齐齐哈尔昂溪区2021年八年级上学期《数学》期中试题以及答案

6/25齐齐哈尔市昂溪区2021年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题每小题3分，共计30分。1．下面图形表示绿色食品、节水、节能和低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各个选项进行判断即可．【解答】解：B、C、D中的图案不是轴对称图形，A中的图案是轴对称图形，故选：A．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．2．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【解答】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．故选：B．【点评】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．3．根据下列条件，能判定△ABC≌△A′B′C′的是（）A．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′ B．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝B′C′ C．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′ D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，△ABC的周长等于△A′B′C′的周长【分析】根据全等三角形的判定（三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS））可得当AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF可判定△ABC≌△DEF，做题时要对选项逐个验证．【解答】解：A、满足SSA，不能判定全等；B、不是一组对应边相等，不能判定全等；C、满足AAA，不能判定全等；D、符合SSS，能判定全等．故选：D．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，难度适中．4．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BOC＝（）A．130° B．140° C．110° D．120°【分析】根据角平分线的性质得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：因为∠A＝40°，所以∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，因为点O到△ABC三边的距离相等，所以BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝70°，所以∠BOC＝180°﹣70°＝110°，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．5．如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若AC＝5cm，DE＝2cm，则△ACD的面积为（）A．2.5cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．10cm2【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过D作DF⊥AC于F，因为AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，所以DF＝DE＝2cm，所以△ACD的面积＝AC•DF＝5×2＝5cm2，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．6．如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（）A．45° B．60° C．55° D．75°【分析】通过证△ABD≌△BCE得∠BAD＝∠CBE；运用外角的性质求解．【解答】解：等边△ABC中，有因为所以△ABD≌△BCE（SAS），所以∠BAD＝∠CBE所以∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠ABP+∠PBD＝∠ABD＝60°．故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．7．如图是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，直角顶点C恰好落在三角板△A1B1C1的斜边A1B1上．当∠A＝30°，B1C＝2时，则此时AB的长为（）A．6 B．8 C．9 D．10【分析】此题先连接C1C，根据M是AC、AC1的中点，AC＝A1C1，得出CM＝A1M＝C1M＝AC，再根据等边对等角得出∠A1＝∠1，∠2＝∠3，进一步得出△B1C1C为直角三角形，从而求得BC＝B1C1＝2B1C＝4，AB＝2BC＝8．【解答】解：连接C1C，因为M是AC的中点，△ABC，△A1B1C1是两块完全一样的含30°角三角板重叠在一起的，所以AM＝CM＝A1C1，即CM＝A1M＝C1M，所以∠A1＝∠1，∠2＝∠3，所以∠A1+∠3＝∠1+∠2＝90°＝∠A1CC1，所以△B1C1C为直角三角形，因为∠A1＝30°，所以∠B1＝60°，所以∠B1C1C＝30°，所以BC＝B1C1＝2B1C＝4，因为∠A＝30°，所以AB＝2BC＝8．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，30°角的直角三角形的性质，证得△B1C1C为直角三角形是解题的关键．8．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数为（）A．24° B．25° C．30° D．35°【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE＝120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC＝360°﹣120°＝240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′＝∠FEB+∠EFC＝240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．【解答】解：因为∠A＝60°，所以∠AEF+∠AFE＝180°﹣60°＝120°，所以∠FEB+∠EFC＝360°﹣120°＝240°，因为由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′＝∠FEB+∠EFC＝240°，所以∠1+∠2＝240°﹣120°＝120°，因为∠1＝95°，所以∠2＝120°﹣95°＝25°，故选：B．【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等的．9．如图所示的钢架中，∠A＝18°，焊上等长的钢条AP1，P1P2，P2P3，P3P4，P4P5来加固钢架，则∠P5P4B的度数是（）A．80° B．85° C．90° D．100°【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠P3P5P4与∠A之间的关系，从而不难求解．【解答】解：因为AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，所以∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，所以∠P3P5P4＝4∠A，因为∠A＝18°，所以∠P3P5P4＝72°，所以∠P5P4B＝∠P3P5P4+∠A＝90°．故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，正确求得∠P3P5P4与∠A之间的关系是关键．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD＝30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图，因为在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，所以∠CAB＝60°．又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，所以∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②正确；③因为∠1＝∠B＝30°，所以AD＝BD，所以点D在AB的中垂线上．故③正确；④因为如图，在直角△ACD中，∠2＝30°，所以CD＝AD，所以BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．所以S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，所以S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选：D．二、填空题每小题3分，共计30分。11．如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为17．【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，由于3+3＜7，则三角形不存在；（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为7+7+3＝17．故答案为：17．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．12．一个正多边形的内角和等于1440°，则此多边形是10边形，它的每一个外角是36°．【分析】先设该多边形是n边形，根据多边形内角和公式列出方程，求出n的值，即可求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是360°，利用360除以边数可得外角度数．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝1440°，解得n＝10．外角：360÷10＝36，故答案为：10；36°．【点评】此题考查了多边形的内角与外角，关键是根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和都是360°进行解答．13．如图，△ABC≌△ADE，点C在边AD上，∠B＝35°，∠DAB＝60°，若∠DEC＝x°，则x＝25．【分析】根据三角形的内角和得到∠ACB＝180°﹣35°﹣60°＝85°，根据全等三角形的性质得到AE＝AC，∠AED＝∠ACB＝85°，∠EAC＝∠CAB＝60°，根据等边三角形的性质得到∠AEC＝60°，于是得到结论．【解答】解：因为∠B＝35°，∠DAB＝60°，所以∠ACB＝180°﹣35°﹣60°＝85°，因为△ABC≌△ADE，所以AE＝AC，∠AED＝∠ACB＝85°，∠EAC＝∠CAB＝60°，所以△AEC是等边三角形，所以∠AEC＝60°，所以x＝85﹣60＝25，故答案为：25．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．14．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AB＝25cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△BCE的周长为43cm，则底边BC的长为18cm．【分析】根据等角对等边的性质可得AC＝AB＝25cm，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，然后求出△BCE的周长＝AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：因为∠ABC＝∠ACB，AB＝25cm，所以AC＝AB＝25cm，因为DE是AB的垂直平分线，所以AE＝BE，所以△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，因为△BCE的周长为43cm，所以BC＝43﹣25＝18cm．故答案为：18cm．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．15．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝9，则两平行线AD与BC间的距离为18．【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM＝PE＝2，PE＝PN＝2，即可得出答案．【解答】解：过点P作MN⊥AD，因为AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，所以AP⊥BP，PN⊥BC，所以PM＝PE＝9，PE＝PN＝9，所以MN＝9+9＝18．故答案为：18．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．16．如图，△ABC与△ADE均为等边三角形，B、D、E在一条直线上．若BE＝6，CE＝4，则△ADE的周长为6．【分析】根据等边三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，根据全等三角形的性质得到BD＝CE＝4，即可得到结论．【解答】解：因为△ABC与△ADE均为等边三角形，所以AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，所以∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，所以△ABD≌△ACE，所以BD＝CE＝4，因为BE＝6，所以DE＝2，所以△ADE的周长为6，故答案为：6．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝12，CD＝5，则ED的长度是7．【分析】根据直角三角形的两锐角互余及角的和差得到∠CAD＝∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根据ED＝AD﹣CD，即可解题．【解答】解：因为∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，所以∠E＝∠CDA＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，所以∠CAD＝∠BCE，在△CDA和△BEC中，，所以△CDA≌△BEC（AAS），所以CD＝BE，CE＝AD，因为ED＝CE﹣CD，所以ED＝AD﹣CD，因为AD＝12，CD＝5，所以ED＝12﹣5＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（AAS）和性质（全等三角形的对应边）是解题的关键．18．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是40°或25°或10°．【分析】分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB＝BD，此时∠ADB＝∠A＝80°，所以∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣80°＝100°，所以∠C＝（180°﹣100°）＝40°，②AB＝AD，此时∠ADB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣80°）＝50°，所以∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣50°＝130°，所以∠C＝（180°﹣130°）＝25°，③AD＝BD，此时，∠ADB＝180°﹣2×80°＝20°，所以∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣20°＝160°，所以∠C＝（180°﹣160°）＝10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°．故答案为：25°或40°或10°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．19．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为100°．【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，因为∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，所以∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°，由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，所以∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．故答案为：100°．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．20．如图，动点P从（0，3）出发，沿如图所示的方向（看图中的编号）运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2020次碰到矩形的边时，点P的坐标为（5，0）．【分析】根据反射角与入射角的定义，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，根据题意得：P0（0，3），P1（3，0），P2（7，4），P3（8，3），P4（5，0），P5（1，4），P6（0，3），P7（3，0），…，所以点Pn的坐标6次一循环．经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），因为2020÷6＝336…4，所以当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（5，0）．三、解答题共40分，21题6分，22题6分，23题8分，24题8分，25题12分。21．（6分）如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BF＝CE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF．【分析】首先根据平行线的性质可得∠E＝∠B，进而求得BC＝EF，再加上∠1＝∠2，可利用AAS证明△ABC≌△DEF．【解答】证明：因为BF＝CE，所以BF﹣FC＝CE﹣CF，即BC＝EF，因为AB∥DE，所以∠E＝∠B，在△ABC和△DEF中，，所以△ABC≌△DEF（ASA）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C＝50°，进而得到∠BAC＝80°，由∠BAD＝55°，得到∠DAE＝25°，由DE⊥AD，进而求出结论．【解答】解：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，因为∠B＝50°，所以∠C＝50°，所以∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，因为∠BAD＝55°，所以∠DAE＝25°，因为DE⊥AD，所以∠ADE＝90°，所以∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．23．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线BM平分∠ABC，且与l相交于点P．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数．【分析】根据角平分线的定义得到∠ABP＝∠CBP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：因为BP平分∠ABC，所以∠ABP＝∠CBP，因为直线l是线段BC的垂直平分线，所以BP＝CP，所以∠CBP＝∠BCP，所以∠ABP＝∠BCP，因为∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，所以3∠ABP+24°+60°＝180°，所以∠ABP＝32°．24．（8分）如图所示，已知△ABC中AB＝AC，E、D、F分别在AB，BC和AC边上，且BE＝CD，BD＝CF，过D作DG⊥EF于G．求证：EG＝EF．【分析】先连接DE、DF，然后根据题目中的条件可以证明△EBD≌△DCF，从而可以得到DE＝DF，然后根据等腰三角形三线合一即可证明结论成立．【解答】证明：连接DE、DF，如右图所示，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，在△EBD和△DCF中，，所以△EBD≌△DCF（SAS），所以DE＝DF，因为DG⊥EF，所以DG是等腰△DEF的中线，所以EG＝EF．25．（12分）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本