江苏省盐城市东台市东台市第二教育联盟2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

第页东台市第二教育联盟2023-2024学年度第一学期十月份质量检测九年级数学试题（时间：120分钟分值：120分）一、选择题（每小题3分，共24分）1.2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【详解】解：由题意得：．故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2.若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，，且，解得，，且.故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．3.如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，半径互相垂直，，所对的圆心角为，所对的圆周角，又，，故选D．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．4.如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（）．A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长．【详解】解：∵∴点为的中点，∵∴，由勾股定理得，∴∴故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键5.如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，连接，证明，，可得，从而可得．【详解】解：如图，连接，∵切于点B，∴，∵，，∴，∴，∴；故选C【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性质是解本题的关键．6.已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为（

）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 D.无法判定【答案】B【解析】【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得．【详解】解：∵点在第四象限，∴，∴，∴方程的判别式，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点．7.若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．8.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（）A.8 B.6 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当时，，当时，，∴，∴，∴，∵的底边为定值，∴使得底边上的高最大时，面积最大，点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，∵，的半径为1，∴∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】题目主要考查一次函数应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．二、填空题（每小题3分，共24分）9.若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式方程有实数根，可得关于k的一元一次不等式进行求解即可．【详解】根据题意得，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，方程有实数根是解题的关键．10.已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解．【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．11.如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为___________．【答案】【解析】【分析】连接，过点作于点，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后解直角三角形可得的长，由此即可得．【详解】解：如图，连接，过点作于点，，，，，，∵圆的半径为7，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．12.如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为___________．【答案】或【解析】【分析】根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时，∵分别与相切于两点∴，∵．∴∵，∴，当点在上时，∵四边形是圆内接四边形，∴，故答案为：或．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键．13.已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，∴∵，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14.如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______．

【答案】【解析】【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．【详解】解：∵，∴，．∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切线，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出．15.如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______．【答案】【解析】【分析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可．【详解】如图，连接，∵与相切于点A，∴；∵,∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，设，则，∴，解得，故的长为，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键．16.如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．【答案】3【解析】【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC，∵PQ和圆C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，∴当CP最小时，PQ最小，∵△ABC是等边三角形，∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，∵AB=BC=AC=4，∴AP=BP=2，∴CP==，∵圆C的半径CQ=，∴PQ==3，故答案为：3．【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．三、解方程（每小题4分，共16分）17.（1）（2）（3）（4）【答案】（1），；（2），；（3），；（4），【解析】【分析】（1）用直接开平方法解方程即可；（2）用配方法解方程即可；（3）移项，然后用因式分解法解方程即可；（4）用因式分解法解方程即可.【详解】解：（1），，解得：，；（2），，或，解得：，；（3），，，或，解得：，；（4），，或，解得：，【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．四、作图题（每小题4分，共8分）18.（1）如图，请作出它的外接圆．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）过外一点P作圆的切线．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析【解析】【分析】（1）分别作、的垂直平分线，两线交于一点O，以点O为圆心，的长为半径作圆即可；（2）连接，作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心，的长为半径画弧，交于点Q，连接即可；【详解】解：（1）如图，即为所求；（2）如图，直线即为所求；【点睛】本题考查基本作图，切线的判定，三角形外接圆的性质，圆周角定理的推论，掌握基本作图——作垂直平分线，切线的性质是解题的关键．五、解答题（共78分）19.如图，都是的半径，．（1）求证：；（2）若，求的半径．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论；（2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，，．【小问2详解】解：过点作半径于点，则，，∴，，，，中，，在中，，，，即的半径是．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．20.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．【答案】（1）见解析（2）a的值为3【解析】【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明；（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．【小问1详解】证明：，∵，∴该方程总有两个实数根．【小问2详解】解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2x1，则，由①得，代入②可得：，解之得，，又因为该方程的两个实数根都是整数，所以．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．21.如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F．（1）求证：；（2）若，，，求半圆O的半径长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠BDF+∠ADO=90°，再结合∠ADO=∠OAD，推出∠BDF=∠B，即可；（2）过F作FG⊥BD于G，先利用三角函数求出BG=DG，再过点O作OH⊥AD于H，在△AOH中，求出AO即可.【详解】解：（1）连接OD，∵DF和半圆相切，∴OD⊥DF，∴∠BDF+∠ADO=90°，∵∠ADO=∠OAD，∴∠OAD+∠BDF=90°，又∠C=90°，∴∠OAD+∠B=90°，∴∠BDF=∠B，∴BF=DF；（2）过F作FG⊥BD于G，则GF垂直平分BD，∵，∴BF=DF=2，∵，，∠C=90°，∴AB=，∴cos∠B==，∴，解得：BG==DG，∴AD=AB-BD=，过点O作OH⊥AD于H，∴AH=DH=AD=，∵cos∠BAC=，∴AO=，即半圆O的半径长为.【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．22.如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2），．【解析】【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可，（2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解．【小问1详解】连接∵为的中点，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，为半径，∴为的切线，【小问2详解】∵为直径，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：．【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．23.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为（2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．【小问1详解】解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：，解得：（负值已舍掉）；答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；【小问2详解】设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：，解得：；∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．24.如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？（2）羊圈面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；（2）不能，理由见解析．【解析】【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一