厦门市同安区2022年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案

18/31厦门市同安区2022年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题有且只有一个选项正确。1．（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【考点】最简二次根式．版权所有【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含根式判断即可．【解答】解：A选项，原式＝，故该选项不符合题意；B选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，原式＝2，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含根式是解题的关键．2．（4分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【考点】二次根式的混合运算．版权所有【分析】根据二次根式的加法，减法，除法，以及二次根式的性质，进行计算即可解答．【解答】解：A、﹣＝2﹣，故A不符合题意；B、+＝2+，故B不符合题意；C、÷＝，故C符合题意；D、＝4，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．3．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2【考点】二次根式有意义的条件．版权所有【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．4．（4分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．a＝2，b＝2，c＝1 C．a2﹣b2＝c2 D．a：b：c＝3：4：5【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．版权所有【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解决此题．【解答】解：A．因为∠A﹣∠B＝∠C，所以∠A＝∠B+∠C．因为∠A+∠B+∠C＝180°，所以2∠A＝180°．所以∠A＝90°．此时，△ABC是直角三角形．B．因为a＝2，b＝2，c＝1，12+22≠22，所以△ABC不是直角三角形．C．因为a2﹣b2＝c2，所以a2＝b2+c2．所以△ABC是直角三角形．D．因为a：b：c＝3：4：5，32+42＝52，所以a2+b2＝c2．所以△ABC是直角三角形．故选：B．【点评】本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解决本题的关键．5．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠B＝50°，∠AED＝60°，则∠A的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°【考点】三角形中位线定理．版权所有【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠C＝∠AED＝60°，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：因为点D，E分别是AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，所以∠C＝∠AED＝60°，所以∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形内角和定理，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键．6．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC＝10，BD＝6，则边AB的长度可能是（）A．2 B．4 C．8 D．12【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．版权所有【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得AO＝5，BO＝3，再根据三角形的三边关系可得5﹣3＜AB＜8+3，再进行判断即可．【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO＝AC，BO＝BD，因为AC＝10，BD＝6，所以AO＝5，BO＝3，所以5﹣3＜AB＜5+3，解得：2＜AB＜8，所以边AB的长度可能是4．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．7．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（）A．∠BAD＝∠ABC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AB＝BC【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．版权所有【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC＝180°，因为∠BAD＝∠ABC，所以∠BAD＝∠ABC＝90°，所以平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；B、因为AB⊥BD，所以∠ABD＝90°，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、因为四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，所以平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、因为四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，所以平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．8．（4分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．版权所有【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，根据勾股定理得到OD′＝＝，于是得到结论．【解答】解：因为AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，所以OD′＝＝，因为C′D′＝2，C′D′∥AB，所以C′（2，），故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．9．（4分）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2），若延长MN交BC于点P（如图3），则下列说法错误的是（）A．∠NBC＝30° B．∠AMN＝150° C．△BMP是等边三角形 D．点N为MP的中点【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；等边三角形的判定；矩形的性质．版权所有【分析】由折叠的性质可得AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，∠ABM＝∠NBM，∠BAM＝∠BNM＝90°，可证△ABN是等边三角形，可求∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN，可得∠BMN＝∠BPM＝60°，可得结论．【解答】解：如图，连接AN，由折叠的性质可得AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，∠ABM＝∠NBM，∠BAM＝∠BNM＝90°，所以AN＝BN，所以AN＝BN＝AB，所以△ABN是等边三角形，所以∠ABN＝60°，所以∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN，故A选项正确；所以∠BMN＝∠BPM＝60°，所以△BMP是等边三角形，故C选项正确；所以MN＝PN，所以点N为MP的中点，故D选项正确；因为∠BAD＝90°，所以∠MAN＝30°，因为AM＝MN，所以∠MNA＝∠MAN＝30°，所以∠AMN＝120°，故B选项错误；所以说法错误的是B．故选：B．【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出∠ABM＝∠FBM＝30°＝∠PBF是解题的关键．10．（4分）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当0＜x＜12时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的Rt△BDP的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求AP+BP的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且x﹣6＝﹣y．则的最小值是（）A．2 B．8 C．10 D．34【考点】轴对称﹣最短路线问题；勾股定理．版权所有【分析】和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是6﹣x和5的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上向右平移直角三角形ABC使点B和E重合，这时CF＝x+6﹣x＝6，AC＝3，DF＝5，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”，根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．【解答】解：因为x﹣6＝﹣y，所以y＝6﹣x，和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是6﹣x和5的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上向右平移直角三角形ABC使点B和E重合，这时CF＝x+6﹣x＝6，AC＝3，DF＝5，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”，根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．当A、B、D共线时，AB+BD最小，在Rt△AMD中，AD＝＝＝10，所以的最小值是10．故选：C．【点评】本题考查最小值问题、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，把代数问题转化为几何问题是解题的突破点，属于中考压轴题．二、填空题本大题有6小题，每题4分，第11、12、14题每空2分，共24分。11．（4分）计算：（1）＝2；（2）＝．【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．版权所有【分析】（1）根据（）2＝a（a≥0）即可得出答案；（2）根据＝（a≥0，b＞0）化简即可．【解答】解：（1）原式＝2，故答案为：2；（2）原式＝＝，故答案为：．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握＝（a≥0，b＞0）是解题的关键．12．（4分）命题“正方形的四条边相等”的逆命题是四条边相等的四边形是正方形，它是假（填“真命题”或“假命题”）．【考点】命题与定理．版权所有【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据正方形的判定定理判断即可．【解答】解：命题“正方形的四条边相等”的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，它是假命题，故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假．【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握正方形的判定定理是解题的关键．13．（4分）用20cm的铁丝围成长为xcm、宽为ycm的长方形，当x＝3时，y＝7．【考点】代数式求值；列代数式．版权所有【分析】先列代数式表示出y，然后代入x＝3计算y的值即可．【解答】解：因为2x+2y＝20，所以x+y＝10，所以y＝10﹣x，当x＝3时，y＝10﹣x＝10﹣3＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了列代数式以及代数式求值，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．列代数式时，要注意语句中的关键字，读懂题意，找到所求的量的表示方法．列代数式五点注意：①仔细辨别词义．②分清数量关系．③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．14．（4分）如图，在数轴上点A表示的实数是．【考点】实数与数轴．版权所有【分析】根据勾股定理求解即可．【解答】解：根据勾股定理得：＝，所以点A表示的实数为，故答案为：．【点评】本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．15．（4分）如图，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABF沿着BE方向平移到Rt△DEC的位置，此时点E恰为边BF的中点，若AE＝2，则四边形AEFD的面积为2．【考点】菱形的判定；平移的性质；三角形的面积；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．版权所有【分析】根据平移的性质，AD∥BE，AD＝BE，再利用线段中点可得BE＝EF，从而可得AD＝EF，进而可得四边形AEFD是平行四边形，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得AE＝EF，从而可得四边形AEFD是菱形，进而可得四边形AEFD的面积＝2△AEF的面积，最后利用含30度角的直角三角形的性质可得AF＝BF＝2，AB＝AF＝2，从而求出△ABF的面积，即可解答．【解答】解：由平移得：AD∥BE，AD＝BE，因为点E为边BF的中点，所以BE＝EF，所以AD＝EF，所以四边形AEFD是平行四边形，因为∠BAF＝90°，所以AE＝EF＝BF，所以四边形AEFD是菱形，所以四边形AEFD的面积＝2△AEF的面积，因为AE＝2，所以BF＝2AE＝4，因为∠B＝30°，所以AF＝BF＝2，AB＝AF＝2，所以△ABF的面积＝AB•AF＝×2×2＝2，因为△ABF的面积＝2△AEF的面积，所以四边形AEFD的面积＝△ABF的面积＝2；故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，平移的性质，三角形的面积，熟练掌握菱形的判定，以及平移的性质是解题的关键．16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②BE＞BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF；其中正确结论有①②③④．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．版权所有【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF＝FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．【解答】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．因为点F是CD的中点，所以DF＝FC，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC，因为CD＝2AD，所以CF＝CB，所以∠CFB＝∠CBF，因为CD∥AB，所以∠CFB＝∠FBH，所以∠CBF＝∠FBH，所以∠ABC＝2∠ABF．故①正确，因为DE∥CG，所以∠D＝∠FCG，因为DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，所以△DFE≌△CFG（ASA），所以FE＝FG，因为BE⊥AD，所以∠AEB＝90°，因为AD∥BC，所以∠AEB＝∠EBG＝90°，所以BF＝EF＝FG，所以∠FEB＝∠FBE，∠FGB＝∠FBG，因为∠ABC＝2∠ABF，所以∠FBG＞∠FBE，因为∠GFB＝∠FEB+∠FBE，∠EFB＝∠FGB+∠FBG，所以∠GFB＝2∠FBE，∠EFB＝2∠FBG，所以∠EFB＞∠GFB，假设∠EFB＝∠GFB时，所以∠EFB＝∠BFB＝90°，因为EF＝BF，所以BE＝BF，因为∠EFB＞∠GFB＞90°，所以BE＞BF，故②正确，因为S△DFE＝S△CFG，所以S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，因为AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，所以CF＝BH，因为CF∥BH，所以四边形BCFH是平行四边形，因为CF＝BC，所以四边形BCFH是菱形，所以∠BFC＝∠BFH，因为FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，所以FH⊥BE，所以∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，所以∠EFC＝3∠DEF，故④正确，故答案为：①②③④．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．三、解答题本大题有8小题，共78分。17．（10分）计算：（1）；（2）．【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．版权所有【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；（2）利用二次根式的乘除法法则，进行计算即可解答．【解答】解：（1）＝4+2﹣3﹣4＝﹣2；（2）＝××＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（8分）先化简，再求值：a（a+3）﹣2（3﹣a），其中．【考点】整式的混合运算—化简求值．版权所有【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：a（a+3）﹣2（3﹣a）＝a2+3a﹣6+2a＝a2+5a﹣6，当时，原式＝（+1）2+5（+1）﹣6＝6+2+5+5﹣6＝7+5．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．19．（8分）如图．在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：BE＝DF．【考点】平行四边形的判定与性质．版权所有【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD＝BC，由AE∥CF，得出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得出CE＝AF，即可得出结论．【解答】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD＝BC，所以AF∥CE，因为AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形，所以CE＝AF，所以BE＝DF．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明四边形AECF是平行四边形是解决问题的关键．20．（8分）轮船甲从码头C出发，沿着西南方向航行，与此同时，轮船乙也从码头C出发沿着固定方向航行，已知轮船甲、乙的速度分别是20海里/时、15海里/时，他们离开码头2小时后分别行驶到A处和B处，此时两船相距50海里，且乙船在甲船的东部，画出示意图，并求轮船乙是沿着哪个方向航行？【考点】解直角三角形的应用；方向角；勾股定理的应用．版权所有【分析】由题意画出图形，再由勾股定理的逆定理得∠ACB＝90°，即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得：∠ACD＝45°，AC＝2×20＝40（海里），BC＝2×15＝30（海里），AB＝50海里，因为302+402＝502，所以AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，所以∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣45°＝45°，所以轮船乙是沿着东南方向航行．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的逆定理，正确画出图形是解题的关键．21．（8分）若菱形的一个顶点与一个三角形的一个顶点重合，其余三个顶点都在这个三角形的边上，则这个菱形称为这个三角形的近邻菱形．如图，在等边△ABC中，作∠BAC的平分线交BC于点D，再以点D为圆心，线段BD长为半径画弧，分别交边AB、AC于点E、F，连接ED、FD．（1）请用直尺和圆规完成题中的作图（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：四边形AEDF为等边△ABC的近邻菱形．【考点】作图—基本作图；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．版权所有【分析】（1）根据题意的作图过程即可完成作图；（2）根据三角形的近邻菱形的定义，可得结论．【解答】（1）解：如图所示即为所求；（2）证明：因为△ABC是等边三角形，所以AC＝AB＝BC，由已知尺规作图可知：AD是∠BAC的角平分线，所以BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝DE＝DF＝BC，所以DE＝AB，DF＝AC，因为∠ABC＝∠BCA＝60°，所以△BDE和△CDF是等边三角形，所以∠DEB＝60°，∠DFC＝60°，所以∠ADE＝∠EAD＝30°，∠FDA＝∠FAD＝30°，所以AE＝DE，AF＝DF，所以AE＝DE＝AF＝DF，所以四边形AEDF是菱形，因为菱形的一个顶点A与一个三角形的一个顶点A重合，其余三个顶点都在这个三角形的AB和AC边上，所以四边形AEDF为等边△ABC的近邻菱形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等边三角形的判定与性质，三角形的近邻菱形，解决本题的关键是掌握基本作图方法．22．（10分）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．（1）请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上．要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．（2）请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）．【考点】作图—应用与设计作图；平行四边形的判定与性质；矩形的性质．版权所有【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可；（2）根据平行四边形的判定方法证明即可；【解答】解：（1）图形如图所示：（2）如图1中，因为AB＝CD＝3，AB∥CD，所以四边形ABCD平行四边形．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．（10分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分长度为m米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n米，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m＝6，n＝12，（1）求旗杆AB的长．（2）小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止（如图3），测得小迪手臂伸直后的高度EF为2米，问小迪需要后退几米？【考点】勾股定理的应用；列代数式．版权所有【分析】（1）设旗杆AB的长为x米，则AC的长为（x+6）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）根E作ED⊥AB于D，则四边形BDEF是矩形，得BF＝DE，DB＝EF＝2米，再由勾股定理求出DE的长，即可解决问题．【解答】解：（1）设旗杆AB的长为x米，则AC的长为x+m＝（x+6）（米），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，所以（x+6）2＝x2+122，解得：x＝9，答：旗杆AB的长为9米；（2）如图3，过E作ED⊥AB于D，则四边形BDEF是矩形，所以BF＝DE，DB＝EF＝2米，因为AB＝9米，所以AD＝AB﹣DB＝9﹣2＝7（米），在Rt△ADE中，AE＝AC＝15米，所以DE＝＝＝4（米），所以BF＝DE＝4米，所以CF＝BF﹣BC＝（4﹣12）（米），答：小迪需要后退（4﹣12）米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出旗杆AB的长是解题的关键．24．（11分）已知，矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F、G、H分别是BC、BE、CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC．（2）若AD＝4，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的性质．版权所有【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）由正方形的性质可得GE＝EH，∠BEC＝90°，由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△DCE，可得AE＝DE＝2，∠AEB＝∠CED，可求AB＝2，由矩形面积公式可求解．【解答】证明：（1）因为点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，所以BF＝CF，FH∥BE，FH＝BE＝BG，所以∠CFH＝∠FBG，在△BGF和△FHC中，，所以△BGF≌△FHC（SAS）；（2）因为四边形EGFH是正方形，所以GE＝EH，∠BEC＝90°，因为点G、H分别是BE、CE的中点，所以BE＝2GE，EC＝2EH，所以BE＝CE，因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，所以Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），所以AE＝DE＝2，∠AEB＝∠CED，因为∠AEB+∠BEC+∠CED＝180°，所以∠BEA＝45°，所以∠BEA＝∠ABE＝45°，所以AB＝AE＝2，所以矩形ABCD的面积＝4×2＝8．【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．25．（13分）如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB＝PE；（2）若正方形ABCD的边长为6，①过点E作EF⊥AC于点F，如图2，则在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这