自动控制原理 课件 8.2 相平面法

8.2相平面法

相平面法是庞加莱于1885年首先提出的。该方法是求解一、二阶线性或非线性系统的图解法，可以用来分析系统的稳定性、平衡状态、时间响应和稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响。8.2.1相平面的基本概念设一个二阶系统为常微分方程8.2.1相平面的基本概念其中

为

和

的线性或非线性函数。方程的解可以用

的时间函数曲线表示，也可以用

和

的关系曲线表示，而时间

为参变量。以

为横坐标，以

为纵坐标构成的直角坐标平面叫做相平面。相平面上的点随时间

变化描绘出来的曲线称为相轨迹。根据微分方程解的存在与唯一性定理，对于任一给定的初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应。多个初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，而由一簇相轨迹所组成的图形称为相平面图。相平面图能够直观地反映系统在各种初始条件或输入作用下的运动过程。（8-2-1）8.2.2相轨迹的性质式（8-2-1）可写为如下形式1.相轨迹的斜率又因

，用其去除上式，可得相轨迹上任意一点

处的斜率为由上式可知，只要在点

处不同时满足

和

，则相轨迹斜率是一个确定的值，通过该点的相轨迹不可能多于一条，即相轨迹不会在该点相交。这些点是相平面上的普通点。在相轨迹与横轴的交点处，由于

，除去

的点外，相轨迹在该点处的斜率为

，即相轨迹垂直穿过横轴。2.相轨迹的奇点在相平面上同时满足

和

的点处，相轨迹的斜率为即相轨迹的斜率形式不定，这样性质的点称为奇点。由于相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹相交。由奇点定义可知，奇点一定位于相平面的横轴上。在奇点处，

和

，

表明系统运动的速度和加速度同时为零，系统不再发生运动，处于平衡状态，故奇点亦称为平衡点。3.相轨迹的运动方向在相平面的上半平面，由于

，则

x随

t的增大而增加，相轨迹的走向是由左向右的；相反，在相平面的下半平面，由于

，则x随

t的增大而减小，相轨迹的走向是由右向左的。8.2.3相轨迹的绘制相平面法是一种图解法，图解的关键是绘制相轨迹。这里介绍两种绘制相轨迹的方法，即解析法和等倾线法。1.解析法

当描述系统的微分方程比较简单时，可以通过积分法，直接由微分方程获得和的解析关系式，进而绘制系统的相轨迹。

例8-2已知某系统自由运动的微分方程为

，若初始条为

，和

，试确定系统自由运动的相轨迹。解：由微分方程可得可写成两边积分可得整理得显然，该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心，以

为半径的圆，如图8-2-1所示。图中箭头表示相轨迹的运动方向。等倾线法是绘制系统相轨迹的一种图解方法。具体做法是先确定相轨迹的等倾线，进而绘制出相轨迹的切线方向场，结合系统初始条件，沿方向场逐步绘制相轨迹。2.等倾线法设相平面上某点处的的相轨迹斜率为令

等于某一常数

，得等倾线方程为由该方程可在相平面上作出一条曲线，称为等倾线。当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率等于

。取

为若干不同的常数，由上式即可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为

的短直线，则构成相轨迹的切线方向场，沿方向场画连续曲线就可以绘制出相轨迹。解：由微分方程可得例8-3设某二阶系统的微分方程为

，试利用等倾线法绘制系统的相轨迹。令

，可得等倾线方程为当

取不同值时，可画出等倾线以及等倾线上对应的小线段如图8-2-2所示。若给定的初始状态为A点，从

A点起顺时针把各小线段光滑地连接起来，就得到了从

A点出发的一条特定的相轨迹。

在使用等倾线法绘制相轨迹时，坐标轴

x和

应选取相同的比例尺，以便根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线。一般地，等倾线分布越密，所做的相轨迹越准确。但随所取等倾线的增加，绘图工作量增加，同时也使作图产生的积累误差增大。8.2.4二阶线性系统的相轨迹设描述二阶线性系统自由运动的微分方程为可得根据系统特征方程根的分布特点，分下述几种情况讨论二阶线性系统的相轨迹。（8-2-5）1.无阻尼运动特征方程的根为一对共轭纯虚根

，系统的自由运动为等幅正弦振荡形式。则两边积分，可得相轨迹方程式中，

为由初始条件

和

决定的常数。系统无阻尼运动时的相平面图如图8-2-3所示，其为一簇同心的椭圆，每一个椭圆相当于一个简谐振动。坐标原点为奇点，这样的奇点通常称为中心点。其中2.欠阻尼运动特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根

，系统的自由运动为衰减振荡形式。通过求取方程(8-2-5)的解可得系统欠阻尼运动时的相平面图如图8-2-4所示，其为一簇收敛的对数螺旋线。坐标原点为奇点，这种奇点称为稳定的焦点。其中3.过阻尼运动特征方程的根为两个互异的负实根

，系统的自由运动为非振荡衰减形式。通过求取方程（8-2-5）的解可得系统过阻尼运动时的相平面图如图8-2-5所示，其为一簇通过原点的高次“抛物线”。坐标原点为奇点，这种奇点称为稳定的节点。图8-2-5系统过阻尼运动时的相平面图4.负阻尼运动当

时，特征方程的根为一对具有正实部的共轭复根，系统的自由运动为振荡发散形式，相平面图如图8-2-6所示，其为一簇发散的对数螺旋线，相应的奇点称为不稳定的焦点。当

时，特征方程的根为两个正实根，系统的自由运动为非振荡发散状态，相平面图如图8-2-7所示，其为发散的抛物线簇，相应奇点称为不稳定的节点。图8-2-6

时的相平面图图8-2-7

时的相平面图另外，若系统极点

s1和

s2为两个符号相反的实根，系统的自由响应呈现非振荡发散状态，对应的相轨迹是一簇双曲线，相应奇点称为鞍点，是不稳定的平衡点。图8-2-8系统的相平面图对于非线性系统的各个平衡点，若描述非线性过程的非线性函数解析，可在平衡点附近作增量线性化处理，即对非线性微分方程两端的各非线性函数作泰勒级数展开，并取一次项近似，获得平衡点处的增量线性微分方程。然后基于线性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附近相轨迹的运动形式。解：由微分方程可得令

，求得系统的两个奇点为例8-4已知非线性系统的微分方程为

，试求系统的奇点及其类型，并绘制系统的相平面图。奇点

处的一阶偏导数及增量线性化方程为特征根为

，是一对具有负实部的共轭复根，故奇点

为稳定焦点。奇点

处的一阶偏导数及增量线性化方程为特征根为

，

是两个相异的实根，故奇点

为鞍点。根据奇点的位置和类型，作出该系统的相平面图如图8-2-8所示。相交于鞍点

的两条特殊相轨迹称为奇线，它们将相平面分成两个不同的区域。如果初始点位于图中的阴影区域内，则其相轨迹将收敛于坐标原点，相应的系统是稳定的。如果初始点落在阴影区域的外部，则其相轨迹会趋于无穷远，表示相应的系统不稳定。由此可见，非线性系统的稳定性确实与其初始条件有关。8.2.5极限环极限环是非线性系统在相平面上的一条封闭的特殊相轨迹，它将相平面划分为内部平面和外部平面两部分，相轨迹不能从环内穿越极限环进入环外，或者相反。根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将极限环分为稳定的极限环、不稳定的极限环和半稳定的极限环，分别如图8-2-9所示。当时间

t

趋于无穷时，起始于极限环内部和外部的相轨迹都逐渐卷向极限环，这样的极限环称为稳定的极限环，如图8-2-9（a）所示。当任何微小扰动使系统的状态离开极限环后，最终仍会回到这个极限环。该极限环所表示的周期运动是稳定的，对应系统的自激振荡。1.稳定的极限环当时间

t

趋于无穷时，起始于极限环内部和外部的相轨迹都逐渐卷离极限环，这样的极限环称为不稳定的极限环，如图8-2-9（b）所示。任何微小扰动使系统的运动或者收敛于环内的奇点或者发散至无穷，极限环所表示的周期运动是不稳定的。2.不稳定的极限环当时间

t

趋于无穷时，起始于极限环内（外）部的相轨迹卷向极限环，而起始于极限环外（内）部的相轨迹卷离极限环，这样的极限环叫做半稳定的极限环，如图8-2-9（c）和（d）所示。具有这种极限环的系统不会产生自激振荡，系统的运动或者趋于发散（见图8-2-9（c））或者趋于收敛（见图8-2-9（d））。3.半稳定的极限环(a)(b)(c)(d)图8-2-9不同类型的极限环应当指出，不是相平面内所有的封闭曲线都是极限环。在无阻尼的二阶线性系统中，其相平面图是一簇连续的封闭曲线，这类闭合曲线不是极限环，因为它们不是孤立的，在任何特定的封闭曲线邻近，仍存在着封闭曲线。而极限环是相互孤立的，在任何极限环的邻近都不可能有其他的极限环。8.2.6非线性控制系统的相平面分析

许多非线性控制系统所含有的非线性特性是分段线性的，用相平面法分析这类系统时，一般将非线性元件的特性作分段线性化处理，即把整个相平面分成若干个线性区域，在各线性区域内，分别用线性微分方程来描述，然后绘出各线性区域的相平面图，最后将各区域的边界线上（边界线又称相轨迹的开关线）的相轨迹衔接成连续的曲线，即可获得系统的相平面图。1.具有死区继电特性的非线性控制系统具有死区继电特性的非线性控制系统结构图如图8-2-10所示。其中

为反馈网络，输入

。（1）单位反馈情况当反馈网络

时，误差

。根据图8-2-10，可列写系统的微分方程为可得取

和

为相坐标，相平面以直线

为界被分成三个不同的区域，称

为相轨迹的开关线。在

的区域内，系统方程为求导，可得若初始条件为

且

，上式的解为当

时有当

时可解出可得当

时有当

时有在

的区域内，系统方程为此时系统的相轨迹为一簇斜率为

的直线，其方程为在

的区域内，系统方程为将上述三个区域的相轨迹衔接合并，就可以得到具有死区继电特性的非线性系统相平面图如图8-2-11所示。图8-2-11

时，具有死区继电特性的非线性系统相平面图由图8-2-11可见，在

开关线处，相轨迹发生了转换，表明继电特性由一种工作状态转换为另一种工作状态。以图中由

出发的相轨迹为例，该条相轨迹经过

终止于

点，在

和

处，继电器的工作状态均发生了转换。

点处取

c最大值。图中

，

是一段相轨迹的终止线段，称为平衡段，它上面每一点都对应于系统的一个平衡状态。（2）速度反馈情况系统相轨迹方程可以分为下面几种情况讨论。当反馈网络

时，误差

。该系统的微分方程为①当

时若

，则

；若

，则

。若

，则

；若

，则

。②当

时，则③当

时系统开关线方程为

和

。由此可画出具有速度反馈的死区继电特性的非线性系统相平面图如图8-2-12所示。图8-2-12具有速度反馈的死区继电特性的非线性系统相平面图将图8-2-12与图8-2-11进行比较可以看出，系统相轨迹的开关线发生改变。未接入速度反馈时，开关线为通过

的两条与

c轴垂直的直线，接入速度反馈后，这两条开关线分别绕

c轴上

的点逆时针方向转了一个角度

，由于开关线逆时针方向转动，相轨迹提前进行转换，这样就使得自由运动的超调量减小，调节时间缩短，系统的性能得到改善。2.具有变增益特性的非线性控制系统具有变增益特性的非线性控制系统，其结构图和变增益特性如图8-2-13所示，系统初始状态为零。可得该系统的微分方程为取

为相坐标，系统的开关线

将相平面分成三个区域。下面讨论在阶跃输入和斜坡输入两种情况下系统的相轨迹。（1）阶跃输入

情况当

时，有

，系统的微分方程为相应系统的特征方程为系统特征根为若

，

，在区域

和

内，特征根为一对具有负实部的共轭复根，系统为欠阻尼状态，奇点

为稳定的焦点，相应的相轨迹为收敛的对数螺旋线；在区域

内，特征根为两个不相等的负实根，系统为过阻尼状态，奇点

为稳定的节点，相应的相轨迹为收敛的抛物线。绘出阶跃输入下系统误差信号的相轨迹如图8-2-14所示。相轨迹的起点A由初始条件

决定，相轨迹依次通过

BCDEF最终收敛于稳定节点P2(0,0)，其横坐标即为稳态误差，说明在阶跃信号作用下系统的稳态误差为零，与线性放大器时的情况相同。以上分析表明，在这种情况下，引入变增益线性放大器不但不会增加阶跃响应的稳态误差，还加快了系统误差响应的收敛速度，改善了系统性能。图8-2-14阶跃输入下的相轨迹（2）斜坡输入

的情况当

时，有

，

系统的微分方程为求得不同区域内系统的奇点为

和

，系统在奇点处的增量线性化方程为与阶跃输入相比，斜坡信号作为输入时，系统相平面的开关线不变，奇点的位置发生变化。若

，

，奇点

为稳定的焦点，奇点

为稳定的节点。由于

，所以奇点P2总在P1的右边。图8-2-15表示了

而

时误差信号的相轨迹。相轨迹的起点

A由初始条件

所决定，相轨迹经过B点最终到达P2点，系统的稳态误差为OP2。图8-2-15

且

时的相轨迹图8-2-16表示了

而

时误差信号的相轨迹。相轨迹的起点A由

所决定，相轨迹经过点BCDE最终趋于

，误差信号表现为振荡的特性，系统稳态误差为

。图8-2-16

且

的相轨迹图8-2-17表示了

而

时误差信号的相轨迹。相轨迹起点A由初始条件

所决定，它经过

BCD最终趋向于

P1

点，稳态误差等于OP1

。图8-2-17

且

时的相轨迹

综上分析表明，非线性控制系统的输入信号形式、大小不同时，响应曲线可以是非周期形式或振荡形式。8.2.7MATLAB实现利用MATLAB绘制系统的相轨迹，可以采用编程方法，也可以采用Simulink仿真方法。1.编程方法绘制相轨迹的实质是求解微分方程的解。在MATLAB中提供了求解微分方程数值解的常用函数ode45，它是一种变步长的龙歌-库塔4/5阶算法，其调用格式如下。[t,y]=ode45(’fun’,t,y0)%fun为一个自定义的M文件函数名；参数t为由初始时间和终止时间构成的向量；参数y0为系统的初始状态，其默认值是一个空矩阵。函数调用后，将返回系统的时间向量t和状态变量y。例8-5已知二阶非线性微分方程为

，设初始条件为

，试用MATLAB绘制系统的相轨迹图及时间响应曲线。解：MATLAB程序如下。clc;cleart=0:0.01:80;x0=[50]';[t,x]=ode45('test1',t,x0);subplot(1,2,1);plot(x(:,1),x(:,2));gridsubplot(1,2,2);plot(t,x(:,1));grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)')（a）系统的相轨迹图（b）系统的时间响应曲线functiondx=test1(t,x)dx=[x(2);(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];%调用函数运行结果如图8-2-18所示，由图可见系统相轨迹为一个稳定的极限环，对应时间响应为等幅振荡。图8-2-18运行结果解：描述系统的微分方程为例8-6设具有饱和特性的非线性控制系统如图8-2-19所示，已知

，试用MATLAB绘制系统的相轨迹图及相应的时间响应曲线。MAT