPO＝∠BOP，所以∠DOP＝∠DPO，所以OD＝PD，所以△DOP是等腰三角形．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF．判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．【分析】本题中要证△ABC≌△DEF，已知的条件有一组对应边AB＝DE（AD＝BE），一组对应角∠A＝∠FDE．要想证得全等，根据全等三角形的判定，缺少的条件是一组对应角（AAS或ASA），或者是一组对应边AC＝EF（SAS）．只要有这两种情况就能证得三角形全等．【解答】解：是假命题．以下任一方法均可：①添加条件：AC＝DF．证明：因为AD＝BE，所以AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠FDE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF（SAS）；②添加条件：∠CBA＝∠E．证明：因为AD＝BE，所以AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠FDE，AB＝DE，∠CBA＝∠E，所以△ABC≌△DEF（ASA）；③添加条件：∠C＝∠F．证明：因为AD＝BE，所以AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠FDE，∠C＝∠F，AB＝DE，所以△ABC≌△DEF（AAS）．24．（8分）如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：AD＝DC；（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB＝∠CBD进而得出AD＝DC，（2）利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．【解答】（1）证明：因为DC∥AB，所以∠CDB＝∠ABD，又因为BD平分∠ABC，所以∠CBD＝∠ABD，所以∠CDB＝∠CBD，所以BC＝DC，又因为AD＝BC，所以AD＝DC；（2）△DEF为等边三角形，证明：因为BC＝DC（已证），CF⊥BD，所以点F是BD的中点，因为∠DEB＝90°，所以EF＝DF＝BF．因为∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，所以∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，所以△DEF为等边三角形．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）观察图，易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′（3，5），C′（5，﹣2）；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（b，a）（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣3，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小．【分析】（1）根据点关于直线对称的定义，作出B、C两点关于直线l的对称点B′、C′，写出坐标即可．（2）通过观察即可对称结论．（3）作点E关于直线l的对称点E′（﹣4，﹣3），连接DE′交直线l于Q，此时QE+QD的值最小．【解答】解：（1）B（5，3）、C（