自动控制原理 课件 7.4 脉冲传递函数

7.4脉冲传递函数

与连续系统的传递函数相对应，脉冲传递函数是描述离散系统最重要的数学模型，它是分析与设计离散系统的基础。7.4.1脉冲传递函数的定义

设开环离散系统如图7-4-1所示，线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为零初始条件下，系统输出采样信号z变换与输入采样信号

z变换之比，即如果已知

R(z)和G(z),则在零初始条件下,线性定常离散系统的输出采样信号为

脉冲传递函数是线性离散系统动态特性的一种数学描述形式，它表征了离散系统的固有特性，与外作用的大小和形式无关。此外，脉冲传递函数只适用于线性定常离散系统。

脉冲传递函数反映的是系统输入采样信号与输出采样信号之间的传递关系，但是对于大多数实际系统，其输入为采样信号，输出一般仍为连续信号，为了引入脉冲传递函数的概念，常在系统输出端虚设一个理想采样开关，如图7-4-2虚线所示，对输出的连续时间信号做假想采样，以获得输出信号的采样信号。必须指出，虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的是输出连续信号

c(t)

在各采样时刻的离散值

c*(t)。7.4.2脉冲传递函数的求取

这一过程比较复杂，可根据z变换表，直接从G(s)

得到

G(z)

，而不必逐步推导。通常把上述过程表示为

G(z)=

Z[G(s)]，并称之为

G(s)的

z变换。这一表示应理解为根据上述过程求出

G(s)

所对应的

G(z)

，而不能理解为

G(z)是对

G(s)

直接进行

z=

esT

代换的结果。

如果某一控制系统的传递函数为G(s)

，那么该系统的脉冲传递函数G(z)可依据下列步骤求出：（1）先求

G(s)的拉普拉斯反变换，得到单位脉冲响应g

(t)

；（2）再将

g

(t)

按采样周期T离散化，得到单位脉冲响应序列

g

(kT)；（3）最后将g

(kT)进行

z变换，得出G(z)。解：例7-16某系统的传递函数为

，求

所对应的脉冲传递函数

。查

z变换表可得

脉冲传递函数是离散系统在

z域的数学描述形式，而差分方程则是离散系统在时域的数学描述形式，在系统初始条件为零的情况下，两者之间是可以互相转换的。7.4.3脉冲传递函数与差分方程的相互转换例7-17设某线性定常离散系统的差分方程为试求其脉冲传递函数

G(z)

。解：在零初始条件下，对差分方程两边取

z变换，由z变换超前定理得系统脉冲传递函数为例7-18设某线性定常离散系统的脉冲传递函数为试求该系统的差分方程。解：上式等号两边分子、分母交叉相乘，得利用

z变换滞后定理得差分方程为

当开环离散系统由几个环节串联组成时,由于采样开关位置不同,求出的开环脉冲传递函数截然不同。7.4.4开环系统脉冲传递函数

为了便于求出开环脉冲传递函数，需要了解采样函数的拉普拉斯变换G*(s)的相关性质。可以证明，若采样函数的拉普拉斯变换

G1*(s)与连续函数的拉普拉斯变换G2(s)

相乘后再离散化，则

G1*(s)可以从离散符号中提出来，即1.串联环节之间无采样开关时的开环脉冲传递函数

设开环离散系统如图7-4-3所示,两个串联连续环节

G1(s)和

G2(s)

之间没有被采样开关隔开。此时系统输出为对上式离散化，得取

z

变换得其中，

G1G2(z)为

G1(s)和

G2(s)

乘积的

z变换。开环系统脉冲传递函数为两个串联环节之间没有被采样开关开，系统的脉冲传递函数为这两个串联环节传递函数乘积后的

z变换。这一结论可以推广到

n个环节相串联时的情形。2.串联环节之间有采样开关时的开环脉冲传递函数设开环离散系统如图7-4-4所示,在两个串联连续环节G1(s)和

G2(s)

之间有采样开关隔开。根据脉冲传递函数的定义有开环系统脉冲传递函数为其中，

G1(z)

和

G2(z)分别是

G1(s)和G2(s)的脉冲传递函数，于是

上式表明,两个串联环节之间有采样开关时，系统的脉冲传递函数为这两个串联环节脉冲传递函数的乘积。这一结论可以推广到n个环节相串联时的情形。特别值得注意的是，一般情况下，

3.有零阶保持器时的开环脉冲传递函数设有零阶保持器的开环离散系统如图7-4-5所示,其中零阶保持器的传递函数为

，连续部分的传递函数为

，中间没有被采样开关隔开。开环系统脉冲传递函数为根据实数位移定理可得解：例7-19

某系统的传递函数为

，求开环脉冲传递函数

。上述结果与例7-16所得结果相比较,可以看出,零阶保持器的引入既不改变开环脉冲传递函数的阶数,也不影响开环脉冲传递函数的极点,只影响开环零点。

由于采样开关位置不同，闭环离散系统有多种结构形式，因此求取闭环系统的脉冲传递函数情况比较复杂，只能根据不同情况具体分析。7.4.5闭环系统脉冲传递函数图7-4-6是一种比较常见的典型闭环离散系统。由图7-4-6可知因此有对

E(s)离散化，得整理得输出信号的采样拉普拉斯变换两边取

z变换可得两边取

z变换可得误差脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为

其中

为闭环离散系统的开环脉冲传递函数。解：例7-20某闭环离散系统如图7-4-7所示，试求系统输出信号

变换及闭环脉冲传递函数

。由图可知

对

E(s)

及M

(s)离散化，得整理得

输出信号

z变换闭环脉冲传递函数为解：例7-21某闭环离散系统如图7-4-8所示，试求系统输出信号

z变换C(z)

。由图可知

因此有

对

C(s)离散化，得由此得

z变换，则有

由此题可以看出，由于误差信号

e(t)处没有采样开关，输入的

z变换

R(z)不能分离出来，因而求不出闭环系统的脉冲传递函数，只能求出输出信号的

z变换

C(z)，进而可以确定闭环系统的采样输出信号

c*(t)。

对于采样开关在闭环系统中不同配置的闭环离散系统典型结构图及其输出采样信号的z变换函数C(z)，可参见本教材表7-4-1所示。7.4.6MATLAB实现在MATLAB中，使用c2d()函数可将连续系统模型离散化，其调用格式如下sysd=c2d(sys,T,Method)%其中sysd为离散系统模型；sys为连续系统模型；T为采样周期；Method用来选择离散化方法。Method的类型分别为：

'zoh'——零阶保持器；

'foh'——一阶保持器；

'tustin'——双线性变换法；

'matched'——零极点匹配法；

'imp'——脉冲响应不变法（实为直接求变换，利用该方法，将求得结果除以采样周期，即得传递函数的变换）。解：MATLAB程序如下。例7-22

已知离散系统结构图如图所示，采样周期

T=1s

，求开环脉冲传递函数G(z)

。clc;clearGs1=tf([2],[1,2]);%定义传递函数Gz1=c2d(Gs1,1,'imp');%对传递函数直接求变换得Gs2=tf([5],[1,5]);%定义传递函数Gz2=c2d(Gs2,1,'imp');%对传递函数直接求变换得Gz=Gz1*Gz2%开环脉冲传递函数执行该程序，运行结果为即开环脉冲传递函数为Gz=0.1998z+0.0735-----------------------z^2-0.3034z+0.1233Sampletime:1secondsDiscrete-timetransferfunction.解：MA